Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨8×17×18:1524⟩

Algorithm type

5X8Y8Z8+4X7Y7Z8+20X4Y8Z4+8X4Y7Z4+8X3Y7Z4+55X4Y4Z4+20X2Y8Z2+8X4Y3Z4+12X2Y7Z2+24X3Y4Z3+4XY7Z2+164X2Y4Z2+16X2Y3Z2+332X2Y2Z2+132XY4Z+4X2YZ2+216XY2Z+492XYZ5X8Y8Z84X7Y7Z820X4Y8Z48X4Y7Z48X3Y7Z455X4Y4Z420X2Y8Z28X4Y3Z412X2Y7Z224X3Y4Z34XY7Z2164X2Y4Z216X2Y3Z2332X2Y2Z2132XY4Z4X2YZ2216XY2Z492XYZ5*X^8*Y^8*Z^8+4*X^7*Y^7*Z^8+20*X^4*Y^8*Z^4+8*X^4*Y^7*Z^4+8*X^3*Y^7*Z^4+55*X^4*Y^4*Z^4+20*X^2*Y^8*Z^2+8*X^4*Y^3*Z^4+12*X^2*Y^7*Z^2+24*X^3*Y^4*Z^3+4*X*Y^7*Z^2+164*X^2*Y^4*Z^2+16*X^2*Y^3*Z^2+332*X^2*Y^2*Z^2+132*X*Y^4*Z+4*X^2*Y*Z^2+216*X*Y^2*Z+492*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨8×17×18:1524⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨8×17×18:1524⟩ = ⟨4×9×9:225⟩ + ⟨4×9×9:225⟩ + ⟨4×8×9:208⟩ + ⟨4×9×9:225⟩ + ⟨4×8×9:208⟩ + ⟨4×9×9:225⟩ + ⟨4×8×9:208⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_1_11A_1_12A_1_13A_1_14A_1_15A_1_16A_1_17A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_2_11A_2_12A_2_13A_2_14A_2_15A_2_16A_2_17A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10A_3_11A_3_12A_3_13A_3_14A_3_15A_3_16A_3_17A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_4_10A_4_11A_4_12A_4_13A_4_14A_4_15A_4_16A_4_17A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_5_10A_5_11A_5_12A_5_13A_5_14A_5_15A_5_16A_5_17A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_6_10A_6_11A_6_12A_6_13A_6_14A_6_15A_6_16A_6_17A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_7_11A_7_12A_7_13A_7_14A_7_15A_7_16A_7_17A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_8_11A_8_12A_8_13A_8_14A_8_15A_8_16A_8_17B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_8_14B_8_15B_8_16B_8_17B_8_18B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_9_14B_9_15B_9_16B_9_17B_9_18B_10_1B_10_2B_10_3B_10_4B_10_5B_10_6B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10B_10_11B_10_12B_10_13B_10_14B_10_15B_10_16B_10_17B_10_18B_11_1B_11_2B_11_3B_11_4B_11_5B_11_6B_11_7B_11_8B_11_9B_11_10B_11_11B_11_12B_11_13B_11_14B_11_15B_11_16B_11_17B_11_18B_12_1B_12_2B_12_3B_12_4B_12_5B_12_6B_12_7B_12_8B_12_9B_12_10B_12_11B_12_12B_12_13B_12_14B_12_15B_12_16B_12_17B_12_18B_13_1B_13_2B_13_3B_13_4B_13_5B_13_6B_13_7B_13_8B_13_9B_13_10B_13_11B_13_12B_13_13B_13_14B_13_15B_13_16B_13_17B_13_18B_14_1B_14_2B_14_3B_14_4B_14_5B_14_6B_14_7B_14_8B_14_9B_14_10B_14_11B_14_12B_14_13B_14_14B_14_15B_14_16B_14_17B_14_18B_15_1B_15_2B_15_3B_15_4B_15_5B_15_6B_15_7B_15_8B_15_9B_15_10B_15_11B_15_12B_15_13B_15_14B_15_15B_15_16B_15_17B_15_18B_16_1B_16_2B_16_3B_16_4B_16_5B_16_6B_16_7B_16_8B_16_9B_16_10B_16_11B_16_12B_16_13B_16_14B_16_15B_16_16B_16_17B_16_18B_17_1B_17_2B_17_3B_17_4B_17_5B_17_6B_17_7B_17_8B_17_9B_17_10B_17_11B_17_12B_17_13B_17_14B_17_15B_17_16B_17_17B_17_18C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_1_7C_1_8C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_2_7C_2_8C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_3_7C_3_8C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_4_7C_4_8C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_5_7C_5_8C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_6_7C_6_8C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_7_7C_7_8C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_8_7C_8_8C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_9_7C_9_8C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_10_7C_10_8C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_11_5C_11_6C_11_7C_11_8C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_12_5C_12_6C_12_7C_12_8C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_13_5C_13_6C_13_7C_13_8C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_14_5C_14_6C_14_7C_14_8C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_15_5C_15_6C_15_7C_15_8C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_16_5C_16_6C_16_7C_16_8C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_17_5C_17_6C_17_7C_17_8C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_18_5C_18_6C_18_7C_18_8=TraceMulA_5_9A_1_1+A_5_5A_1_2+A_5_6A_1_3+A_5_7A_1_4+A_5_8A_1_10+A_5_14A_1_11+A_5_15A_1_12+A_5_16A_1_13+A_5_17A_6_9A_2_1+A_6_5A_2_2+A_6_6A_2_3+A_6_7A_2_4+A_6_8A_2_10+A_6_14A_2_11+A_6_15A_2_12+A_6_16A_2_13+A_6_17A_7_9A_3_1+A_7_5A_3_2+A_7_6A_3_3+A_7_7A_3_4+A_7_8A_3_10+A_7_14A_3_11+A_7_15A_3_12+A_7_16A_3_13+A_7_17A_8_9A_4_1+A_8_5A_4_2+A_8_6A_4_3+A_8_7A_4_4+A_8_8A_4_10+A_8_14A_4_11+A_8_15A_4_12+A_8_16A_4_13+A_8_17B_9_10B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_15B_9_16B_9_17B_9_18B_1_1+B_5_10B_1_2+B_5_6B_1_3+B_5_7B_1_4+B_5_8B_1_5+B_5_9B_1_11+B_5_15B_1_12+B_5_16B_1_13+B_5_17B_1_14+B_5_18B_2_1+B_6_10B_2_2+B_6_6B_2_3+B_6_7B_2_4+B_6_8B_2_5+B_6_9B_2_11+B_6_15B_2_12+B_6_16B_2_13+B_6_17B_2_14+B_6_18B_3_1+B_7_10B_3_2+B_7_6B_3_3+B_7_7B_3_4+B_7_8B_3_5+B_7_9B_3_11+B_7_15B_3_12+B_7_16B_3_13+B_7_17B_3_14+B_7_18B_4_1+B_8_10B_4_2+B_8_6B_4_3+B_8_7B_4_4+B_8_8B_4_5+B_8_9B_4_11+B_8_15B_4_12+B_8_16B_4_13+B_8_17B_4_14+B_8_18B_10_1+B_14_10B_10_2+B_14_6B_10_3+B_14_7B_10_4+B_14_8B_10_5+B_14_9B_10_11+B_14_15B_10_12+B_14_16B_10_13+B_14_17B_10_14+B_14_18B_11_1+B_15_10B_11_2+B_15_6B_11_3+B_15_7B_11_4+B_15_8B_11_5+B_15_9B_11_11+B_15_15B_11_12+B_15_16B_11_13+B_15_17B_11_14+B_15_18B_12_1+B_16_10B_12_2+B_16_6B_12_3+B_16_7B_12_4+B_16_8B_12_5+B_16_9B_12_11+B_16_15B_12_12+B_16_16B_12_13+B_16_17B_12_14+B_16_18B_13_1+B_17_10B_13_2+B_17_6B_13_3+B_17_7B_13_4+B_17_8B_13_5+B_17_9B_13_11+B_17_15B_13_12+B_17_16B_13_13+B_17_17B_13_14+B_17_18C_1_1+C_10_5C_1_2+C_10_6C_1_3+C_10_7C_1_4+C_10_8C_2_1+C_6_5C_2_2+C_6_6C_2_3+C_6_7C_2_4+C_6_8C_3_1+C_7_5C_3_2+C_7_6C_3_3+C_7_7C_3_4+C_7_8C_4_1+C_8_5C_4_2+C_8_6C_4_3+C_8_7C_4_4+C_8_8C_5_1+C_9_5C_5_2+C_9_6C_5_3+C_9_7C_5_4+C_9_8C_11_1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Trace(Mul(Matrix(4, 9, [[A_5_9,A_1_1+A_5_5,A_1_2+A_5_6,A_1_3+A_5_7,A_1_4+A_5_8,A_1_10+A_5_14,A_1_11+A_5_15,A_1_12+A_5_16,A_1_13+A_5_17],[A_6_9,A_2_1+A_6_5,A_2_2+A_6_6,A_2_3+A_6_7,A_2_4+A_6_8,A_2_10+A_6_14,A_2_11+A_6_15,A_2_12+A_6_16,A_2_13+A_6_17],[A_7_9,A_3_1+A_7_5,A_3_2+A_7_6,A_3_3+A_7_7,A_3_4+A_7_8,A_3_10+A_7_14,A_3_11+A_7_15,A_3_12+A_7_16,A_3_13+A_7_17],[A_8_9,A_4_1+A_8_5,A_4_2+A_8_6,A_4_3+A_8_7,A_4_4+A_8_8,A_4_10+A_8_14,A_4_11+A_8_15,A_4_12+A_8_16,A_4_13+A_8_17]]),Matrix(9, 9, [[B_9_10,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_15,B_9_16,B_9_17,B_9_18],[B_1_1+B_5_10,B_1_2+B_5_6,B_1_3+B_5_7,B_1_4+B_5_8,B_1_5+B_5_9,B_1_11+B_5_15,B_1_12+B_5_16,B_1_13+B_5_17,B_1_14+B_5_18],[B_2_1+B_6_10,B_2_2+B_6_6,B_2_3+B_6_7,B_2_4+B_6_8,B_2_5+B_6_9,B_2_11+B_6_15,B_2_12+B_6_16,B_2_13+B_6_17,B_2_14+B_6_18],[B_3_1+B_7_10,B_3_2+B_7_6,B_3_3+B_7_7,B_3_4+B_7_8,B_3_5+B_7_9,B_3_11+B_7_15,B_3_12+B_7_16,B_3_13+B_7_17,B_3_14+B_7_18],[B_4_1+B_8_10,B_4_2+B_8_6,B_4_3+B_8_7,B_4_4+B_8_8,B_4_5+B_8_9,B_4_11+B_8_15,B_4_12+B_8_16,B_4_13+B_8_17,B_4_14+B_8_18],[B_10_1+B_14_10,B_10_2+B_14_6,B_10_3+B_14_7,B_10_4+B_14_8,B_10_5+B_14_9,B_10_11+B_14_15,B_10_12+B_14_16,B_10_13+B_14_17,B_10_14+B_14_18],[B_11_1+B_15_10,B_11_2+B_15_6,B_11_3+B_15_7,B_11_4+B_15_8,B_11_5+B_15_9,B_11_11+B_15_15,B_11_12+B_15_16,B_11_13+B_15_17,B_11_14+B_15_18],[B_12_1+B_16_10,B_12_2+B_16_6,B_12_3+B_16_7,B_12_4+B_16_8,B_12_5+B_16_9,B_12_11+B_16_15,B_12_12+B_16_16,B_12_13+B_16_17,B_12_14+B_16_18],[B_13_1+B_17_10,B_13_2+B_17_6,B_13_3+B_17_7,B_13_4+B_17_8,B_13_5+B_17_9,B_13_11+B_17_15,B_13_12+B_17_16,B_13_13+B_17_17,B_13_14+B_17_18]]),Matrix(9, 4, [[C_1_1+C_10_5,C_1_2+C_10_6,C_1_3+C_10_7,C_1_4+C_10_8],[C_2_1+C_6_5,C_2_2+C_6_6,C_2_3+C_6_7,C_2_4+C_6_8],[C_3_1+C_7_5,C_3_2+C_7_6,C_3_3+C_7_7,C_3_4+C_7_8],[C_4_1+C_8_5,C_4_2+C_8_6,C_4_3+C_8_7,C_4_4+C_8_8],[C_5_1+C_9_5,C_5_2+C_9_6,C_5_3+C_9_7,C_5_4+C_9_8],[C_11_1+C_15_5,C_11_2+C_15_6,C_11_3+C_15_7,C_11_4+C_15_8],[C_12_1+C_16_5,C_12_2+C_16_6,C_12_3+C_16_7,C_12_4+C_16_8],[C_13_1+C_17_5,C_13_2+C_17_6,C_13_3+C_17_7,C_13_4+C_17_8],[C_14_1+C_18_5,C_14_2+C_18_6,C_14_3+C_18_7,C_14_4+C_18_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 9, [[A_1_9-A_5_9,A_1_5-A_5_5,A_1_6-A_5_6,A_1_7-A_5_7,A_1_8-A_5_8,A_1_14-A_5_14,A_1_15-A_5_15,A_1_16-A_5_16,A_1_17-A_5_17],[A_2_9-A_6_9,A_2_5-A_6_5,A_2_6-A_6_6,A_2_7-A_6_7,A_2_8-A_6_8,A_2_14-A_6_14,A_2_15-A_6_15,A_2_16-A_6_16,A_2_17-A_6_17],[A_3_9-A_7_9,A_3_5-A_7_5,A_3_6-A_7_6,A_3_7-A_7_7,A_3_8-A_7_8,A_3_14-A_7_14,A_3_15-A_7_15,A_3_16-A_7_16,A_3_17-A_7_17],[A_4_9-A_8_9,A_4_5-A_8_5,A_4_6-A_8_6,A_4_7-A_8_7,A_4_8-A_8_8,A_4_14-A_8_14,A_4_15-A_8_15,A_4_16-A_8_16,A_4_17-A_8_17]]),Matrix(9, 9, [[B_9_1+B_9_10,B_9_2+B_9_6,B_9_3+B_9_7,B_9_4+B_9_8,B_9_5+B_9_9,B_9_11+B_9_15,B_9_12+B_9_16,B_9_13+B_9_17,B_9_14+B_9_18],[B_5_1+B_5_10,B_5_2+B_5_6,B_5_3+B_5_7,B_5_4+B_5_8,B_5_5+B_5_9,B_5_11+B_5_15,B_5_12+B_5_16,B_5_13+B_5_17,B_5_14+B_5_18],[B_6_1+B_6_10,B_6_2+B_6_6,B_6_3+B_6_7,B_6_4+B_6_8,B_6_5+B_6_9,B_6_11+B_6_15,B_6_12+B_6_16,B_6_13+B_6_17,B_6_14+B_6_18],[B_7_1+B_7_10,B_7_2+B_7_6,B_7_3+B_7_7,B_7_4+B_7_8,B_7_5+B_7_9,B_7_11+B_7_15,B_7_12+B_7_16,B_7_13+B_7_17,B_7_14+B_7_18],[B_8_1+B_8_10,B_8_2+B_8_6,B_8_3+B_8_7,B_8_4+B_8_8,B_8_5+B_8_9,B_8_11+B_8_15,B_8_12+B_8_16,B_8_13+B_8_17,B_8_14+B_8_18],[B_14_1+B_14_10,B_14_2+B_14_6,B_14_3+B_14_7,B_14_4+B_14_8,B_14_5+B_14_9,B_14_11+B_14_15,B_14_12+B_14_16,B_14_13+B_14_17,B_14_14+B_14_18],[B_15_1+B_15_10,B_15_2+B_15_6,B_15_3+B_15_7,B_15_4+B_15_8,B_15_5+B_15_9,B_15_11+B_15_15,B_15_12+B_15_16,B_15_13+B_15_17,B_15_14+B_15_18],[B_16_1+B_16_10,B_16_2+B_16_6,B_16_3+B_16_7,B_16_4+B_16_8,B_16_5+B_16_9,B_16_11+B_16_15,B_16_12+B_16_16,B_16_13+B_16_17,B_16_14+B_16_18],[B_17_1+B_17_10,B_17_2+B_17_6,B_17_3+B_17_7,B_17_4+B_17_8,B_17_5+B_17_9,B_17_11+B_17_15,B_17_12+B_17_16,B_17_13+B_17_17,B_17_14+B_17_18]]),Matrix(9, 4, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 8, [[-A_1_1+A_5_1,-A_1_2+A_5_2,-A_1_3+A_5_3,-A_1_4+A_5_4,-A_1_10+A_5_10,-A_1_11+A_5_11,-A_1_12+A_5_12,-A_1_13+A_5_13],[-A_2_1+A_6_1,-A_2_2+A_6_2,-A_2_3+A_6_3,-A_2_4+A_6_4,-A_2_10+A_6_10,-A_2_11+A_6_11,-A_2_12+A_6_12,-A_2_13+A_6_13],[-A_3_1+A_7_1,-A_3_2+A_7_2,-A_3_3+A_7_3,-A_3_4+A_7_4,-A_3_10+A_7_10,-A_3_11+A_7_11,-A_3_12+A_7_12,-A_3_13+A_7_13],[-A_4_1+A_8_1,-A_4_2+A_8_2,-A_4_3+A_8_3,-A_4_4+A_8_4,-A_4_10+A_8_10,-A_4_11+A_8_11,-A_4_12+A_8_12,-A_4_13+A_8_13]]),Matrix(8, 9, [[B_1_1+B_1_10,B_1_2+B_1_6,B_1_3+B_1_7,B_1_4+B_1_8,B_1_5+B_1_9,B_1_11+B_1_15,B_1_12+B_1_16,B_1_13+B_1_17,B_1_14+B_1_18],[B_2_1+B_2_10,B_2_2+B_2_6,B_2_3+B_2_7,B_2_4+B_2_8,B_2_5+B_2_9,B_2_11+B_2_15,B_2_12+B_2_16,B_2_13+B_2_17,B_2_14+B_2_18],[B_3_1+B_3_10,B_3_2+B_3_6,B_3_3+B_3_7,B_3_4+B_3_8,B_3_5+B_3_9,B_3_11+B_3_15,B_3_12+B_3_16,B_3_13+B_3_17,B_3_14+B_3_18],[B_4_1+B_4_10,B_4_2+B_4_6,B_4_3+B_4_7,B_4_4+B_4_8,B_4_5+B_4_9,B_4_11+B_4_15,B_4_12+B_4_16,B_4_13+B_4_17,B_4_14+B_4_18],[B_10_1+B_10_10,B_10_2+B_10_6,B_10_3+B_10_7,B_10_4+B_10_8,B_10_5+B_10_9,B_10_11+B_10_15,B_10_12+B_10_16,B_10_13+B_10_17,B_10_14+B_10_18],[B_11_1+B_11_10,B_11_2+B_11_6,B_11_3+B_11_7,B_11_4+B_11_8,B_11_5+B_11_9,B_11_11+B_11_15,B_11_12+B_11_16,B_11_13+B_11_17,B_11_14+B_11_18],[B_12_1+B_12_10,B_12_2+B_12_6,B_12_3+B_12_7,B_12_4+B_12_8,B_12_5+B_12_9,B_12_11+B_12_15,B_12_12+B_12_16,B_12_13+B_12_17,B_12_14+B_12_18],[B_13_1+B_13_10,B_13_2+B_13_6,B_13_3+B_13_7,B_13_4+B_13_8,B_13_5+B_13_9,B_13_11+B_13_15,B_13_12+B_13_16,B_13_13+B_13_17,B_13_14+B_13_18]]),Matrix(9, 4, [[C_10_5,C_10_6,C_10_7,C_10_8],[C_6_5,C_6_6,C_6_7,C_6_8],[C_7_5,C_7_6,C_7_7,C_7_8],[C_8_5,C_8_6,C_8_7,C_8_8],[C_9_5,C_9_6,C_9_7,C_9_8],[C_15_5,C_15_6,C_15_7,C_15_8],[C_16_5,C_16_6,C_16_7,C_16_8],[C_17_5,C_17_6,C_17_7,C_17_8],[C_18_5,C_18_6,C_18_7,C_18_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 9, [[A_1_9,A_1_1+A_1_5,A_1_2+A_1_6,A_1_3+A_1_7,A_1_4+A_1_8,A_1_10+A_1_14,A_1_11+A_1_15,A_1_12+A_1_16,A_1_13+A_1_17],[A_2_9,A_2_1+A_2_5,A_2_2+A_2_6,A_2_3+A_2_7,A_2_4+A_2_8,A_2_10+A_2_14,A_2_11+A_2_15,A_2_12+A_2_16,A_2_13+A_2_17],[A_3_9,A_3_1+A_3_5,A_3_2+A_3_6,A_3_3+A_3_7,A_3_4+A_3_8,A_3_10+A_3_14,A_3_11+A_3_15,A_3_12+A_3_16,A_3_13+A_3_17],[A_4_9,A_4_1+A_4_5,A_4_2+A_4_6,A_4_3+A_4_7,A_4_4+A_4_8,A_4_10+A_4_14,A_4_11+A_4_15,A_4_12+A_4_16,A_4_13+A_4_17]]),Matrix(9, 9, [[B_9_10,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_15,B_9_16,B_9_17,B_9_18],[B_5_10,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_15,B_5_16,B_5_17,B_5_18],[B_6_10,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_15,B_6_16,B_6_17,B_6_18],[B_7_10,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_15,B_7_16,B_7_17,B_7_18],[B_8_10,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_15,B_8_16,B_8_17,B_8_18],[B_14_10,B_14_6,B_14_7,B_14_8,B_14_9,B_14_15,B_14_16,B_14_17,B_14_18],[B_15_10,B_15_6,B_15_7,B_15_8,B_15_9,B_15_15,B_15_16,B_15_17,B_15_18],[B_16_10,B_16_6,B_16_7,B_16_8,B_16_9,B_16_15,B_16_16,B_16_17,B_16_18],[B_17_10,B_17_6,B_17_7,B_17_8,B_17_9,B_17_15,B_17_16,B_17_17,B_17_18]]),Matrix(9, 4, [[-C_1_1+C_10_1,-C_1_2+C_10_2,-C_1_3+C_10_3,-C_1_4+C_10_4],[-C_2_1+C_6_1,C_6_2-C_2_2,-C_2_3+C_6_3,-C_2_4+C_6_4],[-C_3_1+C_7_1,C_7_2-C_3_2,C_7_3-C_3_3,-C_3_4+C_7_4],[-C_4_1+C_8_1,-C_4_2+C_8_2,-C_4_3+C_8_3,-C_4_4+C_8_4],[-C_5_1+C_9_1,-C_5_2+C_9_2,-C_5_3+C_9_3,-C_5_4+C_9_4],[-C_11_1+C_15_1,-C_11_2+C_15_2,-C_11_3+C_15_3,-C_11_4+C_15_4],[-C_12_1+C_16_1,-C_12_2+C_16_2,-C_12_3+C_16_3,-C_12_4+C_16_4],[-C_13_1+C_17_1,-C_13_2+C_17_2,-C_13_3+C_17_3,-C_13_4+C_17_4],[-C_14_1+C_18_1,-C_14_2+C_18_2,-C_14_3+C_18_3,-C_14_4+C_18_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 8, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_10,A_1_11,A_1_12,A_1_13],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_10,A_2_11,A_2_12,A_2_13],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_10,A_3_11,A_3_12,A_3_13],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_10,A_4_11,A_4_12,A_4_13]]),Matrix(8, 9, [[B_1_10-B_5_10,B_1_6-B_5_6,B_1_7-B_5_7,B_1_8-B_5_8,B_1_9-B_5_9,B_1_15-B_5_15,B_1_16-B_5_16,B_1_17-B_5_17,B_1_18-B_5_18],[B_2_10-B_6_10,B_2_6-B_6_6,B_2_7-B_6_7,B_2_8-B_6_8,B_2_9-B_6_9,B_2_15-B_6_15,B_2_16-B_6_16,B_2_17-B_6_17,B_2_18-B_6_18],[B_3_10-B_7_10,B_3_6-B_7_6,B_3_7-B_7_7,B_3_8-B_7_8,B_3_9-B_7_9,B_3_15-B_7_15,B_3_16-B_7_16,B_3_17-B_7_17,B_3_18-B_7_18],[B_4_10-B_8_10,B_4_6-B_8_6,B_4_7-B_8_7,B_4_8-B_8_8,B_4_9-B_8_9,B_4_15-B_8_15,B_4_16-B_8_16,B_4_17-B_8_17,B_4_18-B_8_18],[B_10_10-B_14_10,B_10_6-B_14_6,B_10_7-B_14_7,B_10_8-B_14_8,B_10_9-B_14_9,B_10_15-B_14_15,B_10_16-B_14_16,B_10_17-B_14_17,B_10_18-B_14_18],[B_11_10-B_15_10,B_11_6-B_15_6,B_11_7-B_15_7,B_11_8-B_15_8,B_11_9-B_15_9,B_11_15-B_15_15,B_11_16-B_15_16,B_11_17-B_15_17,B_11_18-B_15_18],[B_12_10-B_16_10,B_12_6-B_16_6,B_12_7-B_16_7,B_12_8-B_16_8,B_12_9-B_16_9,B_12_15-B_16_15,B_12_16-B_16_16,B_12_17-B_16_17,B_12_18-B_16_18],[B_13_10-B_17_10,B_13_6-B_17_6,B_13_7-B_17_7,B_13_8-B_17_8,B_13_9-B_17_9,B_13_15-B_17_15,B_13_16-B_17_16,B_13_17-B_17_17,B_13_18-B_17_18]]),Matrix(9, 4, [[C_10_1+C_10_5,C_10_2+C_10_6,C_10_3+C_10_7,C_10_4+C_10_8],[C_6_1+C_6_5,C_6_2+C_6_6,C_6_3+C_6_7,C_6_4+C_6_8],[C_7_1+C_7_5,C_7_2+C_7_6,C_7_3+C_7_7,C_7_4+C_7_8],[C_8_1+C_8_5,C_8_2+C_8_6,C_8_3+C_8_7,C_8_4+C_8_8],[C_9_1+C_9_5,C_9_2+C_9_6,C_9_3+C_9_7,C_9_4+C_9_8],[C_15_1+C_15_5,C_15_2+C_15_6,C_15_3+C_15_7,C_15_4+C_15_8],[C_16_1+C_16_5,C_16_2+C_16_6,C_16_3+C_16_7,C_16_4+C_16_8],[C_17_1+C_17_5,C_17_2+C_17_6,C_17_3+C_17_7,C_17_4+C_17_8],[C_18_1+C_18_5,C_18_2+C_18_6,C_18_3+C_18_7,C_18_4+C_18_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 9, [[A_5_9,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_14,A_5_15,A_5_16,A_5_17],[A_6_9,A_6_5,A_6_6,A_6_7,A_6_8,A_6_14,A_6_15,A_6_16,A_6_17],[A_7_9,A_7_5,A_7_6,A_7_7,A_7_8,A_7_14,A_7_15,A_7_16,A_7_17],[A_8_9,A_8_5,A_8_6,A_8_7,A_8_8,A_8_14,A_8_15,A_8_16,A_8_17]]),Matrix(9, 9, [[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_11,B_9_12,B_9_13,B_9_14],[-B_1_1+B_5_1,-B_1_2+B_5_2,B_5_3-B_1_3,-B_1_4+B_5_4,-B_1_5+B_5_5,-B_1_11+B_5_11,-B_1_12+B_5_12,-B_1_13+B_5_13,-B_1_14+B_5_14],[-B_2_1+B_6_1,-B_2_2+B_6_2,-B_2_3+B_6_3,B_6_4-B_2_4,-B_2_5+B_6_5,-B_2_11+B_6_11,-B_2_12+B_6_12,-B_2_13+B_6_13,-B_2_14+B_6_14],[-B_3_1+B_7_1,-B_3_2+B_7_2,-B_3_3+B_7_3,B_7_4-B_3_4,-B_3_5+B_7_5,-B_3_11+B_7_11,-B_3_12+B_7_12,-B_3_13+B_7_13,-B_3_14+B_7_14],[-B_4_1+B_8_1,-B_4_2+B_8_2,-B_4_3+B_8_3,-B_4_4+B_8_4,-B_4_5+B_8_5,-B_4_11+B_8_11,-B_4_12+B_8_12,-B_4_13+B_8_13,-B_4_14+B_8_14],[-B_10_1+B_14_1,-B_10_2+B_14_2,-B_10_3+B_14_3,-B_10_4+B_14_4,-B_10_5+B_14_5,-B_10_11+B_14_11,-B_10_12+B_14_12,-B_10_13+B_14_13,-B_10_14+B_14_14],[-B_11_1+B_15_1,-B_11_2+B_15_2,-B_11_3+B_15_3,-B_11_4+B_15_4,-B_11_5+B_15_5,-B_11_11+B_15_11,-B_11_12+B_15_12,-B_11_13+B_15_13,-B_11_14+B_15_14],[-B_12_1+B_16_1,-B_12_2+B_16_2,-B_12_3+B_16_3,-B_12_4+B_16_4,-B_12_5+B_16_5,-B_12_11+B_16_11,-B_12_12+B_16_12,-B_12_13+B_16_13,-B_12_14+B_16_14],[-B_13_1+B_17_1,-B_13_2+B_17_2,-B_13_3+B_17_3,-B_13_4+B_17_4,-B_13_5+B_17_5,-B_13_11+B_17_11,-B_13_12+B_17_12,-B_13_13+B_17_13,-B_13_14+B_17_14]]),Matrix(9, 4, [[C_1_1+C_1_5,C_1_2+C_1_6,C_1_3+C_1_7,C_1_4+C_1_8],[C_2_1+C_2_5,C_2_2+C_2_6,C_2_3+C_2_7,C_2_4+C_2_8],[C_3_1+C_3_5,C_3_2+C_3_6,C_3_3+C_3_7,C_3_4+C_3_8],[C_4_1+C_4_5,C_4_2+C_4_6,C_4_3+C_4_7,C_4_4+C_4_8],[C_5_1+C_5_5,C_5_2+C_5_6,C_5_3+C_5_7,C_5_4+C_5_8],[C_11_1+C_11_5,C_11_2+C_11_6,C_11_3+C_11_7,C_11_4+C_11_8],[C_12_1+C_12_5,C_12_2+C_12_6,C_12_3+C_12_7,C_12_4+C_12_8],[C_13_1+C_13_5,C_13_2+C_13_6,C_13_3+C_13_7,C_13_4+C_13_8],[C_14_1+C_14_5,C_14_2+C_14_6,C_14_3+C_14_7,C_14_4+C_14_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 8, [[A_5_1+A_5_5,A_5_2+A_5_6,A_5_3+A_5_7,A_5_4+A_5_8,A_5_10+A_5_14,A_5_11+A_5_15,A_5_12+A_5_16,A_5_13+A_5_17],[A_6_1+A_6_5,A_6_2+A_6_6,A_6_3+A_6_7,A_6_4+A_6_8,A_6_10+A_6_14,A_6_11+A_6_15,A_6_12+A_6_16,A_6_13+A_6_17],[A_7_1+A_7_5,A_7_2+A_7_6,A_7_3+A_7_7,A_7_4+A_7_8,A_7_10+A_7_14,A_7_11+A_7_15,A_7_12+A_7_16,A_7_13+A_7_17],[A_8_1+A_8_5,A_8_2+A_8_6,A_8_3+A_8_7,A_8_4+A_8_8,A_8_10+A_8_14,A_8_11+A_8_15,A_8_12+A_8_16,A_8_13+A_8_17]]),Matrix(8, 9, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4,B_10_5,B_10_11,B_10_12,B_10_13,B_10_14],[B_11_1,B_11_2,B_11_3,B_11_4,B_11_5,B_11_11,B_11_12,B_11_13,B_11_14],[B_12_1,B_12_2,B_12_3,B_12_4,B_12_5,B_12_11,B_12_12,B_12_13,B_12_14],[B_13_1,B_13_2,B_13_3,B_13_4,B_13_5,B_13_11,B_13_12,B_13_13,B_13_14]]),Matrix(9, 4, [[C_1_5-C_10_5,C_1_6-C_10_6,C_1_7-C_10_7,C_1_8-C_10_8],[C_2_5-C_6_5,C_2_6-C_6_6,C_2_7-C_6_7,C_2_8-C_6_8],[C_3_5-C_7_5,C_3_6-C_7_6,C_3_7-C_7_7,C_3_8-C_7_8],[C_4_5-C_8_5,C_4_6-C_8_6,C_4_7-C_8_7,C_4_8-C_8_8],[C_5_5-C_9_5,C_5_6-C_9_6,C_5_7-C_9_7,C_5_8-C_9_8],[C_11_5-C_15_5,C_11_6-C_15_6,C_11_7-C_15_7,C_11_8-C_15_8],[C_12_5-C_16_5,C_12_6-C_16_6,C_12_7-C_16_7,C_12_8-C_16_8],[C_13_5-C_17_5,C_13_6-C_17_6,C_13_7-C_17_7,C_13_8-C_17_8],[C_14_5-C_18_5,C_14_6-C_18_6,C_14_7-C_18_7,C_14_8-C_18_8]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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