Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨19×19×30:6219⟩

Algorithm type

2X7Y8Z11+12X8Y8Z8+X8Y8Z7+X4Y11Z8+X4Y4Z15+3X14Y4Z4+6X7Y8Z7+12X7Y7Z8+2X4Y14Z4+X3Y4Z15+X13Y4Z4+X11Y3Z7+X7Y7Z7+X4Y14Z3+X4Y13Z4+X14Y2Z4+X12Y4Z4+X8Y4Z8+7X6Y7Z7+14X6Y6Z8+X4Y13Z3+2X4Y8Z8+10X4Y4Z12+X3Y13Z4+X2Y14Z4+X12Y3Z4+2X11Y4Z4+3X6Y6Z7+3X4Y11Z4+3X4Y8Z7+X4Y7Z8+2X4Y4Z11+2X4Y3Z12+X2Y13Z4+X12Y2Z4+X7Y3Z8+3X5Y6Z7+3X5Y5Z8+X4Y8Z6+X4Y7Z7+3X4Y6Z8+4X4Y2Z12+2X3Y11Z4+X3Y8Z7+X3Y7Z8+6X3Y4Z11+4X2Y14Z2+X2Y12Z4+2X10Y4Z3+X4Y5Z8+X4Y2Z11+X3Y3Z11+3X2Y13Z2+3X2Y11Z4+X10Y3Z3+42X4Y8Z4+48X4Y6Z6+11X4Y4Z8+X3Y8Z5+X3Y5Z8+X3Y2Z11+X2Y13Z+5X2Y12Z2+X2Y7Z7+2X2Y6Z8+2X4Y8Z3+13X4Y7Z4+2X4Y4Z7+X4Y3Z8+2X3Y8Z4+11X2Y11Z2+X2Y6Z7+4X8Y4Z2+X7Y3Z4+X6Y4Z4+X4Y7Z3+19X4Y6Z4+3X4Y4Z6+3X3Y8Z3+25X3Y7Z4+2X3Y4Z7+2X3Y3Z8+9X2Y8Z4+72X2Y6Z6+5X2Y4Z8+4XY11Z2+XY6Z7+X7Y4Z2+X6Y3Z4+3X4Y5Z4+X4Y4Z5+7X3Y7Z3+X2Y8Z3+2X2Y7Z4+X2Y4Z7+XY4Z8+9X8Y2Z2+X7Y3Z2+13X6Y4Z2+9X6Y2Z4+X5Y3Z4+344X4Y4Z4+3X3Y6Z3+X3Y5Z4+22X2Y8Z2+X2Y7Z3+16X2Y6Z4+23X2Y4Z6+X2Y3Z7+22X2Y2Z8+2XY7Z4+XY4Z7+7X7Y2Z2+X6YZ4+8X5Y4Z2+X5Y3Z3+13X4Y4Z3+18X4Y3Z4+4X3Y4Z4+X2Y8Z+10X2Y7Z2+4X2Y5Z4+X2Y4Z5+2X2Y3Z6+2X2Y2Z7+XY7Z3+2X7YZ2+79X6Y2Z2+X6YZ3+2X5Y4Z+2X5Y3Z2+13X4Y4Z2+96X4Y3Z3+25X4Y2Z4+2X3Y4Z3+32X3Y3Z4+54X2Y6Z2+97X2Y4Z4+X2Y3Z5+86X2Y2Z6+XY8Z+2XY7Z2+XY6Z3+3XY4Z5+X5Y3Z+2X5Y2Z2+X4Y3Z2+2X4YZ4+5X3Y3Z3+X3Y2Z4+11X2Y5Z2+9X2Y4Z3+11X2Y3Z4+7X2Y2Z5+6X2YZ6+8XY7Z+16XY6Z2+2XY4Z4+12XY2Z6+2X5Y2Z+X5YZ2+15X4Y2Z2+18X3Y3Z2+48X3Y2Z3+432X2Y4Z2+240X2Y3Z3+358X2Y2Z4+80XY6Z+8XY3Z4+60XYZ6+X5YZ+6X4Y2Z+2X4YZ2+24X3Y3Z+28X3Y2Z2+72X3YZ3+5X2Y4Z+34X2Y3Z2+3X2Y2Z3+4X2YZ4+66XY4Z2+145XY3Z3+58XY2Z4+10X4YZ+92X3Y2Z+76X3YZ2+753X2Y2Z2+52XY4Z+38XY3Z2+50XY2Z3+47XYZ4+142X3YZ+44X2Y2Z+52X2YZ2+98XY3Z+444XY2Z2+111XYZ3+28X2YZ+316XY2Z+314XYZ2+245XYZ2X7Y8Z1112X8Y8Z8X8Y8Z7X4Y11Z8X4Y4Z153X14Y4Z46X7Y8Z712X7Y7Z82X4Y14Z4X3Y4Z15X13Y4Z4X11Y3Z7X7Y7Z7X4Y14Z3X4Y13Z4X14Y2Z4X12Y4Z4X8Y4Z87X6Y7Z714X6Y6Z8X4Y13Z32X4Y8Z810X4Y4Z12X3Y13Z4X2Y14Z4X12Y3Z42X11Y4Z43X6Y6Z73X4Y11Z43X4Y8Z7X4Y7Z82X4Y4Z112X4Y3Z12X2Y13Z4X12Y2Z4X7Y3Z83X5Y6Z73X5Y5Z8X4Y8Z6X4Y7Z73X4Y6Z84X4Y2Z122X3Y11Z4X3Y8Z7X3Y7Z86X3Y4Z114X2Y14Z2X2Y12Z42X10Y4Z3X4Y5Z8X4Y2Z11X3Y3Z113X2Y13Z23X2Y11Z4X10Y3Z342X4Y8Z448X4Y6Z611X4Y4Z8X3Y8Z5X3Y5Z8X3Y2Z11X2Y13Z5X2Y12Z2X2Y7Z72X2Y6Z82X4Y8Z313X4Y7Z42X4Y4Z7X4Y3Z82X3Y8Z411X2Y11Z2X2Y6Z74X8Y4Z2X7Y3Z4X6Y4Z4X4Y7Z319X4Y6Z43X4Y4Z63X3Y8Z325X3Y7Z42X3Y4Z72X3Y3Z89X2Y8Z472X2Y6Z65X2Y4Z84XY11Z2XY6Z7X7Y4Z2X6Y3Z43X4Y5Z4X4Y4Z57X3Y7Z3X2Y8Z32X2Y7Z4X2Y4Z7XY4Z89X8Y2Z2X7Y3Z213X6Y4Z29X6Y2Z4X5Y3Z4344X4Y4Z43X3Y6Z3X3Y5Z422X2Y8Z2X2Y7Z316X2Y6Z423X2Y4Z6X2Y3Z722X2Y2Z82XY7Z4XY4Z77X7Y2Z2X6YZ48X5Y4Z2X5Y3Z313X4Y4Z318X4Y3Z44X3Y4Z4X2Y8Z10X2Y7Z24X2Y5Z4X2Y4Z52X2Y3Z62X2Y2Z7XY7Z32X7YZ279X6Y2Z2X6YZ32X5Y4Z2X5Y3Z213X4Y4Z296X4Y3Z325X4Y2Z42X3Y4Z332X3Y3Z454X2Y6Z297X2Y4Z4X2Y3Z586X2Y2Z6XY8Z2XY7Z2XY6Z33XY4Z5X5Y3Z2X5Y2Z2X4Y3Z22X4YZ45X3Y3Z3X3Y2Z411X2Y5Z29X2Y4Z311X2Y3Z47X2Y2Z56X2YZ68XY7Z16XY6Z22XY4Z412XY2Z62X5Y2ZX5YZ215X4Y2Z218X3Y3Z248X3Y2Z3432X2Y4Z2240X2Y3Z3358X2Y2Z480XY6Z8XY3Z460XYZ6X5YZ6X4Y2Z2X4YZ224X3Y3Z28X3Y2Z272X3YZ35X2Y4Z34X2Y3Z23X2Y2Z34X2YZ466XY4Z2145XY3Z358XY2Z410X4YZ92X3Y2Z76X3YZ2753X2Y2Z252XY4Z38XY3Z250XY2Z347XYZ4142X3YZ44X2Y2Z52X2YZ298XY3Z444XY2Z2111XYZ328X2YZ316XY2Z314XYZ2245XYZ2*X^7*Y^8*Z^11+12*X^8*Y^8*Z^8+X^8*Y^8*Z^7+X^4*Y^11*Z^8+X^4*Y^4*Z^15+3*X^14*Y^4*Z^4+6*X^7*Y^8*Z^7+12*X^7*Y^7*Z^8+2*X^4*Y^14*Z^4+X^3*Y^4*Z^15+X^13*Y^4*Z^4+X^11*Y^3*Z^7+X^7*Y^7*Z^7+X^4*Y^14*Z^3+X^4*Y^13*Z^4+X^14*Y^2*Z^4+X^12*Y^4*Z^4+X^8*Y^4*Z^8+7*X^6*Y^7*Z^7+14*X^6*Y^6*Z^8+X^4*Y^13*Z^3+2*X^4*Y^8*Z^8+10*X^4*Y^4*Z^12+X^3*Y^13*Z^4+X^2*Y^14*Z^4+X^12*Y^3*Z^4+2*X^11*Y^4*Z^4+3*X^6*Y^6*Z^7+3*X^4*Y^11*Z^4+3*X^4*Y^8*Z^7+X^4*Y^7*Z^8+2*X^4*Y^4*Z^11+2*X^4*Y^3*Z^12+X^2*Y^13*Z^4+X^12*Y^2*Z^4+X^7*Y^3*Z^8+3*X^5*Y^6*Z^7+3*X^5*Y^5*Z^8+X^4*Y^8*Z^6+X^4*Y^7*Z^7+3*X^4*Y^6*Z^8+4*X^4*Y^2*Z^12+2*X^3*Y^11*Z^4+X^3*Y^8*Z^7+X^3*Y^7*Z^8+6*X^3*Y^4*Z^11+4*X^2*Y^14*Z^2+X^2*Y^12*Z^4+2*X^10*Y^4*Z^3+X^4*Y^5*Z^8+X^4*Y^2*Z^11+X^3*Y^3*Z^11+3*X^2*Y^13*Z^2+3*X^2*Y^11*Z^4+X^10*Y^3*Z^3+42*X^4*Y^8*Z^4+48*X^4*Y^6*Z^6+11*X^4*Y^4*Z^8+X^3*Y^8*Z^5+X^3*Y^5*Z^8+X^3*Y^2*Z^11+X^2*Y^13*Z+5*X^2*Y^12*Z^2+X^2*Y^7*Z^7+2*X^2*Y^6*Z^8+2*X^4*Y^8*Z^3+13*X^4*Y^7*Z^4+2*X^4*Y^4*Z^7+X^4*Y^3*Z^8+2*X^3*Y^8*Z^4+11*X^2*Y^11*Z^2+X^2*Y^6*Z^7+4*X^8*Y^4*Z^2+X^7*Y^3*Z^4+X^6*Y^4*Z^4+X^4*Y^7*Z^3+19*X^4*Y^6*Z^4+3*X^4*Y^4*Z^6+3*X^3*Y^8*Z^3+25*X^3*Y^7*Z^4+2*X^3*Y^4*Z^7+2*X^3*Y^3*Z^8+9*X^2*Y^8*Z^4+72*X^2*Y^6*Z^6+5*X^2*Y^4*Z^8+4*X*Y^11*Z^2+X*Y^6*Z^7+X^7*Y^4*Z^2+X^6*Y^3*Z^4+3*X^4*Y^5*Z^4+X^4*Y^4*Z^5+7*X^3*Y^7*Z^3+X^2*Y^8*Z^3+2*X^2*Y^7*Z^4+X^2*Y^4*Z^7+X*Y^4*Z^8+9*X^8*Y^2*Z^2+X^7*Y^3*Z^2+13*X^6*Y^4*Z^2+9*X^6*Y^2*Z^4+X^5*Y^3*Z^4+344*X^4*Y^4*Z^4+3*X^3*Y^6*Z^3+X^3*Y^5*Z^4+22*X^2*Y^8*Z^2+X^2*Y^7*Z^3+16*X^2*Y^6*Z^4+23*X^2*Y^4*Z^6+X^2*Y^3*Z^7+22*X^2*Y^2*Z^8+2*X*Y^7*Z^4+X*Y^4*Z^7+7*X^7*Y^2*Z^2+X^6*Y*Z^4+8*X^5*Y^4*Z^2+X^5*Y^3*Z^3+13*X^4*Y^4*Z^3+18*X^4*Y^3*Z^4+4*X^3*Y^4*Z^4+X^2*Y^8*Z+10*X^2*Y^7*Z^2+4*X^2*Y^5*Z^4+X^2*Y^4*Z^5+2*X^2*Y^3*Z^6+2*X^2*Y^2*Z^7+X*Y^7*Z^3+2*X^7*Y*Z^2+79*X^6*Y^2*Z^2+X^6*Y*Z^3+2*X^5*Y^4*Z+2*X^5*Y^3*Z^2+13*X^4*Y^4*Z^2+96*X^4*Y^3*Z^3+25*X^4*Y^2*Z^4+2*X^3*Y^4*Z^3+32*X^3*Y^3*Z^4+54*X^2*Y^6*Z^2+97*X^2*Y^4*Z^4+X^2*Y^3*Z^5+86*X^2*Y^2*Z^6+X*Y^8*Z+2*X*Y^7*Z^2+X*Y^6*Z^3+3*X*Y^4*Z^5+X^5*Y^3*Z+2*X^5*Y^2*Z^2+X^4*Y^3*Z^2+2*X^4*Y*Z^4+5*X^3*Y^3*Z^3+X^3*Y^2*Z^4+11*X^2*Y^5*Z^2+9*X^2*Y^4*Z^3+11*X^2*Y^3*Z^4+7*X^2*Y^2*Z^5+6*X^2*Y*Z^6+8*X*Y^7*Z+16*X*Y^6*Z^2+2*X*Y^4*Z^4+12*X*Y^2*Z^6+2*X^5*Y^2*Z+X^5*Y*Z^2+15*X^4*Y^2*Z^2+18*X^3*Y^3*Z^2+48*X^3*Y^2*Z^3+432*X^2*Y^4*Z^2+240*X^2*Y^3*Z^3+358*X^2*Y^2*Z^4+80*X*Y^6*Z+8*X*Y^3*Z^4+60*X*Y*Z^6+X^5*Y*Z+6*X^4*Y^2*Z+2*X^4*Y*Z^2+24*X^3*Y^3*Z+28*X^3*Y^2*Z^2+72*X^3*Y*Z^3+5*X^2*Y^4*Z+34*X^2*Y^3*Z^2+3*X^2*Y^2*Z^3+4*X^2*Y*Z^4+66*X*Y^4*Z^2+145*X*Y^3*Z^3+58*X*Y^2*Z^4+10*X^4*Y*Z+92*X^3*Y^2*Z+76*X^3*Y*Z^2+753*X^2*Y^2*Z^2+52*X*Y^4*Z+38*X*Y^3*Z^2+50*X*Y^2*Z^3+47*X*Y*Z^4+142*X^3*Y*Z+44*X^2*Y^2*Z+52*X^2*Y*Z^2+98*X*Y^3*Z+444*X*Y^2*Z^2+111*X*Y*Z^3+28*X^2*Y*Z+316*X*Y^2*Z+314*X*Y*Z^2+245*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨19×19×30:6219⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨19×19×30:6219⟩ = ⟨10×10×15:978⟩ + ⟨9×10×15:870⟩ + ⟨10×9×15:870⟩ + ⟨9×10×15:870⟩ + ⟨9×9×15:783⟩ + ⟨10×10×15:978⟩ + ⟨10×9×15:870⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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15, 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10, 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[[C_1_5-C_16_5,C_1_11-C_16_11,C_1_12-C_16_12,C_1_13-C_16_13,C_1_14-C_16_14,C_1_15-C_16_15,C_1_16-C_16_16,C_1_17-C_16_17,C_1_18-C_16_18,C_1_19-C_16_19],[C_2_5-C_17_5,C_2_11-C_17_11,C_2_12-C_17_12,C_2_13-C_17_13,C_2_14-C_17_14,C_2_15-C_17_15,C_2_16-C_17_16,C_2_17-C_17_17,C_2_18-C_17_18,C_2_19-C_17_19],[C_3_5-C_18_5,C_3_11-C_18_11,C_3_12-C_18_12,C_3_13-C_18_13,C_3_14-C_18_14,C_3_15-C_18_15,C_3_16-C_18_16,C_3_17-C_18_17,C_3_18-C_18_18,C_3_19-C_18_19],[C_4_5-C_19_5,C_4_11-C_19_11,C_4_12-C_19_12,C_4_13-C_19_13,C_4_14-C_19_14,C_4_15-C_19_15,C_4_16-C_19_16,C_4_17-C_19_17,C_4_18-C_19_18,C_4_19-C_19_19],[C_5_5-C_20_5,C_5_11-C_20_11,C_5_12-C_20_12,C_5_13-C_20_13,C_5_14-C_20_14,C_5_15-C_20_15,C_5_16-C_20_16,C_5_17-C_20_17,C_5_18-C_20_18,C_5_19-C_20_19],[C_6_5-C_21_5,C_6_11-C_21_11,C_6_12-C_21_12,C_6_13-C_21_13,C_6_14-C_21_14,C_6_15-C_21_15,C_6_16-C_21_16,C_6_17-C_21_17,C_6_18-C_21_18,C_6_19-C_21_19],[C_7_5-C_22_5,C_7_11-C_22_11,C_7_12-C_22_12,C_7_13-C_22_13,C_7_14-C_22_14,C_7_15-C_22_15,C_7_16-C_22_16,C_7_17-C_22_17,C_7_18-C_22_18,C_7_19-C_22_19],[C_8_5-C_23_5,C_8_11-C_23_11,C_8_12-C_23_12,C_8_13-C_23_13,C_8_14-C_23_14,C_8_15-C_23_15,C_8_16-C_23_16,C_8_17-C_23_17,C_8_18-C_23_18,C_8_19-C_23_19],[C_9_5-C_24_5,C_9_11-C_24_11,C_9_12-C_24_12,C_9_13-C_24_13,C_9_14-C_24_14,C_9_15-C_24_15,C_9_16-C_24_16,C_9_17-C_24_17,C_9_18-C_24_18,C_9_19-C_24_19],[C_10_5-C_25_5,C_10_11-C_25_11,C_10_12-C_25_12,C_10_13-C_25_13,C_10_14-C_25_14,C_10_15-C_25_15,C_10_16-C_25_16,C_10_17-C_25_17,C_10_18-C_25_18,C_10_19-C_25_19],[C_11_5-C_26_5,C_11_11-C_26_11,C_11_12-C_26_12,C_11_13-C_26_13,C_11_14-C_26_14,C_11_15-C_26_15,C_11_16-C_26_16,C_11_17-C_26_17,C_11_18-C_26_18,C_11_19-C_26_19],[C_12_5-C_27_5,C_12_11-C_27_11,C_12_12-C_27_12,C_12_13-C_27_13,C_12_14-C_27_14,C_12_15-C_27_15,C_12_16-C_27_16,C_12_17-C_27_17,C_12_18-C_27_18,C_12_19-C_27_19],[C_13_5-C_28_5,C_13_11-C_28_11,C_13_12-C_28_12,C_13_13-C_28_13,C_13_14-C_28_14,C_13_15-C_28_15,C_13_16-C_28_16,C_13_17-C_28_17,C_13_18-C_28_18,C_13_19-C_28_19],[C_14_5-C_29_5,C_14_11-C_29_11,C_14_12-C_29_12,C_14_13-C_29_13,C_14_14-C_29_14,C_14_15-C_29_15,C_14_16-C_29_16,C_14_17-C_29_17,C_14_18-C_29_18,C_14_19-C_29_19],[C_15_5-C_30_5,C_15_11-C_30_11,C_15_12-C_30_12,C_15_13-C_30_13,C_15_14-C_30_14,C_15_15-C_30_15,C_15_16-C_30_16,C_15_17-C_30_17,C_15_18-C_30_18,C_15_19-C_30_19]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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