Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨19×21×29:6662⟩

Algorithm type

X8Y8Z11+X16Y4Z4+14X8Y8Z8+3X4Y16Z4+3X15Y4Z4+2X8Y8Z7+X7Y8Z8+X4Y16Z3+6X7Y8Z7+12X7Y7Z8+2X13Y4Z4+2X7Y7Z7+2X7Y6Z8+2X6Y5Z10+4X13Y3Z4+4X7Y6Z7+4X6Y7Z7+8X6Y6Z8+2X4Y12Z4+4X4Y8Z8+11X4Y4Z12+2X3Y13Z4+2X2Y16Z2+2X13Y3Z3+4X6Y6Z7+2X6Y5Z8+2X4Y8Z7+2X4Y7Z8+4X4Y4Z11+2X4Y3Z12+2X3Y12Z4+6X2Y15Z2+4X6Y5Z7+2X4Y3Z11+2X3Y12Z3+2X3Y8Z7+2X3Y7Z8+2X3Y4Z11+2X3Y3Z12+4X6Y5Z6+2X4Y7Z6+2X4Y3Z10+4X3Y7Z7+2X3Y6Z8+8X3Y3Z11+7X2Y13Z2+144X6Y6Z4+29X4Y8Z4+49X4Y6Z6+5X4Y4Z8+2X3Y6Z7+2X3Y3Z10+2X3Y2Z11+X2Y13Z+2X2Y12Z2+2XY13Z2+36X4Y7Z4+X4Y6Z5+X4Y4Z7+4X3Y8Z4+2X3Y5Z7+2X3Y2Z10+3XY12Z2+7X8Y4Z2+216X6Y6Z2+3X4Y7Z3+17X4Y6Z4+4X4Y4Z6+X3Y8Z3+18X3Y7Z4+2X3Y5Z6+2X3Y3Z8+11X2Y8Z4+72X2Y6Z6+XY12Z+6X8Y3Z2+3X7Y4Z2+5X4Y6Z3+X4Y4Z5+2X4Y3Z6+X3Y7Z3+6X3Y6Z4+4X3Y3Z7+12X2Y7Z4+XY8Z4+22X8Y2Z2+6X6Y2Z4+234X4Y4Z4+X4Y2Z6+6X3Y6Z3+96X3Y3Z6+20X2Y8Z2+4X2Y7Z3+22X2Y6Z4+X2Y5Z5+28X2Y4Z6+12X2Y2Z8+4XY7Z4+2X9YZ+2X8Y2Z+6X8YZ2+6X7Y2Z2+2X5Y4Z2+5X4Y4Z3+46X4Y3Z4+X4Y2Z5+7X3Y4Z4+X2Y8Z+20X2Y7Z2+4X2Y6Z3+4X2Y5Z4+X2Y4Z5+23X2Y3Z6+XY8Z2+2XY7Z3+3XY6Z4+XY4Z6+X8YZ+32X6Y2Z2+4X5Y3Z2+113X4Y3Z3+29X4Y2Z4+8X3Y6Z+8X3Y4Z3+105X3Y3Z4+35X2Y6Z2+5X2Y5Z3+67X2Y4Z4+8X2Y3Z5+77X2Y2Z6+10XY8Z+XY6Z3+5XY3Z6+12X7YZ+2X5Y3Z+9X5Y2Z2+5X4Y2Z3+146X3Y3Z3+2X3Y2Z4+X2Y6Z+9X2Y5Z2+6X2Y4Z3+15X2Y3Z4+11X2Y2Z5+20X2YZ6+6XY7Z+23XY6Z2+3XY5Z3+XY4Z4+6XY3Z5+XY2Z6+9X6YZ+13X4Y2Z2+528X3Y3Z2+2X3Y2Z3+X2Y5Z+381X2Y4Z2+247X2Y3Z3+111X2Y2Z4+11X2YZ5+67XY6Z+XY5Z2+2XY4Z3+5XY3Z4+5XY2Z5+XYZ6+8X5YZ+16X4Y2Z+584X3Y3Z+31X3Y2Z2+3X2Y4Z+57X2Y3Z2+9X2Y2Z3+5X2YZ4+60XY4Z2+147XY3Z3+29XY2Z4+26X4YZ+74X3Y2Z+16X3YZ2+3X2Y3Z+557X2Y2Z2+X2YZ3+50XY4Z+28XY3Z2+62XY2Z3+28XYZ4+96X3YZ+29X2Y2Z+60X2YZ2+70XY3Z+239XY2Z2+74XYZ3+61X2YZ+181XY2Z+176XYZ2+273XYZX8Y8Z11X16Y4Z414X8Y8Z83X4Y16Z43X15Y4Z42X8Y8Z7X7Y8Z8X4Y16Z36X7Y8Z712X7Y7Z82X13Y4Z42X7Y7Z72X7Y6Z82X6Y5Z104X13Y3Z44X7Y6Z74X6Y7Z78X6Y6Z82X4Y12Z44X4Y8Z811X4Y4Z122X3Y13Z42X2Y16Z22X13Y3Z34X6Y6Z72X6Y5Z82X4Y8Z72X4Y7Z84X4Y4Z112X4Y3Z122X3Y12Z46X2Y15Z24X6Y5Z72X4Y3Z112X3Y12Z32X3Y8Z72X3Y7Z82X3Y4Z112X3Y3Z124X6Y5Z62X4Y7Z62X4Y3Z104X3Y7Z72X3Y6Z88X3Y3Z117X2Y13Z2144X6Y6Z429X4Y8Z449X4Y6Z65X4Y4Z82X3Y6Z72X3Y3Z102X3Y2Z11X2Y13Z2X2Y12Z22XY13Z236X4Y7Z4X4Y6Z5X4Y4Z74X3Y8Z42X3Y5Z72X3Y2Z103XY12Z27X8Y4Z2216X6Y6Z23X4Y7Z317X4Y6Z44X4Y4Z6X3Y8Z318X3Y7Z42X3Y5Z62X3Y3Z811X2Y8Z472X2Y6Z6XY12Z6X8Y3Z23X7Y4Z25X4Y6Z3X4Y4Z52X4Y3Z6X3Y7Z36X3Y6Z44X3Y3Z712X2Y7Z4XY8Z422X8Y2Z26X6Y2Z4234X4Y4Z4X4Y2Z66X3Y6Z396X3Y3Z620X2Y8Z24X2Y7Z322X2Y6Z4X2Y5Z528X2Y4Z612X2Y2Z84XY7Z42X9YZ2X8Y2Z6X8YZ26X7Y2Z22X5Y4Z25X4Y4Z346X4Y3Z4X4Y2Z57X3Y4Z4X2Y8Z20X2Y7Z24X2Y6Z34X2Y5Z4X2Y4Z523X2Y3Z6XY8Z22XY7Z33XY6Z4XY4Z6X8YZ32X6Y2Z24X5Y3Z2113X4Y3Z329X4Y2Z48X3Y6Z8X3Y4Z3105X3Y3Z435X2Y6Z25X2Y5Z367X2Y4Z48X2Y3Z577X2Y2Z610XY8ZXY6Z35XY3Z612X7YZ2X5Y3Z9X5Y2Z25X4Y2Z3146X3Y3Z32X3Y2Z4X2Y6Z9X2Y5Z26X2Y4Z315X2Y3Z411X2Y2Z520X2YZ66XY7Z23XY6Z23XY5Z3XY4Z46XY3Z5XY2Z69X6YZ13X4Y2Z2528X3Y3Z22X3Y2Z3X2Y5Z381X2Y4Z2247X2Y3Z3111X2Y2Z411X2YZ567XY6ZXY5Z22XY4Z35XY3Z45XY2Z5XYZ68X5YZ16X4Y2Z584X3Y3Z31X3Y2Z23X2Y4Z57X2Y3Z29X2Y2Z35X2YZ460XY4Z2147XY3Z329XY2Z426X4YZ74X3Y2Z16X3YZ23X2Y3Z557X2Y2Z2X2YZ350XY4Z28XY3Z262XY2Z328XYZ496X3YZ29X2Y2Z60X2YZ270XY3Z239XY2Z274XYZ361X2YZ181XY2Z176XYZ2273XYZX^8*Y^8*Z^11+X^16*Y^4*Z^4+14*X^8*Y^8*Z^8+3*X^4*Y^16*Z^4+3*X^15*Y^4*Z^4+2*X^8*Y^8*Z^7+X^7*Y^8*Z^8+X^4*Y^16*Z^3+6*X^7*Y^8*Z^7+12*X^7*Y^7*Z^8+2*X^13*Y^4*Z^4+2*X^7*Y^7*Z^7+2*X^7*Y^6*Z^8+2*X^6*Y^5*Z^10+4*X^13*Y^3*Z^4+4*X^7*Y^6*Z^7+4*X^6*Y^7*Z^7+8*X^6*Y^6*Z^8+2*X^4*Y^12*Z^4+4*X^4*Y^8*Z^8+11*X^4*Y^4*Z^12+2*X^3*Y^13*Z^4+2*X^2*Y^16*Z^2+2*X^13*Y^3*Z^3+4*X^6*Y^6*Z^7+2*X^6*Y^5*Z^8+2*X^4*Y^8*Z^7+2*X^4*Y^7*Z^8+4*X^4*Y^4*Z^11+2*X^4*Y^3*Z^12+2*X^3*Y^12*Z^4+6*X^2*Y^15*Z^2+4*X^6*Y^5*Z^7+2*X^4*Y^3*Z^11+2*X^3*Y^12*Z^3+2*X^3*Y^8*Z^7+2*X^3*Y^7*Z^8+2*X^3*Y^4*Z^11+2*X^3*Y^3*Z^12+4*X^6*Y^5*Z^6+2*X^4*Y^7*Z^6+2*X^4*Y^3*Z^10+4*X^3*Y^7*Z^7+2*X^3*Y^6*Z^8+8*X^3*Y^3*Z^11+7*X^2*Y^13*Z^2+144*X^6*Y^6*Z^4+29*X^4*Y^8*Z^4+49*X^4*Y^6*Z^6+5*X^4*Y^4*Z^8+2*X^3*Y^6*Z^7+2*X^3*Y^3*Z^10+2*X^3*Y^2*Z^11+X^2*Y^13*Z+2*X^2*Y^12*Z^2+2*X*Y^13*Z^2+36*X^4*Y^7*Z^4+X^4*Y^6*Z^5+X^4*Y^4*Z^7+4*X^3*Y^8*Z^4+2*X^3*Y^5*Z^7+2*X^3*Y^2*Z^10+3*X*Y^12*Z^2+7*X^8*Y^4*Z^2+216*X^6*Y^6*Z^2+3*X^4*Y^7*Z^3+17*X^4*Y^6*Z^4+4*X^4*Y^4*Z^6+X^3*Y^8*Z^3+18*X^3*Y^7*Z^4+2*X^3*Y^5*Z^6+2*X^3*Y^3*Z^8+11*X^2*Y^8*Z^4+72*X^2*Y^6*Z^6+X*Y^12*Z+6*X^8*Y^3*Z^2+3*X^7*Y^4*Z^2+5*X^4*Y^6*Z^3+X^4*Y^4*Z^5+2*X^4*Y^3*Z^6+X^3*Y^7*Z^3+6*X^3*Y^6*Z^4+4*X^3*Y^3*Z^7+12*X^2*Y^7*Z^4+X*Y^8*Z^4+22*X^8*Y^2*Z^2+6*X^6*Y^2*Z^4+234*X^4*Y^4*Z^4+X^4*Y^2*Z^6+6*X^3*Y^6*Z^3+96*X^3*Y^3*Z^6+20*X^2*Y^8*Z^2+4*X^2*Y^7*Z^3+22*X^2*Y^6*Z^4+X^2*Y^5*Z^5+28*X^2*Y^4*Z^6+12*X^2*Y^2*Z^8+4*X*Y^7*Z^4+2*X^9*Y*Z+2*X^8*Y^2*Z+6*X^8*Y*Z^2+6*X^7*Y^2*Z^2+2*X^5*Y^4*Z^2+5*X^4*Y^4*Z^3+46*X^4*Y^3*Z^4+X^4*Y^2*Z^5+7*X^3*Y^4*Z^4+X^2*Y^8*Z+20*X^2*Y^7*Z^2+4*X^2*Y^6*Z^3+4*X^2*Y^5*Z^4+X^2*Y^4*Z^5+23*X^2*Y^3*Z^6+X*Y^8*Z^2+2*X*Y^7*Z^3+3*X*Y^6*Z^4+X*Y^4*Z^6+X^8*Y*Z+32*X^6*Y^2*Z^2+4*X^5*Y^3*Z^2+113*X^4*Y^3*Z^3+29*X^4*Y^2*Z^4+8*X^3*Y^6*Z+8*X^3*Y^4*Z^3+105*X^3*Y^3*Z^4+35*X^2*Y^6*Z^2+5*X^2*Y^5*Z^3+67*X^2*Y^4*Z^4+8*X^2*Y^3*Z^5+77*X^2*Y^2*Z^6+10*X*Y^8*Z+X*Y^6*Z^3+5*X*Y^3*Z^6+12*X^7*Y*Z+2*X^5*Y^3*Z+9*X^5*Y^2*Z^2+5*X^4*Y^2*Z^3+146*X^3*Y^3*Z^3+2*X^3*Y^2*Z^4+X^2*Y^6*Z+9*X^2*Y^5*Z^2+6*X^2*Y^4*Z^3+15*X^2*Y^3*Z^4+11*X^2*Y^2*Z^5+20*X^2*Y*Z^6+6*X*Y^7*Z+23*X*Y^6*Z^2+3*X*Y^5*Z^3+X*Y^4*Z^4+6*X*Y^3*Z^5+X*Y^2*Z^6+9*X^6*Y*Z+13*X^4*Y^2*Z^2+528*X^3*Y^3*Z^2+2*X^3*Y^2*Z^3+X^2*Y^5*Z+381*X^2*Y^4*Z^2+247*X^2*Y^3*Z^3+111*X^2*Y^2*Z^4+11*X^2*Y*Z^5+67*X*Y^6*Z+X*Y^5*Z^2+2*X*Y^4*Z^3+5*X*Y^3*Z^4+5*X*Y^2*Z^5+X*Y*Z^6+8*X^5*Y*Z+16*X^4*Y^2*Z+584*X^3*Y^3*Z+31*X^3*Y^2*Z^2+3*X^2*Y^4*Z+57*X^2*Y^3*Z^2+9*X^2*Y^2*Z^3+5*X^2*Y*Z^4+60*X*Y^4*Z^2+147*X*Y^3*Z^3+29*X*Y^2*Z^4+26*X^4*Y*Z+74*X^3*Y^2*Z+16*X^3*Y*Z^2+3*X^2*Y^3*Z+557*X^2*Y^2*Z^2+X^2*Y*Z^3+50*X*Y^4*Z+28*X*Y^3*Z^2+62*X*Y^2*Z^3+28*X*Y*Z^4+96*X^3*Y*Z+29*X^2*Y^2*Z+60*X^2*Y*Z^2+70*X*Y^3*Z+239*X*Y^2*Z^2+74*X*Y*Z^3+61*X^2*Y*Z+181*X*Y^2*Z+176*X*Y*Z^2+273*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨19×21×29:6662⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨19×21×29:6662⟩ = ⟨10×9×15:870⟩ + ⟨10×9×15:870⟩ + ⟨9×12×14:968⟩ + ⟨10×12×14:1088⟩ + ⟨9×12×15:1000⟩ + ⟨9×9×14:726⟩ + ⟨10×12×15:1140⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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12, 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[[-C_15_9+C_14_10+C_15_10,-C_15_1+C_14_11+C_15_11,-C_15_2+C_14_12+C_15_12,-C_15_3+C_14_13+C_15_13,-C_15_4+C_14_14+C_15_14,-C_15_5+C_14_15+C_15_15,-C_15_6+C_14_16+C_15_16,-C_15_7+C_14_17+C_15_17,-C_15_8+C_14_18+C_15_18,C_14_19+C_15_19],[-C_16_9+C_1_10+C_16_10,-C_16_1+C_1_11+C_16_11,-C_16_2+C_1_12+C_16_12,-C_16_3+C_1_13+C_16_13,-C_16_4+C_1_14+C_16_14,-C_16_5+C_1_15+C_16_15,-C_16_6+C_1_16+C_16_16,-C_16_7+C_1_17+C_16_17,-C_16_8+C_1_18+C_16_18,C_1_19+C_16_19],[-C_17_9+C_2_10+C_17_10,-C_17_1+C_2_11+C_17_11,-C_17_2+C_2_12+C_17_12,-C_17_3+C_2_13+C_17_13,-C_17_4+C_2_14+C_17_14,-C_17_5+C_2_15+C_17_15,-C_17_6+C_2_16+C_17_16,-C_17_7+C_2_17+C_17_17,-C_17_8+C_2_18+C_17_18,C_2_19+C_17_19],[-C_18_9+C_3_10+C_18_10,-C_18_1+C_3_11+C_18_11,-C_18_2+C_3_12+C_18_12,-C_18_3+C_3_13+C_18_13,-C_18_4+C_3_14+C_18_14,-C_18_5+C_3_15+C_18_15,-C_18_6+C_3_16+C_18_16,-C_18_7+C_3_17+C_18_17,-C_18_8+C_3_18+C_18_18,C_3_19+C_18_19],[-C_19_9+C_4_10+C_19_10,-C_19_1+C_4_11+C_19_11,-C_19_2+C_4_12+C_19_12,-C_19_3+C_4_13+C_19_13,-C_19_4+C_4_14+C_19_14,-C_19_5+C_4_15+C_19_15,-C_19_6+C_4_16+C_19_16,-C_19_7+C_4_17+C_19_17,-C_19_8+C_4_18+C_19_18,C_4_19+C_19_19],[-C_20_9+C_5_10+C_20_10,-C_20_1+C_5_11+C_20_11,-C_20_2+C_5_12+C_20_12,-C_20_3+C_5_13+C_20_13,-C_20_4+C_5_14+C_20_14,-C_20_5+C_5_15+C_20_15,-C_20_6+C_5_16+C_20_16,-C_20_7+C_5_17+C_20_17,-C_20_8+C_5_18+C_20_18,C_5_19+C_20_19],[-C_21_9+C_6_10+C_21_10,-C_21_1+C_6_11+C_21_11,-C_21_2+C_6_12+C_21_12,-C_21_3+C_6_13+C_21_13,-C_21_4+C_6_14+C_21_14,-C_21_5+C_6_15+C_21_15,-C_21_6+C_6_16+C_21_16,-C_21_7+C_6_17+C_21_17,-C_21_8+C_6_18+C_21_18,C_6_19+C_21_19],[-C_22_9+C_7_10+C_22_10,-C_22_1+C_7_11+C_22_11,-C_22_2+C_7_12+C_22_12,-C_22_3+C_7_13+C_22_13,-C_22_4+C_7_14+C_22_14,-C_22_5+C_7_15+C_22_15,-C_22_6+C_7_16+C_22_16,-C_22_7+C_7_17+C_22_17,-C_22_8+C_7_18+C_22_18,C_7_19+C_22_19],[-C_23_9+C_8_10+C_23_10,-C_23_1+C_8_11+C_23_11,-C_23_2+C_8_12+C_23_12,-C_23_3+C_8_13+C_23_13,-C_23_4+C_8_14+C_23_14,-C_23_5+C_8_15+C_23_15,-C_23_6+C_8_16+C_23_16,-C_23_7+C_8_17+C_23_17,-C_23_8+C_8_18+C_23_18,C_8_19+C_23_19],[-C_24_9+C_9_10+C_24_10,-C_24_1+C_9_11+C_24_11,-C_24_2+C_9_12+C_24_12,-C_24_3+C_9_13+C_24_13,-C_24_4+C_9_14+C_24_14,-C_24_5+C_9_15+C_24_15,-C_24_6+C_9_16+C_24_16,-C_24_7+C_9_17+C_24_17,-C_24_8+C_9_18+C_24_18,C_9_19+C_24_19],[-C_25_9+C_10_10+C_25_10,-C_25_1+C_10_11+C_25_11,-C_25_2+C_10_12+C_25_12,-C_25_3+C_10_13+C_25_13,-C_25_4+C_10_14+C_25_14,-C_25_5+C_10_15+C_25_15,-C_25_6+C_10_16+C_25_16,-C_25_7+C_10_17+C_25_17,-C_25_8+C_10_18+C_25_18,C_10_19+C_25_19],[-C_26_9+C_11_10+C_26_10,-C_26_1+C_11_11+C_26_11,-C_26_2+C_11_12+C_26_12,-C_26_3+C_11_13+C_26_13,-C_26_4+C_11_14+C_26_14,-C_26_5+C_11_15+C_26_15,-C_26_6+C_11_16+C_26_16,-C_26_7+C_11_17+C_26_17,-C_26_8+C_11_18+C_26_18,C_11_19+C_26_19],[-C_27_9+C_12_10+C_27_10,-C_27_1+C_12_11+C_27_11,-C_27_2+C_12_12+C_27_12,-C_27_3+C_12_13+C_27_13,-C_27_4+C_12_14+C_27_14,-C_27_5+C_12_15+C_27_15,-C_27_6+C_12_16+C_27_16,-C_27_7+C_12_17+C_27_17,-C_27_8+C_12_18+C_27_18,C_12_19+C_27_19],[-C_28_9+C_13_10+C_28_10,-C_28_1+C_13_11+C_28_11,-C_28_2+C_13_12+C_28_12,-C_28_3+C_13_13+C_28_13,-C_28_4+C_13_14+C_28_14,-C_28_5+C_13_15+C_28_15,-C_28_6+C_13_16+C_28_16,-C_28_7+C_13_17+C_28_17,-C_28_8+C_13_18+C_28_18,C_13_19+C_28_19],[-C_29_9+C_29_10,-C_29_1+C_29_11,-C_29_2+C_29_12,-C_29_3+C_29_13,-C_29_4+C_29_14,-C_29_5+C_29_15,-C_29_6+C_29_16,-C_29_7+C_29_17,-C_29_8+C_29_18,C_29_19]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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