Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨19×20×24:5252⟩

Algorithm type

2X14Y14Z16+X12Y12Z16+2X8Y14Z8+X6Y14Z8+2X10Y8Z8+X6Y12Z8+19X8Y8Z8+X8Y7Z8+3X8Y6Z8+11X7Y7Z8+X6Y8Z8+X8Y5Z8+5X7Y6Z8+X7Y5Z8+3X6Y6Z8+X5Y7Z8+6X4Y8Z8+X4Y4Z12+X11Y4Z4+3X7Y8Z4+2X7Y4Z8+2X4Y3Z12+2X6Y8Z4+X5Y5Z8+3X10Y3Z4+X9Y4Z4+10X8Y4Z4+40X4Y8Z4+144X4Y6Z6+4X4Y4Z8+3X2Y12Z2+X8Y3Z4+6X7Y4Z4+20X4Y7Z4+64X4Y5Z6+5X3Y8Z4+3X3Y4Z8+3X2Y11Z2+2X7Y3Z4+6X6Y4Z4+3X4Y8Z2+11X4Y6Z4+4X4Y4Z6+10X3Y7Z4+10X2Y8Z4+216X2Y6Z6+5X5Y4Z4+3X4Y5Z4+4X4Y4Z5+X3Y8Z2+2X3Y6Z4+96X2Y5Z6+6X6Y4Z2+96X6Y3Z3+170X4Y4Z4+2X3Y5Z4+10X2Y8Z2+X2Y6Z4+5X2Y4Z6+4X6Y3Z2+2X5Y4Z2+4X4Y4Z3+32X4Y3Z4+16X3Y4Z4+4X2Y7Z2+3X2Y3Z6+24X6Y2Z2+2X5Y3Z2+34X4Y4Z2+224X4Y3Z3+13X4Y2Z4+20X3Y4Z3+13X3Y3Z4+8X2Y6Z2+35X2Y4Z4+9X2Y2Z6+3X6YZ2+6X5Y2Z2+4X4Y3Z2+8X4Y2Z3+3X4YZ4+15X3Y4Z2+144X3Y3Z3+2X3Y2Z4+2X2Y5Z2+2X2Y3Z4+2X2YZ6+4XY4Z4+X5YZ2+84X4Y2Z2+2X3Y3Z2+2X3YZ4+196X2Y4Z2+848X2Y3Z3+53X2Y2Z4+6XY6Z+2X4YZ2+42X3Y2Z2+20X2Y4Z+44X2Y3Z2+8X2Y2Z3+16XY4Z2+768XY3Z3+2XY2Z4+16X3Y2Z+24X3YZ2+413X2Y2Z2+18XY4Z+7XY3Z2+8XY2Z3+XYZ4+40X3YZ+100X2Y2Z+65X2YZ2+10XY3Z+40XY2Z2+8XYZ3+116X2YZ+192XY2Z+125XYZ2+290XYZ2X14Y14Z16X12Y12Z162X8Y14Z8X6Y14Z82X10Y8Z8X6Y12Z819X8Y8Z8X8Y7Z83X8Y6Z811X7Y7Z8X6Y8Z8X8Y5Z85X7Y6Z8X7Y5Z83X6Y6Z8X5Y7Z86X4Y8Z8X4Y4Z12X11Y4Z43X7Y8Z42X7Y4Z82X4Y3Z122X6Y8Z4X5Y5Z83X10Y3Z4X9Y4Z410X8Y4Z440X4Y8Z4144X4Y6Z64X4Y4Z83X2Y12Z2X8Y3Z46X7Y4Z420X4Y7Z464X4Y5Z65X3Y8Z43X3Y4Z83X2Y11Z22X7Y3Z46X6Y4Z43X4Y8Z211X4Y6Z44X4Y4Z610X3Y7Z410X2Y8Z4216X2Y6Z65X5Y4Z43X4Y5Z44X4Y4Z5X3Y8Z22X3Y6Z496X2Y5Z66X6Y4Z296X6Y3Z3170X4Y4Z42X3Y5Z410X2Y8Z2X2Y6Z45X2Y4Z64X6Y3Z22X5Y4Z24X4Y4Z332X4Y3Z416X3Y4Z44X2Y7Z23X2Y3Z624X6Y2Z22X5Y3Z234X4Y4Z2224X4Y3Z313X4Y2Z420X3Y4Z313X3Y3Z48X2Y6Z235X2Y4Z49X2Y2Z63X6YZ26X5Y2Z24X4Y3Z28X4Y2Z33X4YZ415X3Y4Z2144X3Y3Z32X3Y2Z42X2Y5Z22X2Y3Z42X2YZ64XY4Z4X5YZ284X4Y2Z22X3Y3Z22X3YZ4196X2Y4Z2848X2Y3Z353X2Y2Z46XY6Z2X4YZ242X3Y2Z220X2Y4Z44X2Y3Z28X2Y2Z316XY4Z2768XY3Z32XY2Z416X3Y2Z24X3YZ2413X2Y2Z218XY4Z7XY3Z28XY2Z3XYZ440X3YZ100X2Y2Z65X2YZ210XY3Z40XY2Z28XYZ3116X2YZ192XY2Z125XYZ2290XYZ2*X^14*Y^14*Z^16+X^12*Y^12*Z^16+2*X^8*Y^14*Z^8+X^6*Y^14*Z^8+2*X^10*Y^8*Z^8+X^6*Y^12*Z^8+19*X^8*Y^8*Z^8+X^8*Y^7*Z^8+3*X^8*Y^6*Z^8+11*X^7*Y^7*Z^8+X^6*Y^8*Z^8+X^8*Y^5*Z^8+5*X^7*Y^6*Z^8+X^7*Y^5*Z^8+3*X^6*Y^6*Z^8+X^5*Y^7*Z^8+6*X^4*Y^8*Z^8+X^4*Y^4*Z^12+X^11*Y^4*Z^4+3*X^7*Y^8*Z^4+2*X^7*Y^4*Z^8+2*X^4*Y^3*Z^12+2*X^6*Y^8*Z^4+X^5*Y^5*Z^8+3*X^10*Y^3*Z^4+X^9*Y^4*Z^4+10*X^8*Y^4*Z^4+40*X^4*Y^8*Z^4+144*X^4*Y^6*Z^6+4*X^4*Y^4*Z^8+3*X^2*Y^12*Z^2+X^8*Y^3*Z^4+6*X^7*Y^4*Z^4+20*X^4*Y^7*Z^4+64*X^4*Y^5*Z^6+5*X^3*Y^8*Z^4+3*X^3*Y^4*Z^8+3*X^2*Y^11*Z^2+2*X^7*Y^3*Z^4+6*X^6*Y^4*Z^4+3*X^4*Y^8*Z^2+11*X^4*Y^6*Z^4+4*X^4*Y^4*Z^6+10*X^3*Y^7*Z^4+10*X^2*Y^8*Z^4+216*X^2*Y^6*Z^6+5*X^5*Y^4*Z^4+3*X^4*Y^5*Z^4+4*X^4*Y^4*Z^5+X^3*Y^8*Z^2+2*X^3*Y^6*Z^4+96*X^2*Y^5*Z^6+6*X^6*Y^4*Z^2+96*X^6*Y^3*Z^3+170*X^4*Y^4*Z^4+2*X^3*Y^5*Z^4+10*X^2*Y^8*Z^2+X^2*Y^6*Z^4+5*X^2*Y^4*Z^6+4*X^6*Y^3*Z^2+2*X^5*Y^4*Z^2+4*X^4*Y^4*Z^3+32*X^4*Y^3*Z^4+16*X^3*Y^4*Z^4+4*X^2*Y^7*Z^2+3*X^2*Y^3*Z^6+24*X^6*Y^2*Z^2+2*X^5*Y^3*Z^2+34*X^4*Y^4*Z^2+224*X^4*Y^3*Z^3+13*X^4*Y^2*Z^4+20*X^3*Y^4*Z^3+13*X^3*Y^3*Z^4+8*X^2*Y^6*Z^2+35*X^2*Y^4*Z^4+9*X^2*Y^2*Z^6+3*X^6*Y*Z^2+6*X^5*Y^2*Z^2+4*X^4*Y^3*Z^2+8*X^4*Y^2*Z^3+3*X^4*Y*Z^4+15*X^3*Y^4*Z^2+144*X^3*Y^3*Z^3+2*X^3*Y^2*Z^4+2*X^2*Y^5*Z^2+2*X^2*Y^3*Z^4+2*X^2*Y*Z^6+4*X*Y^4*Z^4+X^5*Y*Z^2+84*X^4*Y^2*Z^2+2*X^3*Y^3*Z^2+2*X^3*Y*Z^4+196*X^2*Y^4*Z^2+848*X^2*Y^3*Z^3+53*X^2*Y^2*Z^4+6*X*Y^6*Z+2*X^4*Y*Z^2+42*X^3*Y^2*Z^2+20*X^2*Y^4*Z+44*X^2*Y^3*Z^2+8*X^2*Y^2*Z^3+16*X*Y^4*Z^2+768*X*Y^3*Z^3+2*X*Y^2*Z^4+16*X^3*Y^2*Z+24*X^3*Y*Z^2+413*X^2*Y^2*Z^2+18*X*Y^4*Z+7*X*Y^3*Z^2+8*X*Y^2*Z^3+X*Y*Z^4+40*X^3*Y*Z+100*X^2*Y^2*Z+65*X^2*Y*Z^2+10*X*Y^3*Z+40*X*Y^2*Z^2+8*X*Y*Z^3+116*X^2*Y*Z+192*X*Y^2*Z+125*X*Y*Z^2+290*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨19×20×24:5252⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨19×20×24:5252⟩ = ⟨9×11×12:760⟩ + ⟨9×11×12:760⟩ + ⟨10×9×12:696⟩ + ⟨9×9×12:600⟩ + ⟨10×9×12:696⟩ + ⟨10×11×12:870⟩ + ⟨10×11×12:870⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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12, [[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12],[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12]]),Matrix(12, 10, 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10, 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N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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