Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨13×28×31:6654⟩

Algorithm type

X13Y16Z13+2X13Y15Z12+X13Y11Z12+2X11Y12Z13+X8Y20Z8+X8Y19Z5+X8Y16Z8+X8Y15Z7+X8Y12Z8+X5Y15Z7+X5Y16Z5+4X8Y8Z8+X4Y12Z8+3X8Y8Z7+9X7Y8Z8+X3Y12Z8+10X8Y8Z6+10X7Y8Z7+2X6Y8Z8+X8Y8Z5+X7Y6Z8+X5Y11Z5+X5Y8Z8+X8Y7Z5+X8Y6Z6+X8Y4Z8+2X7Y6Z7+3X6Y8Z6+2X6Y7Z7+8X4Y12Z4+3X6Y7Z6+4X6Y6Z7+2X5Y6Z8+5X4Y12Z3+2X4Y11Z4+2X5Y6Z7+X4Y12Z2+X4Y11Z3+5X4Y10Z4+X5Y7Z5+X4Y11Z2+3X4Y10Z3+X8Y3Z5+22X4Y8Z4+48X4Y6Z6+3X4Y8Z3+X4Y7Z4+8X3Y8Z4+2X4Y8Z2+15X4Y6Z4+6X4Y4Z6+2X3Y8Z3+X2Y8Z4+72X2Y6Z6+X4Y6Z3+X3Y6Z4+X2Y7Z4+X6Y4Z2+350X4Y4Z4+2X3Y6Z3+4X3Y5Z4+3X2Y8Z2+6X2Y6Z4+3X2Y4Z6+18X7Y2Z2+2X6Y3Z2+32X4Y4Z3+10X4Y3Z4+28X3Y4Z4+5X2Y7Z2+14X2Y2Z7+8XY9Z+2XY6Z4+6X7Y2Z+25X6Y2Z2+36X4Y4Z2+3X4Y3Z3+5X4Y2Z4+76X3Y4Z3+72X3Y3Z4+175X2Y6Z2+33X2Y4Z4+41X2Y2Z6+4X2YZ7+12XY8Z+6XY2Z7+16X5Y2Z2+2X4Y3Z2+3X4Y2Z3+12X3Y3Z3+26X2Y6Z+24X2Y5Z2+12X2Y4Z3+10X2Y3Z4+8X2YZ6+4XY7Z+8XY6Z2+6X5YZ2+18X4Y2Z2+6X3Y4Z+4X2Y5Z+635X2Y4Z2+49X2Y3Z3+38X2Y2Z4+94XY6Z+12XY5Z2+16XY4Z3+20XY3Z4+17X4Y2Z+3X4YZ2+6X3Y3Z+8X3Y2Z2+41X2Y4Z+128X2Y3Z2+12X2Y2Z3+26XY5Z+74XY4Z2+84XY3Z3+12XY2Z4+9X4YZ+88X3Y2Z+1056X2Y2Z2+278XY4Z+68XY3Z2+110XY2Z3+16XYZ4+106X3YZ+127X2Y2Z+45X2YZ2+232XY3Z+196XY2Z2+118XYZ3+59X2YZ+728XY2Z+95XYZ2+618XYZX13Y16Z132X13Y15Z12X13Y11Z122X11Y12Z13X8Y20Z8X8Y19Z5X8Y16Z8X8Y15Z7X8Y12Z8X5Y15Z7X5Y16Z54X8Y8Z8X4Y12Z83X8Y8Z79X7Y8Z8X3Y12Z810X8Y8Z610X7Y8Z72X6Y8Z8X8Y8Z5X7Y6Z8X5Y11Z5X5Y8Z8X8Y7Z5X8Y6Z6X8Y4Z82X7Y6Z73X6Y8Z62X6Y7Z78X4Y12Z43X6Y7Z64X6Y6Z72X5Y6Z85X4Y12Z32X4Y11Z42X5Y6Z7X4Y12Z2X4Y11Z35X4Y10Z4X5Y7Z5X4Y11Z23X4Y10Z3X8Y3Z522X4Y8Z448X4Y6Z63X4Y8Z3X4Y7Z48X3Y8Z42X4Y8Z215X4Y6Z46X4Y4Z62X3Y8Z3X2Y8Z472X2Y6Z6X4Y6Z3X3Y6Z4X2Y7Z4X6Y4Z2350X4Y4Z42X3Y6Z34X3Y5Z43X2Y8Z26X2Y6Z43X2Y4Z618X7Y2Z22X6Y3Z232X4Y4Z310X4Y3Z428X3Y4Z45X2Y7Z214X2Y2Z78XY9Z2XY6Z46X7Y2Z25X6Y2Z236X4Y4Z23X4Y3Z35X4Y2Z476X3Y4Z372X3Y3Z4175X2Y6Z233X2Y4Z441X2Y2Z64X2YZ712XY8Z6XY2Z716X5Y2Z22X4Y3Z23X4Y2Z312X3Y3Z326X2Y6Z24X2Y5Z212X2Y4Z310X2Y3Z48X2YZ64XY7Z8XY6Z26X5YZ218X4Y2Z26X3Y4Z4X2Y5Z635X2Y4Z249X2Y3Z338X2Y2Z494XY6Z12XY5Z216XY4Z320XY3Z417X4Y2Z3X4YZ26X3Y3Z8X3Y2Z241X2Y4Z128X2Y3Z212X2Y2Z326XY5Z74XY4Z284XY3Z312XY2Z49X4YZ88X3Y2Z1056X2Y2Z2278XY4Z68XY3Z2110XY2Z316XYZ4106X3YZ127X2Y2Z45X2YZ2232XY3Z196XY2Z2118XYZ359X2YZ728XY2Z95XYZ2618XYZX^13*Y^16*Z^13+2*X^13*Y^15*Z^12+X^13*Y^11*Z^12+2*X^11*Y^12*Z^13+X^8*Y^20*Z^8+X^8*Y^19*Z^5+X^8*Y^16*Z^8+X^8*Y^15*Z^7+X^8*Y^12*Z^8+X^5*Y^15*Z^7+X^5*Y^16*Z^5+4*X^8*Y^8*Z^8+X^4*Y^12*Z^8+3*X^8*Y^8*Z^7+9*X^7*Y^8*Z^8+X^3*Y^12*Z^8+10*X^8*Y^8*Z^6+10*X^7*Y^8*Z^7+2*X^6*Y^8*Z^8+X^8*Y^8*Z^5+X^7*Y^6*Z^8+X^5*Y^11*Z^5+X^5*Y^8*Z^8+X^8*Y^7*Z^5+X^8*Y^6*Z^6+X^8*Y^4*Z^8+2*X^7*Y^6*Z^7+3*X^6*Y^8*Z^6+2*X^6*Y^7*Z^7+8*X^4*Y^12*Z^4+3*X^6*Y^7*Z^6+4*X^6*Y^6*Z^7+2*X^5*Y^6*Z^8+5*X^4*Y^12*Z^3+2*X^4*Y^11*Z^4+2*X^5*Y^6*Z^7+X^4*Y^12*Z^2+X^4*Y^11*Z^3+5*X^4*Y^10*Z^4+X^5*Y^7*Z^5+X^4*Y^11*Z^2+3*X^4*Y^10*Z^3+X^8*Y^3*Z^5+22*X^4*Y^8*Z^4+48*X^4*Y^6*Z^6+3*X^4*Y^8*Z^3+X^4*Y^7*Z^4+8*X^3*Y^8*Z^4+2*X^4*Y^8*Z^2+15*X^4*Y^6*Z^4+6*X^4*Y^4*Z^6+2*X^3*Y^8*Z^3+X^2*Y^8*Z^4+72*X^2*Y^6*Z^6+X^4*Y^6*Z^3+X^3*Y^6*Z^4+X^2*Y^7*Z^4+X^6*Y^4*Z^2+350*X^4*Y^4*Z^4+2*X^3*Y^6*Z^3+4*X^3*Y^5*Z^4+3*X^2*Y^8*Z^2+6*X^2*Y^6*Z^4+3*X^2*Y^4*Z^6+18*X^7*Y^2*Z^2+2*X^6*Y^3*Z^2+32*X^4*Y^4*Z^3+10*X^4*Y^3*Z^4+28*X^3*Y^4*Z^4+5*X^2*Y^7*Z^2+14*X^2*Y^2*Z^7+8*X*Y^9*Z+2*X*Y^6*Z^4+6*X^7*Y^2*Z+25*X^6*Y^2*Z^2+36*X^4*Y^4*Z^2+3*X^4*Y^3*Z^3+5*X^4*Y^2*Z^4+76*X^3*Y^4*Z^3+72*X^3*Y^3*Z^4+175*X^2*Y^6*Z^2+33*X^2*Y^4*Z^4+41*X^2*Y^2*Z^6+4*X^2*Y*Z^7+12*X*Y^8*Z+6*X*Y^2*Z^7+16*X^5*Y^2*Z^2+2*X^4*Y^3*Z^2+3*X^4*Y^2*Z^3+12*X^3*Y^3*Z^3+26*X^2*Y^6*Z+24*X^2*Y^5*Z^2+12*X^2*Y^4*Z^3+10*X^2*Y^3*Z^4+8*X^2*Y*Z^6+4*X*Y^7*Z+8*X*Y^6*Z^2+6*X^5*Y*Z^2+18*X^4*Y^2*Z^2+6*X^3*Y^4*Z+4*X^2*Y^5*Z+635*X^2*Y^4*Z^2+49*X^2*Y^3*Z^3+38*X^2*Y^2*Z^4+94*X*Y^6*Z+12*X*Y^5*Z^2+16*X*Y^4*Z^3+20*X*Y^3*Z^4+17*X^4*Y^2*Z+3*X^4*Y*Z^2+6*X^3*Y^3*Z+8*X^3*Y^2*Z^2+41*X^2*Y^4*Z+128*X^2*Y^3*Z^2+12*X^2*Y^2*Z^3+26*X*Y^5*Z+74*X*Y^4*Z^2+84*X*Y^3*Z^3+12*X*Y^2*Z^4+9*X^4*Y*Z+88*X^3*Y^2*Z+1056*X^2*Y^2*Z^2+278*X*Y^4*Z+68*X*Y^3*Z^2+110*X*Y^2*Z^3+16*X*Y*Z^4+106*X^3*Y*Z+127*X^2*Y^2*Z+45*X^2*Y*Z^2+232*X*Y^3*Z+196*X*Y^2*Z^2+118*X*Y*Z^3+59*X^2*Y*Z+728*X*Y^2*Z+95*X*Y*Z^2+618*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨13×28×31:6654⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨13×28×31:6654⟩ = ⟨6×14×16:889⟩ + ⟨6×14×16:889⟩ + ⟨7×14×15:979⟩ + ⟨6×14×15:826⟩ + ⟨7×14×16:1046⟩ + ⟨7×14×15:979⟩ + ⟨7×14×16:1046⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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16, 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N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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