Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨8×30×31:4384⟩

Algorithm type

19X8Y8Z8+2X8Y7Z8+6X8Y7Z7+3X8Y6Z8+X2Y18Z2+X2Y17Z2+6X6Y6Z8+8X4Y12Z4+2X2Y16Z2+7X4Y11Z4+9X4Y10Z4+58X4Y8Z4+22X2Y12Z2+9X4Y7Z4+8X2Y11Z2+10X4Y7Z3+9X4Y6Z4+6X2Y10Z2+266X4Y4Z4+33X2Y8Z2+6X2Y6Z4+22X4Y3Z4+7X2Y7Z2+6XY9Z+6X4Y2Z4+18X3Y3Z4+4X2Y7Z+120X2Y6Z2+6XY8Z+36X2Y5Z2+627X2Y4Z2+162XY6Z+41X2Y3Z2+18XY5Z+750X2Y2Z2+312XY4Z+18XY3Z2+24X2YZ2+216XY3Z+888XY2Z+612XYZ19X8Y8Z82X8Y7Z86X8Y7Z73X8Y6Z8X2Y18Z2X2Y17Z26X6Y6Z88X4Y12Z42X2Y16Z27X4Y11Z49X4Y10Z458X4Y8Z422X2Y12Z29X4Y7Z48X2Y11Z210X4Y7Z39X4Y6Z46X2Y10Z2266X4Y4Z433X2Y8Z26X2Y6Z422X4Y3Z47X2Y7Z26XY9Z6X4Y2Z418X3Y3Z44X2Y7Z120X2Y6Z26XY8Z36X2Y5Z2627X2Y4Z2162XY6Z41X2Y3Z218XY5Z750X2Y2Z2312XY4Z18XY3Z224X2YZ2216XY3Z888XY2Z612XYZ19*X^8*Y^8*Z^8+2*X^8*Y^7*Z^8+6*X^8*Y^7*Z^7+3*X^8*Y^6*Z^8+X^2*Y^18*Z^2+X^2*Y^17*Z^2+6*X^6*Y^6*Z^8+8*X^4*Y^12*Z^4+2*X^2*Y^16*Z^2+7*X^4*Y^11*Z^4+9*X^4*Y^10*Z^4+58*X^4*Y^8*Z^4+22*X^2*Y^12*Z^2+9*X^4*Y^7*Z^4+8*X^2*Y^11*Z^2+10*X^4*Y^7*Z^3+9*X^4*Y^6*Z^4+6*X^2*Y^10*Z^2+266*X^4*Y^4*Z^4+33*X^2*Y^8*Z^2+6*X^2*Y^6*Z^4+22*X^4*Y^3*Z^4+7*X^2*Y^7*Z^2+6*X*Y^9*Z+6*X^4*Y^2*Z^4+18*X^3*Y^3*Z^4+4*X^2*Y^7*Z+120*X^2*Y^6*Z^2+6*X*Y^8*Z+36*X^2*Y^5*Z^2+627*X^2*Y^4*Z^2+162*X*Y^6*Z+41*X^2*Y^3*Z^2+18*X*Y^5*Z+750*X^2*Y^2*Z^2+312*X*Y^4*Z+18*X*Y^3*Z^2+24*X^2*Y*Z^2+216*X*Y^3*Z+888*X*Y^2*Z+612*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨8×30×31:4384⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨8×30×31:4384⟩ = ⟨4×15×16:646⟩ + ⟨4×15×15:600⟩ + ⟨4×15×16:646⟩ + ⟨4×15×16:646⟩ + ⟨4×15×16:646⟩ + ⟨4×15×15:600⟩ + ⟨4×15×15:600⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_1_11A_1_12A_1_13A_1_14A_1_15A_1_16A_1_17A_1_18A_1_19A_1_20A_1_21A_1_22A_1_23A_1_24A_1_25A_1_26A_1_27A_1_28A_1_29A_1_30A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_2_11A_2_12A_2_13A_2_14A_2_15A_2_16A_2_17A_2_18A_2_19A_2_20A_2_21A_2_22A_2_23A_2_24A_2_25A_2_26A_2_27A_2_28A_2_29A_2_30A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10A_3_11A_3_12A_3_13A_3_14A_3_15A_3_16A_3_17A_3_18A_3_19A_3_20A_3_21A_3_22A_3_23A_3_24A_3_25A_3_26A_3_27A_3_28A_3_29A_3_30A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_4_10A_4_11A_4_12A_4_13A_4_14A_4_15A_4_16A_4_17A_4_18A_4_19A_4_20A_4_21A_4_22A_4_23A_4_24A_4_25A_4_26A_4_27A_4_28A_4_29A_4_30A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_5_10A_5_11A_5_12A_5_13A_5_14A_5_15A_5_16A_5_17A_5_18A_5_19A_5_20A_5_21A_5_22A_5_23A_5_24A_5_25A_5_26A_5_27A_5_28A_5_29A_5_30A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_6_10A_6_11A_6_12A_6_13A_6_14A_6_15A_6_16A_6_17A_6_18A_6_19A_6_20A_6_21A_6_22A_6_23A_6_24A_6_25A_6_26A_6_27A_6_28A_6_29A_6_30A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_7_11A_7_12A_7_13A_7_14A_7_15A_7_16A_7_17A_7_18A_7_19A_7_20A_7_21A_7_22A_7_23A_7_24A_7_25A_7_26A_7_27A_7_28A_7_29A_7_30A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_8_11A_8_12A_8_13A_8_14A_8_15A_8_16A_8_17A_8_18A_8_19A_8_20A_8_21A_8_22A_8_23A_8_24A_8_25A_8_26A_8_27A_8_28A_8_29A_8_30B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_1_28B_1_29B_1_30B_1_31B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_2_28B_2_29B_2_30B_2_31B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_3_28B_3_29B_3_30B_3_31B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_4_28B_4_29B_4_30B_4_31B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_5_20B_5_21B_5_22B_5_23B_5_24B_5_25B_5_26B_5_27B_5_28B_5_29B_5_30B_5_31B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_19B_6_20B_6_21B_6_22B_6_23B_6_24B_6_25B_6_26B_6_27B_6_28B_6_29B_6_30B_6_31B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_19B_7_20B_7_21B_7_22B_7_23B_7_24B_7_25B_7_26B_7_27B_7_28B_7_29B_7_30B_7_31B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_8_14B_8_15B_8_16B_8_17B_8_18B_8_19B_8_20B_8_21B_8_22B_8_23B_8_24B_8_25B_8_26B_8_27B_8_28B_8_29B_8_30B_8_31B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_9_14B_9_15B_9_16B_9_17B_9_18B_9_19B_9_20B_9_21B_9_22B_9_23B_9_24B_9_25B_9_26B_9_27B_9_28B_9_29B_9_30B_9_31B_10_1B_10_2B_10_3B_10_4B_10_5B_10_6B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10B_10_11B_10_12B_10_13B_10_14B_10_15B_10_16B_10_17B_10_18B_10_19B_10_20B_10_21B_10_22B_10_23B_10_24B_10_25B_10_26B_10_27B_10_28B_10_29B_10_30B_10_31B_11_1B_11_2B_11_3B_11_4B_11_5B_11_6B_11_7B_11_8B_11_9B_11_10B_11_11B_11_12B_11_13B_11_14B_11_15B_11_16B_11_17B_11_18B_11_19B_11_20B_11_21B_11_22B_11_23B_11_24B_11_25B_11_26B_11_27B_11_28B_11_29B_11_30B_11_31B_12_1B_12_2B_12_3B_12_4B_12_5B_12_6B_12_7B_12_8B_12_9B_12_10B_12_11B_12_12B_12_13B_12_14B_12_15B_12_16B_12_17B_12_18B_12_19B_12_20B_12_21B_12_22B_12_23B_12_24B_12_25B_12_26B_12_27B_12_28B_12_29B_12_30B_12_31B_13_1B_13_2B_13_3B_13_4B_13_5B_13_6B_13_7B_13_8B_13_9B_13_10B_13_11B_13_12B_13_13B_13_14B_13_15B_13_16B_13_17B_13_18B_13_19B_13_20B_13_21B_13_22B_13_23B_13_24B_13_25B_13_26B_13_27B_13_28B_13_29B_13_30B_13_31B_14_1B_14_2B_14_3B_14_4B_14_5B_14_6B_14_7B_14_8B_14_9B_14_10B_14_11B_14_12B_14_13B_14_14B_14_15B_14_16B_14_17B_14_18B_14_19B_14_20B_14_21B_14_22B_14_23B_14_24B_14_25B_14_26B_14_27B_14_28B_14_29B_14_30B_14_31B_15_1B_15_2B_15_3B_15_4B_15_5B_15_6B_15_7B_15_8B_15_9B_15_10B_15_11B_15_12B_15_13B_15_14B_15_15B_15_16B_15_17B_15_18B_15_19B_15_20B_15_21B_15_22B_15_23B_15_24B_15_25B_15_26B_15_27B_15_28B_15_29B_15_30B_15_31B_16_1B_16_2B_16_3B_16_4B_16_5B_16_6B_16_7B_16_8B_16_9B_16_10B_16_11B_16_12B_16_13B_16_14B_16_15B_16_16B_16_17B_16_18B_16_19B_16_20B_16_21B_16_22B_16_23B_16_24B_16_25B_16_26B_16_27B_16_28B_16_29B_16_30B_16_31B_17_1B_17_2B_17_3B_17_4B_17_5B_17_6B_17_7B_17_8B_17_9B_17_10B_17_11B_17_12B_17_13B_17_14B_17_15B_17_16B_17_17B_17_18B_17_19B_17_20B_17_21B_17_22B_17_23B_17_24B_17_25B_17_26B_17_27B_17_28B_17_29B_17_30B_17_31B_18_1B_18_2B_18_3B_18_4B_18_5B_18_6B_18_7B_18_8B_18_9B_18_10B_18_11B_18_12B_18_13B_18_14B_18_15B_18_16B_18_17B_18_18B_18_19B_18_20B_18_21B_18_22B_18_23B_18_24B_18_25B_18_26B_18_27B_18_28B_18_29B_18_30B_18_31B_19_1B_19_2B_19_3B_19_4B_19_5B_19_6B_19_7B_19_8B_19_9B_19_10B_19_11B_19_12B_19_13B_19_14B_19_15B_19_16B_19_17B_19_18B_19_19B_19_20B_19_21B_19_22B_19_23B_19_24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[[-B_1_1+B_16_1,-B_1_2+B_16_2,-B_1_3+B_16_3,-B_1_4+B_16_4,-B_1_5+B_16_5,-B_1_6+B_16_6,-B_1_7+B_16_7,-B_1_8+B_16_8,-B_1_9+B_16_9,-B_1_10+B_16_10,-B_1_11+B_16_11,-B_1_12+B_16_12,-B_1_13+B_16_13,-B_1_14+B_16_14,-B_1_15+B_16_15],[-B_2_1+B_17_1,-B_2_2+B_17_2,-B_2_3+B_17_3,-B_2_4+B_17_4,-B_2_5+B_17_5,-B_2_6+B_17_6,-B_2_7+B_17_7,-B_2_8+B_17_8,-B_2_9+B_17_9,-B_2_10+B_17_10,-B_2_11+B_17_11,-B_2_12+B_17_12,-B_2_13+B_17_13,-B_2_14+B_17_14,-B_2_15+B_17_15],[-B_3_1+B_18_1,-B_3_2+B_18_2,-B_3_3+B_18_3,-B_3_4+B_18_4,-B_3_5+B_18_5,-B_3_6+B_18_6,-B_3_7+B_18_7,-B_3_8+B_18_8,-B_3_9+B_18_9,-B_3_10+B_18_10,-B_3_11+B_18_11,-B_3_12+B_18_12,-B_3_13+B_18_13,-B_3_14+B_18_14,-B_3_15+B_18_15],[-B_4_1+B_19_1,-B_4_2+B_19_2,-B_4_3+B_19_3,-B_4_4+B_19_4,-B_4_5+B_19_5,-B_4_6+B_19_6,-B_4_7+B_19_7,-B_4_8+B_19_8,-B_4_9+B_19_9,-B_4_10+B_19_10,-B_4_11+B_19_11,-B_4_12+B_19_12,-B_4_13+B_19_13,-B_4_14+B_19_14,-B_4_15+B_19_15],[-B_5_1+B_20_1,-B_5_2+B_20_2,-B_5_3+B_20_3,-B_5_4+B_20_4,-B_5_5+B_20_5,-B_5_6+B_20_6,-B_5_7+B_20_7,-B_5_8+B_20_8,-B_5_9+B_20_9,-B_5_10+B_20_10,-B_5_11+B_20_11,-B_5_12+B_20_12,-B_5_13+B_20_13,-B_5_14+B_20_14,-B_5_15+B_20_15],[-B_6_1+B_21_1,-B_6_2+B_21_2,-B_6_3+B_21_3,-B_6_4+B_21_4,-B_6_5+B_21_5,-B_6_6+B_21_6,-B_6_7+B_21_7,-B_6_8+B_21_8,-B_6_9+B_21_9,-B_6_10+B_21_10,-B_6_11+B_21_11,-B_6_12+B_21_12,-B_6_13+B_21_13,-B_6_14+B_21_14,-B_6_15+B_21_15],[-B_7_1+B_22_1,-B_7_2+B_22_2,-B_7_3+B_22_3,-B_7_4+B_22_4,-B_7_5+B_22_5,-B_7_6+B_22_6,-B_7_7+B_22_7,-B_7_8+B_22_8,-B_7_9+B_22_9,-B_7_10+B_22_10,-B_7_11+B_22_11,-B_7_12+B_22_12,-B_7_13+B_22_13,-B_7_14+B_22_14,-B_7_15+B_22_15],[-B_8_1+B_23_1,-B_8_2+B_23_2,-B_8_3+B_23_3,-B_8_4+B_23_4,-B_8_5+B_23_5,-B_8_6+B_23_6,-B_8_7+B_23_7,-B_8_8+B_23_8,-B_8_9+B_23_9,-B_8_10+B_23_10,-B_8_11+B_23_11,-B_8_12+B_23_12,-B_8_13+B_23_13,-B_8_14+B_23_14,-B_8_15+B_23_15],[-B_9_1+B_24_1,-B_9_2+B_24_2,-B_9_3+B_24_3,-B_9_4+B_24_4,-B_9_5+B_24_5,-B_9_6+B_24_6,-B_9_7+B_24_7,-B_9_8+B_24_8,-B_9_9+B_24_9,-B_9_10+B_24_10,-B_9_11+B_24_11,-B_9_12+B_24_12,-B_9_13+B_24_13,-B_9_14+B_24_14,-B_9_15+B_24_15],[-B_10_1+B_25_1,-B_10_2+B_25_2,-B_10_3+B_25_3,-B_10_4+B_25_4,-B_10_5+B_25_5,-B_10_6+B_25_6,-B_10_7+B_25_7,-B_10_8+B_25_8,-B_10_9+B_25_9,-B_10_10+B_25_10,-B_10_11+B_25_11,-B_10_12+B_25_12,-B_10_13+B_25_13,-B_10_14+B_25_14,-B_10_15+B_25_15],[-B_11_1+B_26_1,-B_11_2+B_26_2,-B_11_3+B_26_3,-B_11_4+B_26_4,-B_11_5+B_26_5,-B_11_6+B_26_6,-B_11_7+B_26_7,-B_11_8+B_26_8,-B_11_9+B_26_9,-B_11_10+B_26_10,-B_11_11+B_26_11,-B_11_12+B_26_12,-B_11_13+B_26_13,-B_11_14+B_26_14,-B_11_15+B_26_15],[-B_12_1+B_27_1,-B_12_2+B_27_2,-B_12_3+B_27_3,-B_12_4+B_27_4,-B_12_5+B_27_5,-B_12_6+B_27_6,-B_12_7+B_27_7,-B_12_8+B_27_8,-B_12_9+B_27_9,-B_12_10+B_27_10,-B_12_11+B_27_11,-B_12_12+B_27_12,-B_12_13+B_27_13,-B_12_14+B_27_14,-B_12_15+B_27_15],[-B_13_1+B_28_1,-B_13_2+B_28_2,-B_13_3+B_28_3,-B_13_4+B_28_4,-B_13_5+B_28_5,-B_13_6+B_28_6,-B_13_7+B_28_7,-B_13_8+B_28_8,-B_13_9+B_28_9,-B_13_10+B_28_10,-B_13_11+B_28_11,-B_13_12+B_28_12,-B_13_13+B_28_13,-B_13_14+B_28_14,-B_13_15+B_28_15],[-B_14_1+B_29_1,-B_14_2+B_29_2,-B_14_3+B_29_3,-B_14_4+B_29_4,-B_14_5+B_29_5,-B_14_6+B_29_6,-B_14_7+B_29_7,-B_14_8+B_29_8,-B_14_9+B_29_9,-B_14_10+B_29_10,-B_14_11+B_29_11,-B_14_12+B_29_12,-B_14_13+B_29_13,-B_14_14+B_29_14,-B_14_15+B_29_15],[-B_15_1+B_30_1,-B_15_2+B_30_2,-B_15_3+B_30_3,-B_15_4+B_30_4,-B_15_5+B_30_5,-B_15_6+B_30_6,-B_15_7+B_30_7,-B_15_8+B_30_8,-B_15_9+B_30_9,-B_15_10+B_30_10,-B_15_11+B_30_11,-B_15_12+B_30_12,-B_15_13+B_30_13,-B_15_14+B_30_14,-B_15_15+B_30_15]]),Matrix(15, 4, [[C_1_1+C_1_5,C_1_2+C_1_6,C_1_3+C_1_7,C_1_4+C_1_8],[C_2_1+C_2_5,C_2_2+C_2_6,C_2_3+C_2_7,C_2_4+C_2_8],[C_3_1+C_3_5,C_3_2+C_3_6,C_3_3+C_3_7,C_3_4+C_3_8],[C_4_1+C_4_5,C_4_2+C_4_6,C_4_3+C_4_7,C_4_4+C_4_8],[C_5_1+C_5_5,C_5_2+C_5_6,C_5_3+C_5_7,C_5_4+C_5_8],[C_6_1+C_6_5,C_6_2+C_6_6,C_6_3+C_6_7,C_6_4+C_6_8],[C_7_1+C_7_5,C_7_2+C_7_6,C_7_3+C_7_7,C_7_4+C_7_8],[C_8_1+C_8_5,C_8_2+C_8_6,C_8_3+C_8_7,C_8_4+C_8_8],[C_9_1+C_9_5,C_9_2+C_9_6,C_9_3+C_9_7,C_9_4+C_9_8],[C_10_1+C_10_5,C_10_2+C_10_6,C_10_3+C_10_7,C_10_4+C_10_8],[C_11_1+C_11_5,C_11_2+C_11_6,C_11_3+C_11_7,C_11_4+C_11_8],[C_12_1+C_12_5,C_12_2+C_12_6,C_12_3+C_12_7,C_12_4+C_12_8],[C_13_1+C_13_5,C_13_2+C_13_6,C_13_3+C_13_7,C_13_4+C_13_8],[C_14_1+C_14_5,C_14_2+C_14_6,C_14_3+C_14_7,C_14_4+C_14_8],[C_15_1+C_15_5,C_15_2+C_15_6,C_15_3+C_15_7,C_15_4+C_15_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 15, 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N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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