Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨5×12×12:491⟩

Algorithm type

32X4Y6Z5+48X2Y6Z5+96X2Y3Z3+144XY3Z3+45X2Y2Z2+18XY3Z+36XY2Z+72XYZ32X4Y6Z548X2Y6Z596X2Y3Z3144XY3Z345X2Y2Z218XY3Z36XY2Z72XYZ32*X^4*Y^6*Z^5+48*X^2*Y^6*Z^5+96*X^2*Y^3*Z^3+144*X*Y^3*Z^3+45*X^2*Y^2*Z^2+18*X*Y^3*Z+36*X*Y^2*Z+72*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨5×12×12:491⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨5×12×12:491⟩ = ⟨3×6×6:80⟩ + ⟨2×6×6:57⟩ + ⟨3×6×6:80⟩ + ⟨2×6×6:57⟩ + ⟨2×6×6:57⟩ + ⟨3×6×6:80⟩ + ⟨3×6×6:80⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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[[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4,B_10_5,B_10_6,B_10_7,B_10_8,B_10_9,B_10_10,B_10_11,B_10_12],[B_11_1,B_11_2,B_11_3,B_11_4,B_11_5,B_11_6,B_11_7,B_11_8,B_11_9,B_11_10,B_11_11,B_11_12],[B_12_1,B_12_2,B_12_3,B_12_4,B_12_5,B_12_6,B_12_7,B_12_8,B_12_9,B_12_10,B_12_11,B_12_12]]),Matrix(12, 5, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5]]))) = Trace(Mul(Matrix(3, 6, [[A_3_7,A_3_5,A_3_6,A_3_10,A_3_11,A_3_12],[A_1_1+A_4_7,A_1_2+A_4_5,A_1_3+A_4_6,A_1_4+A_4_10,A_1_8+A_4_11,A_1_9+A_4_12],[A_2_1+A_5_7,A_2_2+A_5_5,A_2_3+A_5_6,A_2_4+A_5_10,A_2_8+A_5_11,A_2_9+A_5_12]]),Matrix(6, 6, [[B_1_1+B_7_7,B_1_2+B_7_5,B_1_3+B_7_6,B_1_4+B_7_10,B_1_8+B_7_11,B_1_9+B_7_12],[B_2_1+B_5_7,B_2_2+B_5_5,B_2_3+B_5_6,B_2_4+B_5_10,B_2_8+B_5_11,B_2_9+B_5_12],[B_3_1+B_6_7,B_3_2+B_6_5,B_3_3+B_6_6,B_3_4+B_6_10,B_3_8+B_6_11,B_3_9+B_6_12],[B_4_1+B_10_7,B_4_2+B_10_5,B_4_3+B_10_6,B_4_4+B_10_10,B_4_8+B_10_11,B_4_9+B_10_12],[B_8_1+B_11_7,B_8_2+B_11_5,B_8_3+B_11_6,B_8_4+B_11_10,B_8_8+B_11_11,B_8_9+B_11_12],[B_9_1+B_12_7,B_9_2+B_12_5,B_9_3+B_12_6,B_9_4+B_12_10,B_9_8+B_12_11,B_9_9+B_12_12]]),Matrix(6, 3, [[C_7_3,C_1_1+C_7_4,C_1_2+C_7_5],[C_5_3,C_2_1+C_5_4,C_2_2+C_5_5],[C_6_3,C_3_1+C_6_4,C_3_2+C_6_5],[C_10_3,C_4_1+C_10_4,C_4_2+C_10_5],[C_11_3,C_8_1+C_11_4,C_8_2+C_11_5],[C_12_3,C_9_1+C_12_4,C_9_2+C_12_5]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 6, [[A_1_7-A_4_7,A_1_5-A_4_5,A_1_6-A_4_6,A_1_10-A_4_10,A_1_11-A_4_11,A_1_12-A_4_12],[A_2_7-A_5_7,A_2_5-A_5_5,A_2_6-A_5_6,A_2_10-A_5_10,A_2_11-A_5_11,A_2_12-A_5_12]]),Matrix(6, 6, [[B_7_1+B_7_7,B_7_2+B_7_5,B_7_3+B_7_6,B_7_4+B_7_10,B_7_8+B_7_11,B_7_9+B_7_12],[B_5_1+B_5_7,B_5_2+B_5_5,B_5_3+B_5_6,B_5_4+B_5_10,B_5_8+B_5_11,B_5_9+B_5_12],[B_6_1+B_6_7,B_6_2+B_6_5,B_6_3+B_6_6,B_6_4+B_6_10,B_6_8+B_6_11,B_6_9+B_6_12],[B_10_1+B_10_7,B_10_2+B_10_5,B_10_3+B_10_6,B_10_4+B_10_10,B_10_8+B_10_11,B_10_9+B_10_12],[B_11_1+B_11_7,B_11_2+B_11_5,B_11_3+B_11_6,B_11_4+B_11_10,B_11_8+B_11_11,B_11_9+B_11_12],[B_12_1+B_12_7,B_12_2+B_12_5,B_12_3+B_12_6,B_12_4+B_12_10,B_12_8+B_12_11,B_12_9+B_12_12]]),Matrix(6, 2, [[C_1_1,C_1_2],[C_2_1,C_2_2],[C_3_1,C_3_2],[C_4_1,C_4_2],[C_8_1,C_8_2],[C_9_1,C_9_2]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 6, [[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_8,A_3_9],[-A_1_1+A_4_1,-A_1_2+A_4_2,-A_1_3+A_4_3,A_4_4-A_1_4,-A_1_8+A_4_8,-A_1_9+A_4_9],[-A_2_1+A_5_1,-A_2_2+A_5_2,-A_2_3+A_5_3,-A_2_4+A_5_4,-A_2_8+A_5_8,-A_2_9+A_5_9]]),Matrix(6, 6, [[B_1_7+B_1_1,B_1_2+B_1_5,B_1_3+B_1_6,B_1_4+B_1_10,B_1_8+B_1_11,B_1_9+B_1_12],[B_2_7+B_2_1,B_2_2+B_2_5,B_2_3+B_2_6,B_2_4+B_2_10,B_2_8+B_2_11,B_2_9+B_2_12],[B_3_1+B_3_7,B_3_2+B_3_5,B_3_3+B_3_6,B_3_4+B_3_10,B_3_8+B_3_11,B_3_9+B_3_12],[B_4_1+B_4_7,B_4_2+B_4_5,B_4_3+B_4_6,B_4_4+B_4_10,B_4_8+B_4_11,B_4_9+B_4_12],[B_8_1+B_8_7,B_8_2+B_8_5,B_8_3+B_8_6,B_8_4+B_8_10,B_8_8+B_8_11,B_8_9+B_8_12],[B_9_1+B_9_7,B_9_2+B_9_5,B_9_3+B_9_6,B_9_4+B_9_10,B_9_8+B_9_11,B_9_9+B_9_12]]),Matrix(6, 3, [[C_7_3,C_7_4,C_7_5],[C_5_3,C_5_4,C_5_5],[C_6_3,C_6_4,C_6_5],[C_10_3,C_10_4,C_10_5],[C_11_3,C_11_4,C_11_5],[C_12_3,C_12_4,C_12_5]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 6, [[A_1_1+A_1_7,A_1_2+A_1_5,A_1_3+A_1_6,A_1_4+A_1_10,A_1_8+A_1_11,A_1_9+A_1_12],[A_2_1+A_2_7,A_2_2+A_2_5,A_2_3+A_2_6,A_2_4+A_2_10,A_2_8+A_2_11,A_2_9+A_2_12]]),Matrix(6, 6, [[B_7_7,B_7_5,B_7_6,B_7_10,B_7_11,B_7_12],[B_5_7,B_5_5,B_5_6,B_5_10,B_5_11,B_5_12],[B_6_7,B_6_5,B_6_6,B_6_10,B_6_11,B_6_12],[B_10_7,B_10_5,B_10_6,B_10_10,B_10_11,B_10_12],[B_11_7,B_11_5,B_11_6,B_11_10,B_11_11,B_11_12],[B_12_7,B_12_5,B_12_6,B_12_10,B_12_11,B_12_12]]),Matrix(6, 2, [[C_7_1-C_1_1,-C_1_2+C_7_2],[-C_2_1+C_5_1,-C_2_2+C_5_2],[-C_3_1+C_6_1,C_6_2-C_3_2],[-C_4_1+C_10_1,-C_4_2+C_10_2],[-C_8_1+C_11_1,-C_8_2+C_11_2],[-C_9_1+C_12_1,-C_9_2+C_12_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 6, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_8,A_1_9],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_8,A_2_9]]),Matrix(6, 6, [[B_1_7-B_7_7,B_1_5-B_7_5,B_1_6-B_7_6,B_1_10-B_7_10,B_1_11-B_7_11,B_1_12-B_7_12],[B_2_7-B_5_7,B_2_5-B_5_5,B_2_6-B_5_6,B_2_10-B_5_10,B_2_11-B_5_11,B_2_12-B_5_12],[B_3_7-B_6_7,B_3_5-B_6_5,B_3_6-B_6_6,B_3_10-B_6_10,B_3_11-B_6_11,B_3_12-B_6_12],[B_4_7-B_10_7,B_4_5-B_10_5,B_4_6-B_10_6,B_4_10-B_10_10,B_4_11-B_10_11,B_4_12-B_10_12],[B_8_7-B_11_7,B_8_5-B_11_5,B_8_6-B_11_6,B_8_10-B_11_10,B_8_11-B_11_11,B_8_12-B_11_12],[B_9_7-B_12_7,B_9_5-B_12_5,B_9_6-B_12_6,B_9_10-B_12_10,B_9_11-B_12_11,B_9_12-B_12_12]]),Matrix(6, 2, [[C_7_1+C_7_4,C_7_2+C_7_5],[C_5_1+C_5_4,C_5_2+C_5_5],[C_6_1+C_6_4,C_6_2+C_6_5],[C_10_1+C_10_4,C_10_2+C_10_5],[C_11_1+C_11_4,C_11_2+C_11_5],[C_12_1+C_12_4,C_12_2+C_12_5]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 6, [[A_3_7,A_3_5,A_3_6,A_3_10,A_3_11,A_3_12],[A_4_7,A_4_5,A_4_6,A_4_10,A_4_11,A_4_12],[A_5_7,A_5_5,A_5_6,A_5_10,A_5_11,A_5_12]]),Matrix(6, 6, [[-B_1_1+B_7_1,-B_1_2+B_7_2,-B_1_3+B_7_3,-B_1_4+B_7_4,-B_1_8+B_7_8,-B_1_9+B_7_9],[-B_2_1+B_5_1,-B_2_2+B_5_2,-B_2_3+B_5_3,-B_2_4+B_5_4,-B_2_8+B_5_8,-B_2_9+B_5_9],[-B_3_1+B_6_1,-B_3_2+B_6_2,-B_3_3+B_6_3,-B_3_4+B_6_4,-B_3_8+B_6_8,-B_3_9+B_6_9],[-B_4_1+B_10_1,-B_4_2+B_10_2,-B_4_3+B_10_3,-B_4_4+B_10_4,-B_4_8+B_10_8,-B_4_9+B_10_9],[-B_8_1+B_11_1,-B_8_2+B_11_2,-B_8_3+B_11_3,-B_8_4+B_11_4,-B_8_8+B_11_8,-B_8_9+B_11_9],[-B_9_1+B_12_1,-B_9_2+B_12_2,-B_9_3+B_12_3,-B_9_4+B_12_4,-B_9_8+B_12_8,-B_9_9+B_12_9]]),Matrix(6, 3, [[C_1_3,C_1_1+C_1_4,C_1_2+C_1_5],[C_2_3,C_2_1+C_2_4,C_2_2+C_2_5],[C_3_3,C_3_1+C_3_4,C_3_2+C_3_5],[C_4_3,C_4_1+C_4_4,C_4_2+C_4_5],[C_8_3,C_8_1+C_8_4,C_8_2+C_8_5],[C_9_3,C_9_1+C_9_4,C_9_2+C_9_5]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 6, [[A_3_1+A_3_7,A_3_2+A_3_5,A_3_3+A_3_6,A_3_4+A_3_10,A_3_8+A_3_11,A_3_9+A_3_12],[A_4_1+A_4_7,A_4_2+A_4_5,A_4_3+A_4_6,A_4_4+A_4_10,A_4_8+A_4_11,A_4_9+A_4_12],[A_5_1+A_5_7,A_5_2+A_5_5,A_5_3+A_5_6,A_5_4+A_5_10,A_5_8+A_5_11,A_5_9+A_5_12]]),Matrix(6, 6, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_8,B_1_9],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_8,B_2_9],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_8,B_3_9],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_8,B_4_9],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_8,B_8_9],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_8,B_9_9]]),Matrix(6, 3, [[C_1_3-C_7_3,C_1_4-C_7_4,C_1_5-C_7_5],[C_2_3-C_5_3,C_2_4-C_5_4,C_2_5-C_5_5],[C_3_3-C_6_3,C_3_4-C_6_4,C_3_5-C_6_5],[C_4_3-C_10_3,C_4_4-C_10_4,C_4_5-C_10_5],[C_8_3-C_11_3,C_8_4-C_11_4,C_8_5-C_11_5],[C_9_3-C_12_3,C_9_4-C_12_4,C_9_5-C_12_5]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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