Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨23×31×32:12464⟩

Algorithm type

X16Y16Z16+4X15Y16Z15+2X15Y15Z16+3X15Y15Z15+X16Y16Z8+2X23Y8Z8+X8Y23Z8+X8Y8Z23+X7Y24Z8+X23Y8Z7+X15Y16Z7+X8Y7Z23+X7Y15Z16+X7Y8Z23+X7Y15Z15+2X8Y16Z8+X8Y16Z7+5X8Y15Z8+X8Y8Z15+X15Y8Z7+X7Y16Z7+2X7Y15Z8+74X8Y8Z8+14X8Y8Z7+11X8Y7Z8+18X7Y8Z8+X8Y7Z7+30X7Y8Z7+12X7Y7Z8+3X7Y7Z7+21X12Y4Z4+21X8Y8Z4+22X4Y12Z4+10X4Y8Z8+21X4Y4Z12+2X12Y4Z3+20X11Y4Z4+2X8Y8Z3+6X7Y8Z4+5X4Y11Z4+6X4Y8Z7+4X4Y7Z8+15X4Y4Z11+4X4Y3Z12+5X3Y12Z4+4X3Y8Z8+2X3Y4Z12+3X11Y4Z3+3X7Y8Z3+X4Y3Z11+2X3Y8Z7+5X3Y7Z8+3X3Y4Z11+X3Y7Z7+7X8Y4Z4+320X6Y4Z6+111X4Y8Z4+11X4Y4Z8+2X8Y4Z3+4X7Y4Z4+7X4Y8Z3+29X4Y7Z4+5X4Y4Z7+6X3Y8Z4+3X7Y4Z3+480X6Y2Z6+3X3Y8Z3+6X3Y7Z4+653X4Y4Z4+128X3Y6Z3+6X9YZ+56X4Y4Z3+29X4Y3Z4+66X3Y4Z4+4XY9Z+6XYZ9+189X6Y2Z2+159X4Y4Z2+X4Y3Z3+376X3Y4Z3+22X3Y3Z4+170X2Y6Z2+156X2Y4Z4+193X2Y2Z6+14X6Y2Z+50X5Y2Z2+8X4Y4Z+20X3Y4Z2+195X3Y3Z3+8X2Y6Z+9X2Y5Z2+20X2Y4Z3+8X2Y3Z4+37X2Y2Z5+8X2YZ6+21XY6Z2+18XY4Z4+20XY2Z6+8X6YZ+5X5Y2Z+85X4Y2Z2+5X3Y4Z+992X3Y2Z3+715X2Y4Z2+75X2Y2Z4+X2YZ5+30XY6Z+4XY4Z3+9XY3Z4+5XY2Z5+2XYZ6+10X4Y2Z+10X3Y3Z+26X3Y2Z2+780X3YZ3+43X2Y4Z+53X2Y3Z2+19X2Y2Z3+64XY4Z2+11XY3Z3+4XY2Z4+2X4YZ+39X3Y2Z+2X3YZ2+6X2Y3Z+1526X2Y2Z2+8X2YZ3+49XY4Z+12XY3Z2+34XY2Z3+313X3YZ+318X2Y2Z+19X2YZ2+300XY3Z+310XY2Z2+321XYZ3+152X2YZ+1067XY2Z+177XYZ2+823XYZX16Y16Z164X15Y16Z152X15Y15Z163X15Y15Z15X16Y16Z82X23Y8Z8X8Y23Z8X8Y8Z23X7Y24Z8X23Y8Z7X15Y16Z7X8Y7Z23X7Y15Z16X7Y8Z23X7Y15Z152X8Y16Z8X8Y16Z75X8Y15Z8X8Y8Z15X15Y8Z7X7Y16Z72X7Y15Z874X8Y8Z814X8Y8Z711X8Y7Z818X7Y8Z8X8Y7Z730X7Y8Z712X7Y7Z83X7Y7Z721X12Y4Z421X8Y8Z422X4Y12Z410X4Y8Z821X4Y4Z122X12Y4Z320X11Y4Z42X8Y8Z36X7Y8Z45X4Y11Z46X4Y8Z74X4Y7Z815X4Y4Z114X4Y3Z125X3Y12Z44X3Y8Z82X3Y4Z123X11Y4Z33X7Y8Z3X4Y3Z112X3Y8Z75X3Y7Z83X3Y4Z11X3Y7Z77X8Y4Z4320X6Y4Z6111X4Y8Z411X4Y4Z82X8Y4Z34X7Y4Z47X4Y8Z329X4Y7Z45X4Y4Z76X3Y8Z43X7Y4Z3480X6Y2Z63X3Y8Z36X3Y7Z4653X4Y4Z4128X3Y6Z36X9YZ56X4Y4Z329X4Y3Z466X3Y4Z44XY9Z6XYZ9189X6Y2Z2159X4Y4Z2X4Y3Z3376X3Y4Z322X3Y3Z4170X2Y6Z2156X2Y4Z4193X2Y2Z614X6Y2Z50X5Y2Z28X4Y4Z20X3Y4Z2195X3Y3Z38X2Y6Z9X2Y5Z220X2Y4Z38X2Y3Z437X2Y2Z58X2YZ621XY6Z218XY4Z420XY2Z68X6YZ5X5Y2Z85X4Y2Z25X3Y4Z992X3Y2Z3715X2Y4Z275X2Y2Z4X2YZ530XY6Z4XY4Z39XY3Z45XY2Z52XYZ610X4Y2Z10X3Y3Z26X3Y2Z2780X3YZ343X2Y4Z53X2Y3Z219X2Y2Z364XY4Z211XY3Z34XY2Z42X4YZ39X3Y2Z2X3YZ26X2Y3Z1526X2Y2Z28X2YZ349XY4Z12XY3Z234XY2Z3313X3YZ318X2Y2Z19X2YZ2300XY3Z310XY2Z2321XYZ3152X2YZ1067XY2Z177XYZ2823XYZX^16*Y^16*Z^16+4*X^15*Y^16*Z^15+2*X^15*Y^15*Z^16+3*X^15*Y^15*Z^15+X^16*Y^16*Z^8+2*X^23*Y^8*Z^8+X^8*Y^23*Z^8+X^8*Y^8*Z^23+X^7*Y^24*Z^8+X^23*Y^8*Z^7+X^15*Y^16*Z^7+X^8*Y^7*Z^23+X^7*Y^15*Z^16+X^7*Y^8*Z^23+X^7*Y^15*Z^15+2*X^8*Y^16*Z^8+X^8*Y^16*Z^7+5*X^8*Y^15*Z^8+X^8*Y^8*Z^15+X^15*Y^8*Z^7+X^7*Y^16*Z^7+2*X^7*Y^15*Z^8+74*X^8*Y^8*Z^8+14*X^8*Y^8*Z^7+11*X^8*Y^7*Z^8+18*X^7*Y^8*Z^8+X^8*Y^7*Z^7+30*X^7*Y^8*Z^7+12*X^7*Y^7*Z^8+3*X^7*Y^7*Z^7+21*X^12*Y^4*Z^4+21*X^8*Y^8*Z^4+22*X^4*Y^12*Z^4+10*X^4*Y^8*Z^8+21*X^4*Y^4*Z^12+2*X^12*Y^4*Z^3+20*X^11*Y^4*Z^4+2*X^8*Y^8*Z^3+6*X^7*Y^8*Z^4+5*X^4*Y^11*Z^4+6*X^4*Y^8*Z^7+4*X^4*Y^7*Z^8+15*X^4*Y^4*Z^11+4*X^4*Y^3*Z^12+5*X^3*Y^12*Z^4+4*X^3*Y^8*Z^8+2*X^3*Y^4*Z^12+3*X^11*Y^4*Z^3+3*X^7*Y^8*Z^3+X^4*Y^3*Z^11+2*X^3*Y^8*Z^7+5*X^3*Y^7*Z^8+3*X^3*Y^4*Z^11+X^3*Y^7*Z^7+7*X^8*Y^4*Z^4+320*X^6*Y^4*Z^6+111*X^4*Y^8*Z^4+11*X^4*Y^4*Z^8+2*X^8*Y^4*Z^3+4*X^7*Y^4*Z^4+7*X^4*Y^8*Z^3+29*X^4*Y^7*Z^4+5*X^4*Y^4*Z^7+6*X^3*Y^8*Z^4+3*X^7*Y^4*Z^3+480*X^6*Y^2*Z^6+3*X^3*Y^8*Z^3+6*X^3*Y^7*Z^4+653*X^4*Y^4*Z^4+128*X^3*Y^6*Z^3+6*X^9*Y*Z+56*X^4*Y^4*Z^3+29*X^4*Y^3*Z^4+66*X^3*Y^4*Z^4+4*X*Y^9*Z+6*X*Y*Z^9+189*X^6*Y^2*Z^2+159*X^4*Y^4*Z^2+X^4*Y^3*Z^3+376*X^3*Y^4*Z^3+22*X^3*Y^3*Z^4+170*X^2*Y^6*Z^2+156*X^2*Y^4*Z^4+193*X^2*Y^2*Z^6+14*X^6*Y^2*Z+50*X^5*Y^2*Z^2+8*X^4*Y^4*Z+20*X^3*Y^4*Z^2+195*X^3*Y^3*Z^3+8*X^2*Y^6*Z+9*X^2*Y^5*Z^2+20*X^2*Y^4*Z^3+8*X^2*Y^3*Z^4+37*X^2*Y^2*Z^5+8*X^2*Y*Z^6+21*X*Y^6*Z^2+18*X*Y^4*Z^4+20*X*Y^2*Z^6+8*X^6*Y*Z+5*X^5*Y^2*Z+85*X^4*Y^2*Z^2+5*X^3*Y^4*Z+992*X^3*Y^2*Z^3+715*X^2*Y^4*Z^2+75*X^2*Y^2*Z^4+X^2*Y*Z^5+30*X*Y^6*Z+4*X*Y^4*Z^3+9*X*Y^3*Z^4+5*X*Y^2*Z^5+2*X*Y*Z^6+10*X^4*Y^2*Z+10*X^3*Y^3*Z+26*X^3*Y^2*Z^2+780*X^3*Y*Z^3+43*X^2*Y^4*Z+53*X^2*Y^3*Z^2+19*X^2*Y^2*Z^3+64*X*Y^4*Z^2+11*X*Y^3*Z^3+4*X*Y^2*Z^4+2*X^4*Y*Z+39*X^3*Y^2*Z+2*X^3*Y*Z^2+6*X^2*Y^3*Z+1526*X^2*Y^2*Z^2+8*X^2*Y*Z^3+49*X*Y^4*Z+12*X*Y^3*Z^2+34*X*Y^2*Z^3+313*X^3*Y*Z+318*X^2*Y^2*Z+19*X^2*Y*Z^2+300*X*Y^3*Z+310*X*Y^2*Z^2+321*X*Y*Z^3+152*X^2*Y*Z+1067*X*Y^2*Z+177*X*Y*Z^2+823*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨23×31×32:12464⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨23×31×32:12464⟩ = ⟨12×16×16:1862⟩ + ⟨11×16×16:1752⟩ + ⟨12×15×16:1780⟩ + ⟨11×16×16:1752⟩ + ⟨11×15×16:1676⟩ + ⟨12×16×16:1862⟩ + ⟨12×15×16:1780⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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