Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨9×10×10:606⟩

Algorithm type

21⁢X4⁢Y4⁢Z4+2⁢X4⁢Y4⁢Z3+6⁢X6⁢Y2⁢Z2+12⁢X4⁢Y3⁢Z3+2⁢X2⁢Y4⁢Z4+4⁢X6⁢Y⁢Z2+2⁢X4⁢Y3⁢Z2+2⁢X2⁢Y5⁢Z2+6⁢X2⁢Y2⁢Z5+2⁢X4⁢Y3⁢Z+14⁢X4⁢Y2⁢Z2+2⁢X2⁢Y5⁢Z+18⁢X2⁢Y4⁢Z2+50⁢X2⁢Y2⁢Z4+2⁢X4⁢Y⁢Z2+2⁢X2⁢Y3⁢Z2+18⁢X2⁢Y2⁢Z3+2⁢X⁢Y2⁢Z4+6⁢X⁢Y⁢Z5+2⁢X4⁢Y⁢Z+16⁢X3⁢Y⁢Z2+2⁢X2⁢Y3⁢Z+85⁢X2⁢Y2⁢Z2+2⁢X⁢Y3⁢Z2+2⁢X⁢Y⁢Z4+16⁢X3⁢Y⁢Z+6⁢X2⁢Y2⁢Z+36⁢X2⁢Y⁢Z2+6⁢X⁢Y3⁢Z+40⁢X⁢Y2⁢Z2+10⁢X⁢Y⁢Z3+38⁢X2⁢Y⁢Z+42⁢X⁢Y2⁢Z+68⁢X⁢Y⁢Z2+62⁢X⁢Y⁢Z21X4Y4Z42X4Y4Z36X6Y2Z212X4Y3Z32X2Y4Z44X6YZ22X4Y3Z22X2Y5Z26X2Y2Z52X4Y3Z14X4Y2Z22X2Y5Z18X2Y4Z250X2Y2Z42X4YZ22X2Y3Z218X2Y2Z32XY2Z46XYZ52X4YZ16X3YZ22X2Y3Z85X2Y2Z22XY3Z22XYZ416X3YZ6X2Y2Z36X2YZ26XY3Z40XY2Z210XYZ338X2YZ42XY2Z68XYZ262XYZ21*X^4*Y^4*Z^4+2*X^4*Y^4*Z^3+6*X^6*Y^2*Z^2+12*X^4*Y^3*Z^3+2*X^2*Y^4*Z^4+4*X^6*Y*Z^2+2*X^4*Y^3*Z^2+2*X^2*Y^5*Z^2+6*X^2*Y^2*Z^5+2*X^4*Y^3*Z+14*X^4*Y^2*Z^2+2*X^2*Y^5*Z+18*X^2*Y^4*Z^2+50*X^2*Y^2*Z^4+2*X^4*Y*Z^2+2*X^2*Y^3*Z^2+18*X^2*Y^2*Z^3+2*X*Y^2*Z^4+6*X*Y*Z^5+2*X^4*Y*Z+16*X^3*Y*Z^2+2*X^2*Y^3*Z+85*X^2*Y^2*Z^2+2*X*Y^3*Z^2+2*X*Y*Z^4+16*X^3*Y*Z+6*X^2*Y^2*Z+36*X^2*Y*Z^2+6*X*Y^3*Z+40*X*Y^2*Z^2+10*X*Y*Z^3+38*X^2*Y*Z+42*X*Y^2*Z+68*X*Y*Z^2+62*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨9×10×10:606⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨9×10×10:606⟩ = ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×4:47⟩ + ⟨3×5×4:47⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×4:47⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×4:47⟩ + ⟨3×5×4:47⟩ + ⟨3×5×4:47⟩ + ⟨3×5×3:36⟩ + ⟨3×5×3:36⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_4_10A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_5_10A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_6_10A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_9_1A_9_2A_9_3A_9_4A_9_5A_9_6A_9_7A_9_8A_9_9A_9_10B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_10_1B_10_2B_10_3B_10_4B_10_5B_10_6B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_1_7C_1_8C_1_9C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_2_7C_2_8C_2_9C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_3_7C_3_8C_3_9C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_4_7C_4_8C_4_9C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_5_7C_5_8C_5_9C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_6_7C_6_8C_6_9C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_7_7C_7_8C_7_9C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_8_7C_8_8C_8_9C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_9_7C_9_8C_9_9C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_10_7C_10_8C_10_9=Trace⁡Mul⁡A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10B_1_3+B_6_3B_1_1+B_6_1B_1_2+B_6_2B_2_3+B_7_3B_2_1+B_7_1B_2_2+B_7_2B_3_3+B_8_3B_3_1+B_8_1B_3_2+B_8_2B_4_3+B_9_3B_4_1+B_9_1B_4_2+B_9_2B_5_3+B_10_3B_5_1+B_10_1B_5_2+B_10_2C_3_1-C_8_1-C_3_4C_3_2-C_8_2-C_3_5C_3_3-C_8_3-C_3_6C_1_1-C_9_1-C_1_4C_1_2-C_9_2-C_1_5C_1_3-C_9_3-C_1_6C_2_1-C_10_1-C_2_4C_2_2-C_10_2-C_2_5C_2_3-C_10_3-C_2_6+Trace⁡Mul⁡A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5B_1_4+B_6_4B_1_5+B_6_5B_1_6+B_6_6B_2_4+B_7_4B_2_5+B_7_5B_2_6+B_7_6B_3_4+B_8_4B_3_5+B_8_5B_3_6+B_8_6B_4_4+B_9_4B_4_5+B_9_5B_4_6+B_9_6B_5_4+B_10_4B_5_5+B_10_5B_5_6+B_10_6-C_4_1+C_4_4-C_8_4-C_4_2+C_4_5-C_8_5-C_4_3+C_4_6-C_8_6-C_5_1+C_5_4-C_9_4-C_5_2+C_5_5-C_9_5-C_5_3+C_5_6-C_9_6-C_6_1+C_6_4-C_10_4-C_6_2+C_6_5-C_10_5-C_6_3+C_6_6-C_10_6+Trace⁡Mul⁡A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_9_1A_9_2A_9_3A_9_4A_9_5B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10-C_7_1+C_7_7-C_7_2+C_7_8-C_7_3+C_7_9-C_8_1-C_4_7+C_8_7-C_8_2-C_4_8+C_8_8-C_8_3-C_4_9+C_8_9-C_9_1-C_5_7+C_9_7-C_9_2-C_5_8+C_9_8-C_9_3-C_5_9+C_9_9-C_10_1-C_6_7+C_10_7-C_10_2-C_6_8+C_10_8-C_10_3-C_6_9+C_10_9+Trace⁡Mul⁡A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_9_6A_9_7A_9_8A_9_9A_9_10B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10-C_7_4+C_7_7-C_7_5+C_7_8-C_7_6+C_7_9-C_8_4-C_3_7+C_8_7-C_8_5-C_3_8+C_8_8-C_8_6-C_3_9+C_8_9-C_9_4-C_1_7+C_9_7-C_9_5-C_1_8+C_9_8-C_9_6-C_1_9+C_9_9-C_10_4-C_2_7+C_10_7-C_10_5-C_2_8+C_10_8-C_10_6-C_2_9+C_10_9+Trace⁡Mul⁡A_1_1+A_4_1A_1_2+A_4_2A_1_3+A_4_3A_4_4+A_1_4A_4_5+A_1_5A_2_1+A_5_1A_2_2+A_5_2A_2_3+A_5_3A_5_4+A_2_4A_5_5+A_2_5A_3_1+A_6_1A_3_2+A_6_2A_3_3+A_6_3A_3_4+A_6_4A_3_5+A_6_5B_1_3+B_1_4B_1_1+B_1_5B_1_2+B_1_6B_2_3+B_2_4B_2_1+B_2_5B_2_2+B_2_6B_3_3+B_3_4B_3_1+B_3_5B_3_2+B_3_6B_4_3+B_4_4B_4_1+B_4_5B_4_2+B_4_6B_5_3+B_5_4B_5_1+B_5_5B_5_2+B_5_6C_4_1C_4_2C_4_3C_5_1C_5_2C_5_3C_6_1C_6_2C_6_3+Trace⁡Mul⁡A_1_1+A_7_1A_1_2+A_7_2A_1_3+A_7_3A_1_4+A_7_4A_1_5+A_7_5A_2_1+A_8_1A_2_2+A_8_2A_2_3+A_8_3A_2_4+A_8_4A_2_5+A_8_5A_3_1+A_9_1A_3_2+A_9_2A_3_3+A_9_3A_3_4+A_9_4A_3_5+A_9_5B_1_7+B_6_7B_1_3+B_6_3+B_1_8+B_6_8B_1_1+B_6_1+B_1_9+B_6_9B_1_2+B_6_2+B_1_10+B_6_10B_2_7+B_7_7B_2_3+B_7_3+B_2_8+B_7_8B_2_1+B_7_1+B_2_9+B_7_9B_2_2+B_7_2+B_2_10+B_7_10B_3_7+B_8_7B_3_3+B_8_3+B_3_8+B_8_8B_3_1+B_8_1+B_3_9+B_8_9B_3_2+B_8_2+B_3_10+B_8_10B_4_7+B_9_7B_4_3+B_9_3+B_4_8+B_9_8B_4_1+B_9_1+B_4_9+B_9_9B_4_2+B_9_2+B_4_10+B_9_10B_5_7+B_10_7B_5_3+B_10_3+B_5_8+B_10_8B_5_1+B_10_1+B_5_9+B_10_9B_5_2+B_10_2+B_5_10+B_10_10C_7_1C_7_2C_7_3C_8_1C_8_2C_8_3C_9_1C_9_2C_9_3C_10_1C_10_2C_10_3+Trace⁡Mul⁡A_1_1-A_1_6A_1_2-A_1_7A_1_3-A_1_8A_1_4-A_1_9-A_1_10+A_1_5A_2_1-A_2_6A_2_2-A_2_7A_2_3-A_2_8A_2_4-A_2_9-A_2_10+A_2_5A_3_1-A_3_6A_3_2-A_3_7-A_3_8+A_3_3A_3_4-A_3_9A_3_5-A_3_10B_1_3B_1_1B_1_2B_2_3B_2_1B_2_2B_3_3B_3_1B_3_2B_4_3B_4_1B_4_2B_5_3B_5_1B_5_2-C_4_1+C_3_1-C_3_7C_3_2-C_4_2-C_3_8C_3_3-C_4_3-C_3_9-C_5_1+C_1_1-C_1_7-C_5_2+C_1_2-C_1_8C_1_3-C_5_3-C_1_9-C_6_1+C_2_1-C_2_7-C_6_2+C_2_2-C_2_8C_2_3-C_6_3-C_2_9+Trace⁡Mul⁡A_4_1+A_1_6A_1_7+A_4_2A_1_8+A_4_3A_4_4+A_1_9A_4_5+A_1_10A_5_1+A_2_6A_2_7+A_5_2A_2_8+A_5_3A_5_4+A_2_9A_5_5+A_2_10A_6_1+A_3_6A_6_2+A_3_7A_6_3+A_3_8A_6_4+A_3_9A_6_5+A_3_10B_1_3-B_6_4B_1_1-B_6_5B_1_2-B_6_6B_2_3-B_7_4B_2_1-B_7_5B_2_2-B_7_6B_3_3-B_8_4B_3_1-B_8_5B_3_2-B_8_6B_4_3-B_9_4B_4_1-B_9_5B_4_2-B_9_6B_5_3-B_10_4B_5_1-B_10_5B_5_2-B_10_6-C_4_1+C_3_4-C_4_2+C_3_5-C_4_3+C_3_6-C_5_1+C_1_4-C_5_2+C_1_5-C_5_3+C_1_6-C_6_1+C_2_4-C_6_2+C_2_5-C_6_3+C_2_6+Trace⁡Mul⁡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[[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4,B_10_5,B_10_6,B_10_7,B_10_8,B_10_9,B_10_10]]),Matrix(10, 9, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6,C_1_7,C_1_8,C_1_9],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6,C_2_7,C_2_8,C_2_9],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6,C_3_7,C_3_8,C_3_9],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6,C_4_7,C_4_8,C_4_9],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7,C_5_8,C_5_9],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7,C_6_8,C_6_9],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7,C_7_8,C_7_9],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7,C_8_8,C_8_9],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7,C_9_8,C_9_9],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7,C_10_8,C_10_9]]))) = Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_6,A_1_7,A_1_8,A_1_9,A_1_10],[A_2_6,A_2_7,A_2_8,A_2_9,A_2_10],[A_3_6,A_3_7,A_3_8,A_3_9,A_3_10]]),Matrix(5, 3, [[B_1_3+B_6_3,B_1_1+B_6_1,B_1_2+B_6_2],[B_2_3+B_7_3,B_2_1+B_7_1,B_2_2+B_7_2],[B_3_3+B_8_3,B_3_1+B_8_1,B_3_2+B_8_2],[B_4_3+B_9_3,B_4_1+B_9_1,B_4_2+B_9_2],[B_5_3+B_10_3,B_5_1+B_10_1,B_5_2+B_10_2]]),Matrix(3, 3, [[C_3_1-C_8_1-C_3_4,C_3_2-C_8_2-C_3_5,C_3_3-C_8_3-C_3_6],[C_1_1-C_9_1-C_1_4,C_1_2-C_9_2-C_1_5,C_1_3-C_9_3-C_1_6],[C_2_1-C_10_1-C_2_4,C_2_2-C_10_2-C_2_5,C_2_3-C_10_3-C_2_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5],[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5],[A_6_1,A_6_2,A_6_3,A_6_4,A_6_5]]),Matrix(5, 3, [[B_1_4+B_6_4,B_1_5+B_6_5,B_1_6+B_6_6],[B_2_4+B_7_4,B_2_5+B_7_5,B_2_6+B_7_6],[B_3_4+B_8_4,B_3_5+B_8_5,B_3_6+B_8_6],[B_4_4+B_9_4,B_4_5+B_9_5,B_4_6+B_9_6],[B_5_4+B_10_4,B_5_5+B_10_5,B_5_6+B_10_6]]),Matrix(3, 3, [[-C_4_1+C_4_4-C_8_4,-C_4_2+C_4_5-C_8_5,-C_4_3+C_4_6-C_8_6],[-C_5_1+C_5_4-C_9_4,-C_5_2+C_5_5-C_9_5,-C_5_3+C_5_6-C_9_6],[-C_6_1+C_6_4-C_10_4,-C_6_2+C_6_5-C_10_5,-C_6_3+C_6_6-C_10_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_7_1,A_7_2,A_7_3,A_7_4,A_7_5],[A_8_1,A_8_2,A_8_3,A_8_4,A_8_5],[A_9_1,A_9_2,A_9_3,A_9_4,A_9_5]]),Matrix(5, 4, [[B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10],[B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10],[B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10],[B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10],[B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10]]),Matrix(4, 3, [[-C_7_1+C_7_7,-C_7_2+C_7_8,-C_7_3+C_7_9],[-C_8_1-C_4_7+C_8_7,-C_8_2-C_4_8+C_8_8,-C_8_3-C_4_9+C_8_9],[-C_9_1-C_5_7+C_9_7,-C_9_2-C_5_8+C_9_8,-C_9_3-C_5_9+C_9_9],[-C_10_1-C_6_7+C_10_7,-C_10_2-C_6_8+C_10_8,-C_10_3-C_6_9+C_10_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_7_6,A_7_7,A_7_8,A_7_9,A_7_10],[A_8_6,A_8_7,A_8_8,A_8_9,A_8_10],[A_9_6,A_9_7,A_9_8,A_9_9,A_9_10]]),Matrix(5, 4, [[B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10],[B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10],[B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10],[B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10],[B_10_7,B_10_8,B_10_9,B_10_10]]),Matrix(4, 3, [[-C_7_4+C_7_7,-C_7_5+C_7_8,-C_7_6+C_7_9],[-C_8_4-C_3_7+C_8_7,-C_8_5-C_3_8+C_8_8,-C_8_6-C_3_9+C_8_9],[-C_9_4-C_1_7+C_9_7,-C_9_5-C_1_8+C_9_8,-C_9_6-C_1_9+C_9_9],[-C_10_4-C_2_7+C_10_7,-C_10_5-C_2_8+C_10_8,-C_10_6-C_2_9+C_10_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_1+A_4_1,A_1_2+A_4_2,A_1_3+A_4_3,A_4_4+A_1_4,A_4_5+A_1_5],[A_2_1+A_5_1,A_2_2+A_5_2,A_2_3+A_5_3,A_5_4+A_2_4,A_5_5+A_2_5],[A_3_1+A_6_1,A_3_2+A_6_2,A_3_3+A_6_3,A_3_4+A_6_4,A_3_5+A_6_5]]),Matrix(5, 3, [[B_1_3+B_1_4,B_1_1+B_1_5,B_1_2+B_1_6],[B_2_3+B_2_4,B_2_1+B_2_5,B_2_2+B_2_6],[B_3_3+B_3_4,B_3_1+B_3_5,B_3_2+B_3_6],[B_4_3+B_4_4,B_4_1+B_4_5,B_4_2+B_4_6],[B_5_3+B_5_4,B_5_1+B_5_5,B_5_2+B_5_6]]),Matrix(3, 3, [[C_4_1,C_4_2,C_4_3],[C_5_1,C_5_2,C_5_3],[C_6_1,C_6_2,C_6_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_1+A_7_1,A_1_2+A_7_2,A_1_3+A_7_3,A_1_4+A_7_4,A_1_5+A_7_5],[A_2_1+A_8_1,A_2_2+A_8_2,A_2_3+A_8_3,A_2_4+A_8_4,A_2_5+A_8_5],[A_3_1+A_9_1,A_3_2+A_9_2,A_3_3+A_9_3,A_3_4+A_9_4,A_3_5+A_9_5]]),Matrix(5, 4, [[B_1_7+B_6_7,B_1_3+B_6_3+B_1_8+B_6_8,B_1_1+B_6_1+B_1_9+B_6_9,B_1_2+B_6_2+B_1_10+B_6_10],[B_2_7+B_7_7,B_2_3+B_7_3+B_2_8+B_7_8,B_2_1+B_7_1+B_2_9+B_7_9,B_2_2+B_7_2+B_2_10+B_7_10],[B_3_7+B_8_7,B_3_3+B_8_3+B_3_8+B_8_8,B_3_1+B_8_1+B_3_9+B_8_9,B_3_2+B_8_2+B_3_10+B_8_10],[B_4_7+B_9_7,B_4_3+B_9_3+B_4_8+B_9_8,B_4_1+B_9_1+B_4_9+B_9_9,B_4_2+B_9_2+B_4_10+B_9_10],[B_5_7+B_10_7,B_5_3+B_10_3+B_5_8+B_10_8,B_5_1+B_10_1+B_5_9+B_10_9,B_5_2+B_10_2+B_5_10+B_10_10]]),Matrix(4, 3, [[C_7_1,C_7_2,C_7_3],[C_8_1,C_8_2,C_8_3],[C_9_1,C_9_2,C_9_3],[C_10_1,C_10_2,C_10_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_1-A_1_6,A_1_2-A_1_7,A_1_3-A_1_8,A_1_4-A_1_9,-A_1_10+A_1_5],[A_2_1-A_2_6,A_2_2-A_2_7,A_2_3-A_2_8,A_2_4-A_2_9,-A_2_10+A_2_5],[A_3_1-A_3_6,A_3_2-A_3_7,-A_3_8+A_3_3,A_3_4-A_3_9,A_3_5-A_3_10]]),Matrix(5, 3, [[B_1_3,B_1_1,B_1_2],[B_2_3,B_2_1,B_2_2],[B_3_3,B_3_1,B_3_2],[B_4_3,B_4_1,B_4_2],[B_5_3,B_5_1,B_5_2]]),Matrix(3, 3, [[-C_4_1+C_3_1-C_3_7,C_3_2-C_4_2-C_3_8,C_3_3-C_4_3-C_3_9],[-C_5_1+C_1_1-C_1_7,-C_5_2+C_1_2-C_1_8,C_1_3-C_5_3-C_1_9],[-C_6_1+C_2_1-C_2_7,-C_6_2+C_2_2-C_2_8,C_2_3-C_6_3-C_2_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_1+A_1_6,A_1_7+A_4_2,A_1_8+A_4_3,A_4_4+A_1_9,A_4_5+A_1_10],[A_5_1+A_2_6,A_2_7+A_5_2,A_2_8+A_5_3,A_5_4+A_2_9,A_5_5+A_2_10],[A_6_1+A_3_6,A_6_2+A_3_7,A_6_3+A_3_8,A_6_4+A_3_9,A_6_5+A_3_10]]),Matrix(5, 3, [[B_1_3-B_6_4,B_1_1-B_6_5,B_1_2-B_6_6],[B_2_3-B_7_4,B_2_1-B_7_5,B_2_2-B_7_6],[B_3_3-B_8_4,B_3_1-B_8_5,B_3_2-B_8_6],[B_4_3-B_9_4,B_4_1-B_9_5,B_4_2-B_9_6],[B_5_3-B_10_4,B_5_1-B_10_5,B_5_2-B_10_6]]),Matrix(3, 3, [[-C_4_1+C_3_4,-C_4_2+C_3_5,-C_4_3+C_3_6],[-C_5_1+C_1_4,-C_5_2+C_1_5,-C_5_3+C_1_6],[-C_6_1+C_2_4,-C_6_2+C_2_5,-C_6_3+C_2_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_6+A_1_6,A_4_7+A_1_7,A_4_8+A_1_8,A_1_9+A_4_9,A_1_10+A_4_10],[A_2_6+A_5_6,A_2_7+A_5_7,A_2_8+A_5_8,A_2_9+A_5_9,A_2_10+A_5_10],[A_3_6+A_6_6,A_3_7+A_6_7,A_3_8+A_6_8,A_3_9+A_6_9,A_3_10+A_6_10]]),Matrix(5, 3, [[B_6_3+B_6_4,B_6_1+B_6_5,B_6_2+B_6_6],[B_7_3+B_7_4,B_7_1+B_7_5,B_7_2+B_7_6],[B_8_3+B_8_4,B_8_1+B_8_5,B_8_2+B_8_6],[B_9_3+B_9_4,B_9_1+B_9_5,B_9_2+B_9_6],[B_10_3+B_10_4,B_10_1+B_10_5,B_10_2+B_10_6]]),Matrix(3, 3, [[C_3_4,C_3_5,C_3_6],[C_1_4,C_1_5,C_1_6],[C_2_4,C_2_5,C_2_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_1-A_4_6,A_4_2-A_4_7,A_4_3-A_4_8,A_4_4-A_4_9,A_4_5-A_4_10],[A_5_1-A_5_6,A_5_2-A_5_7,A_5_3-A_5_8,A_5_4-A_5_9,A_5_5-A_5_10],[A_6_1-A_6_6,A_6_2-A_6_7,A_6_3-A_6_8,A_6_4-A_6_9,A_6_5-A_6_10]]),Matrix(5, 3, [[B_6_4,B_6_5,B_6_6],[B_7_4,B_7_5,B_7_6],[B_8_4,B_8_5,B_8_6],[B_9_4,B_9_5,B_9_6],[B_10_4,B_10_5,B_10_6]]),Matrix(3, 3, [[C_3_4-C_4_4+C_4_7,C_3_5-C_4_5+C_4_8,C_3_6-C_4_6+C_4_9],[C_1_4-C_5_4+C_5_7,C_1_5-C_5_5+C_5_8,C_1_6-C_5_6+C_5_9],[C_2_4-C_6_4+C_6_7,C_2_5-C_6_5+C_6_8,C_2_6-C_6_6+C_6_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_6+A_7_6,A_4_7+A_7_7,A_4_8+A_7_8,A_4_9+A_7_9,A_4_10+A_7_10],[A_5_6+A_8_6,A_5_7+A_8_7,A_5_8+A_8_8,A_5_9+A_8_9,A_5_10+A_8_10],[A_6_6+A_9_6,A_6_7+A_9_7,A_6_8+A_9_8,A_6_9+A_9_9,A_6_10+A_9_10]]),Matrix(5, 4, [[B_1_7+B_6_7,B_1_4+B_6_4+B_1_8+B_6_8,B_1_5+B_6_5+B_1_9+B_6_9,B_1_6+B_6_6+B_1_10+B_6_10],[B_2_7+B_7_7,B_2_4+B_7_4+B_2_8+B_7_8,B_2_5+B_7_5+B_2_9+B_7_9,B_2_6+B_7_6+B_2_10+B_7_10],[B_3_7+B_8_7,B_3_4+B_8_4+B_3_8+B_8_8,B_3_5+B_8_5+B_3_9+B_8_9,B_3_6+B_8_6+B_3_10+B_8_10],[B_4_7+B_9_7,B_4_4+B_9_4+B_4_8+B_9_8,B_4_5+B_9_5+B_4_9+B_9_9,B_4_6+B_9_6+B_4_10+B_9_10],[B_5_7+B_10_7,B_5_4+B_10_4+B_5_8+B_10_8,B_5_5+B_10_5+B_5_9+B_10_9,B_5_6+B_10_6+B_5_10+B_10_10]]),Matrix(4, 3, [[C_7_4,C_7_5,C_7_6],[C_8_4,C_8_5,C_8_6],[C_9_4,C_9_5,C_9_6],[C_10_4,C_10_5,C_10_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_1+A_7_1-A_1_6,A_1_2+A_7_2-A_1_7,A_1_3+A_7_3-A_1_8,A_1_4+A_7_4-A_1_9,A_1_5+A_7_5-A_1_10],[A_2_1+A_8_1-A_2_6,A_2_2+A_8_2-A_2_7,A_2_3+A_8_3-A_2_8,A_2_4+A_8_4-A_2_9,A_2_5+A_8_5-A_2_10],[A_3_1+A_9_1-A_3_6,A_3_2+A_9_2-A_3_7,A_3_3+A_9_3-A_3_8,A_3_4+A_9_4-A_3_9,A_3_5+A_9_5-A_3_10]]),Matrix(5, 4, [[B_6_7,B_1_3+B_6_3+B_6_8,B_1_1+B_6_1+B_6_9,B_1_2+B_6_2+B_6_10],[B_7_7,B_2_3+B_7_3+B_7_8,B_2_1+B_7_1+B_7_9,B_2_2+B_7_2+B_7_10],[B_8_7,B_3_3+B_8_3+B_8_8,B_3_1+B_8_1+B_8_9,B_3_2+B_8_2+B_8_10],[B_9_7,B_4_3+B_9_3+B_9_8,B_4_1+B_9_1+B_9_9,B_4_2+B_9_2+B_9_10],[B_10_7,B_5_3+B_10_3+B_10_8,B_5_1+B_10_1+B_10_9,B_5_2+B_10_2+B_10_10]]),Matrix(4, 3, [[-C_7_1,-C_7_2,-C_7_3],[-C_8_1+C_3_7,-C_8_2+C_3_8,-C_8_3+C_3_9],[-C_9_1+C_1_7,-C_9_2+C_1_8,-C_9_3+C_1_9],[-C_10_1+C_2_7,-C_10_2+C_2_8,-C_10_3+C_2_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_1-A_4_6-A_7_6,A_4_2-A_4_7-A_7_7,A_4_3-A_4_8-A_7_8,A_4_4-A_4_9-A_7_9,A_4_5-A_4_10-A_7_10],[A_5_1-A_5_6-A_8_6,A_5_2-A_5_7-A_8_7,A_5_3-A_5_8-A_8_8,A_5_4-A_5_9-A_8_9,A_5_5-A_5_10-A_8_10],[A_6_1-A_6_6-A_9_6,A_6_2-A_6_7-A_9_7,A_6_3-A_6_8-A_9_8,A_6_4-A_6_9-A_9_9,A_6_5-A_6_10-A_9_10]]),Matrix(5, 4, [[B_1_7,B_1_4+B_6_4+B_1_8,B_1_5+B_6_5+B_1_9,B_1_6+B_6_6+B_1_10],[B_2_7,B_2_4+B_7_4+B_2_8,B_2_5+B_7_5+B_2_9,B_2_6+B_7_6+B_2_10],[B_3_7,B_3_4+B_8_4+B_3_8,B_3_5+B_8_5+B_3_9,B_3_6+B_8_6+B_3_10],[B_4_7,B_4_4+B_9_4+B_4_8,B_4_5+B_9_5+B_4_9,B_4_6+B_9_6+B_4_10],[B_5_7,B_5_4+B_10_4+B_5_8,B_5_5+B_10_5+B_5_9,B_5_6+B_10_6+B_5_10]]),Matrix(4, 3, [[C_7_4,C_7_5,C_7_6],[C_8_4-C_4_7,C_8_5-C_4_8,C_8_6-C_4_9],[C_9_4-C_5_7,C_9_5-C_5_8,C_9_6-C_5_9],[C_10_4-C_6_7,C_10_5-C_6_8,C_10_6-C_6_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_4_1+A_7_1-A_4_6-A_7_6,A_4_2+A_7_2-A_4_7-A_7_7,A_4_3+A_7_3-A_4_8-A_7_8,A_4_4+A_7_4-A_4_9-A_7_9,A_4_5+A_7_5-A_4_10-A_7_10],[A_5_1+A_8_1-A_5_6-A_8_6,A_5_2+A_8_2-A_5_7-A_8_7,A_5_3+A_8_3-A_5_8-A_8_8,A_5_4+A_8_4-A_5_9-A_8_9,A_5_5+A_8_5-A_5_10-A_8_10],[A_6_1+A_9_1-A_6_6-A_9_6,A_6_2+A_9_2-A_6_7-A_9_7,A_6_3+A_9_3-A_6_8-A_9_8,A_6_4+A_9_4-A_6_9-A_9_9,A_6_5+A_9_5-A_6_10-A_9_10]]),Matrix(5, 3, [[B_1_4+B_1_8,B_1_5+B_1_9,B_1_6+B_1_10],[B_2_4+B_2_8,B_2_5+B_2_9,B_2_6+B_2_10],[B_3_4+B_3_8,B_3_5+B_3_9,B_3_6+B_3_10],[B_4_4+B_4_8,B_4_5+B_4_9,B_4_6+B_4_10],[B_5_4+B_5_8,B_5_5+B_5_9,B_5_6+B_5_10]]),Matrix(3, 3, [[C_4_7,C_4_8,C_4_9],[C_5_7,C_5_8,C_5_9],[C_6_7,C_6_8,C_6_9]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[-A_1_1-A_7_1+A_1_6+A_7_6,-A_1_2-A_7_2+A_1_7+A_7_7,-A_1_3-A_7_3+A_1_8+A_7_8,-A_1_4-A_7_4+A_1_9+A_7_9,-A_1_5-A_7_5+A_1_10+A_7_10],[-A_2_1-A_8_1+A_2_6+A_8_6,-A_2_2-A_8_2+A_2_7+A_8_7,-A_2_3-A_8_3+A_2_8+A_8_8,-A_2_4-A_8_4+A_2_9+A_8_9,-A_2_5-A_8_5+A_2_10+A_8_10],[-A_3_1-A_9_1+A_3_6+A_9_6,-A_3_2-A_9_2+A_3_7+A_9_7,-A_3_3-A_9_3+A_3_8+A_9_8,-A_3_4-A_9_4+A_3_9+A_9_9,-A_3_5-A_9_5+A_3_10+A_9_10]]),Matrix(5, 3, [[B_6_3+B_6_8,B_6_1+B_6_9,B_6_2+B_6_10],[B_7_3+B_7_8,B_7_1+B_7_9,B_7_2+B_7_10],[B_8_3+B_8_8,B_8_1+B_8_9,B_8_2+B_8_10],[B_9_3+B_9_8,B_9_1+B_9_9,B_9_2+B_9_10],[B_10_3+B_10_8,B_10_1+B_10_9,B_10_2+B_10_10]]),Matrix(3, 3, [[C_3_7,C_3_8,C_3_9],[C_1_7,C_1_8,C_1_9],[C_2_7,C_2_8,C_2_9]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.

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