Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨8×13×13:893⟩

Algorithm type

2⁢X8⁢Y8⁢Z8+6⁢X4⁢Y8⁢Z4+2⁢X4⁢Y6⁢Z4+X8⁢Y2⁢Z2+39⁢X4⁢Y4⁢Z4+X2⁢Y2⁢Z8+2⁢X7⁢Y2⁢Z2+2⁢X4⁢Y4⁢Z3+5⁢X4⁢Y3⁢Z4+2⁢X2⁢Y2⁢Z7+X7⁢Y⁢Z2+X6⁢Y2⁢Z2+4⁢X4⁢Y3⁢Z3+4⁢X4⁢Y2⁢Z4+X3⁢Y4⁢Z3+4⁢X3⁢Y3⁢Z4+8⁢X2⁢Y6⁢Z2+3⁢X2⁢Y4⁢Z4+X2⁢Y2⁢Z6+X2⁢Y⁢Z7+X4⁢Y3⁢Z2+8⁢X2⁢Y5⁢Z2+3⁢X2⁢Y3⁢Z4+4⁢X4⁢Y2⁢Z2+2⁢X3⁢Y2⁢Z3+X2⁢Y5⁢Z+87⁢X2⁢Y4⁢Z2+X2⁢Y3⁢Z3+6⁢X2⁢Y2⁢Z4+X⁢Y5⁢Z2+X⁢Y3⁢Z4+X4⁢Y⁢Z2+X2⁢Y4⁢Z+17⁢X2⁢Y3⁢Z2+X2⁢Y2⁢Z3+X2⁢Y⁢Z4+8⁢X⁢Y5⁢Z+4⁢X4⁢Y⁢Z+2⁢X3⁢Y2⁢Z+2⁢X2⁢Y3⁢Z+156⁢X2⁢Y2⁢Z2+25⁢X⁢Y4⁢Z+2⁢X⁢Y3⁢Z2+3⁢X⁢Y2⁢Z3+5⁢X⁢Y⁢Z4+X3⁢Y⁢Z+11⁢X2⁢Y2⁢Z+8⁢X2⁢Y⁢Z2+25⁢X⁢Y3⁢Z+17⁢X⁢Y2⁢Z2+X⁢Y⁢Z3+9⁢X2⁢Y⁢Z+196⁢X⁢Y2⁢Z+11⁢X⁢Y⁢Z2+181⁢X⁢Y⁢Z2X8Y8Z86X4Y8Z42X4Y6Z4X8Y2Z239X4Y4Z4X2Y2Z82X7Y2Z22X4Y4Z35X4Y3Z42X2Y2Z7X7YZ2X6Y2Z24X4Y3Z34X4Y2Z4X3Y4Z34X3Y3Z48X2Y6Z23X2Y4Z4X2Y2Z6X2YZ7X4Y3Z28X2Y5Z23X2Y3Z44X4Y2Z22X3Y2Z3X2Y5Z87X2Y4Z2X2Y3Z36X2Y2Z4XY5Z2XY3Z4X4YZ2X2Y4Z17X2Y3Z2X2Y2Z3X2YZ48XY5Z4X4YZ2X3Y2Z2X2Y3Z156X2Y2Z225XY4Z2XY3Z23XY2Z35XYZ4X3YZ11X2Y2Z8X2YZ225XY3Z17XY2Z2XYZ39X2YZ196XY2Z11XYZ2181XYZ2*X^8*Y^8*Z^8+6*X^4*Y^8*Z^4+2*X^4*Y^6*Z^4+X^8*Y^2*Z^2+39*X^4*Y^4*Z^4+X^2*Y^2*Z^8+2*X^7*Y^2*Z^2+2*X^4*Y^4*Z^3+5*X^4*Y^3*Z^4+2*X^2*Y^2*Z^7+X^7*Y*Z^2+X^6*Y^2*Z^2+4*X^4*Y^3*Z^3+4*X^4*Y^2*Z^4+X^3*Y^4*Z^3+4*X^3*Y^3*Z^4+8*X^2*Y^6*Z^2+3*X^2*Y^4*Z^4+X^2*Y^2*Z^6+X^2*Y*Z^7+X^4*Y^3*Z^2+8*X^2*Y^5*Z^2+3*X^2*Y^3*Z^4+4*X^4*Y^2*Z^2+2*X^3*Y^2*Z^3+X^2*Y^5*Z+87*X^2*Y^4*Z^2+X^2*Y^3*Z^3+6*X^2*Y^2*Z^4+X*Y^5*Z^2+X*Y^3*Z^4+X^4*Y*Z^2+X^2*Y^4*Z+17*X^2*Y^3*Z^2+X^2*Y^2*Z^3+X^2*Y*Z^4+8*X*Y^5*Z+4*X^4*Y*Z+2*X^3*Y^2*Z+2*X^2*Y^3*Z+156*X^2*Y^2*Z^2+25*X*Y^4*Z+2*X*Y^3*Z^2+3*X*Y^2*Z^3+5*X*Y*Z^4+X^3*Y*Z+11*X^2*Y^2*Z+8*X^2*Y*Z^2+25*X*Y^3*Z+17*X*Y^2*Z^2+X*Y*Z^3+9*X^2*Y*Z+196*X*Y^2*Z+11*X*Y*Z^2+181*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨8×13×13:893⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨8×13×13:893⟩ = ⟨4×5×4:62⟩ + ⟨4×5×5:76⟩ + ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨4×5×5:76⟩ + ⟨4×5×4:62⟩ + ⟨4×4×4:49⟩ + ⟨4×5×4:62⟩ + ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨4×4×4:49⟩ + ⟨4×4×4:49⟩ + ⟨4×5×4:62⟩ + ⟨4×4×4:49⟩ + ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨4×4×4:49⟩ + ⟨4×4×5:62⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_1_11A_1_12A_1_13A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_2_11A_2_12A_2_13A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10A_3_11A_3_12A_3_13A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_4_10A_4_11A_4_12A_4_13A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_5_10A_5_11A_5_12A_5_13A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_6_10A_6_11A_6_12A_6_13A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_7_11A_7_12A_7_13A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_8_11A_8_12A_8_13B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_10_1B_10_2B_10_3B_10_4B_10_5B_10_6B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10B_10_11B_10_12B_10_13B_11_1B_11_2B_11_3B_11_4B_11_5B_11_6B_11_7B_11_8B_11_9B_11_10B_11_11B_11_12B_11_13B_12_1B_12_2B_12_3B_12_4B_12_5B_12_6B_12_7B_12_8B_12_9B_12_10B_12_11B_12_12B_12_13B_13_1B_13_2B_13_3B_13_4B_13_5B_13_6B_13_7B_13_8B_13_9B_13_10B_13_11B_13_12B_13_13C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_1_7C_1_8C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_2_7C_2_8C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_3_7C_3_8C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_4_7C_4_8C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_5_7C_5_8C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_6_7C_6_8C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_7_7C_7_8C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_8_7C_8_8C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_9_7C_9_8C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_10_7C_10_8C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_11_5C_11_6C_11_7C_11_8C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_12_5C_12_6C_12_7C_12_8C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_13_5C_13_6C_13_7C_13_8=Trace⁡Mul⁡A_5_9A_5_10A_5_11A_5_12A_5_13A_6_9A_6_10A_6_11A_6_12A_6_13A_7_9A_7_10A_7_11A_7_12A_7_13A_8_9A_8_10A_8_11A_8_12A_8_13B_3_3+B_9_3+B_9_4B_3_8+B_9_8+B_9_5B_3_1+B_9_1+B_9_6B_3_2+B_9_2+B_9_7B_8_3+B_10_3+B_10_4B_8_8+B_10_8+B_10_5B_8_1+B_10_1+B_10_6B_8_2+B_10_2+B_10_7B_1_3+B_11_3+B_11_4B_11_5+B_1_8+B_11_8B_1_1+B_11_1+B_11_6B_1_2+B_11_2+B_11_7B_2_3+B_12_3+B_12_4B_12_5+B_2_8+B_12_8B_2_1+B_12_1+B_12_6B_2_2+B_12_2+B_12_7B_13_3+B_13_4B_13_5+B_13_8B_13_1+B_13_6B_13_2+B_13_7C_3_1+C_3_5C_3_2+C_3_6C_3_3+C_3_7C_3_4+C_3_8C_8_1+C_8_5C_8_2+C_8_6C_8_3+C_8_7C_8_4+C_8_8C_1_1+C_1_5C_1_2+C_1_6C_1_3+C_1_7C_1_4+C_1_8C_2_1+C_2_5C_2_2+C_2_6C_2_3+C_2_7C_2_4+C_2_8+Trace⁡Mul⁡A_1_3-A_5_9A_1_8-A_5_10A_1_1-A_5_11A_1_2-A_5_12-A_5_13A_2_3-A_6_9A_2_8-A_6_10A_2_1-A_6_11A_2_2-A_6_12-A_6_13A_3_3-A_7_9A_3_8-A_7_10A_3_1-A_7_11A_3_2-A_7_12-A_7_13A_4_3-A_8_9A_4_8-A_8_10A_4_1-A_8_11A_4_2-A_8_12-A_8_13B_3_3+B_9_9B_3_8+B_9_10B_3_1+B_9_11B_3_2+B_9_12B_9_13B_8_3+B_10_9B_8_8+B_10_10B_8_1+B_10_11B_8_2+B_10_12B_10_13B_1_3+B_11_9B_1_8+B_11_10B_1_1+B_11_11B_1_2+B_11_12B_11_13B_2_3+B_12_9B_2_8+B_12_10B_2_1+B_12_11B_2_2+B_12_12B_12_13B_13_9B_13_10B_13_11B_13_12B_13_13C_3_1-C_9_5C_3_2-C_9_6C_3_3-C_9_7C_3_4-C_9_8C_8_1-C_10_5C_8_2-C_10_6C_8_3-C_10_7C_8_4-C_10_8C_1_1-C_11_5C_1_2-C_11_6C_1_3-C_11_7C_1_4-C_11_8C_2_1-C_12_5C_2_2-C_12_6C_2_3-C_12_7C_2_4-C_12_8-C_13_5-C_13_6-C_13_7-C_13_8+Trace⁡Mul⁡A_1_3A_1_8A_1_1A_1_2A_2_3A_2_8A_2_1A_2_2A_3_3A_3_8A_3_1A_3_2A_4_3A_4_8A_4_1A_4_2B_3_4-B_3_9-B_9_9B_3_5-B_3_10-B_9_10B_3_6-B_3_11-B_9_11B_3_7-B_3_12-B_9_12-B_3_13-B_9_13B_8_4-B_8_9-B_10_9B_8_5-B_8_10-B_10_10B_8_6-B_8_11-B_10_11B_8_7-B_8_12-B_10_12-B_8_13-B_10_13B_1_4-B_1_9-B_11_9B_1_5-B_1_10-B_11_10B_1_6-B_1_11-B_11_11B_1_7-B_1_12-B_11_12-B_1_13-B_11_13B_2_4-B_2_9-B_12_9B_2_5-B_2_10-B_12_10B_2_6-B_2_11-B_12_11B_2_7-B_2_12-B_12_12-B_2_13-B_12_13-C_9_1-C_9_5-C_9_2-C_9_6-C_9_3-C_9_7-C_9_4-C_9_8-C_10_1-C_10_5-C_10_2-C_10_6-C_10_3-C_10_7-C_10_4-C_10_8-C_11_1-C_11_5-C_11_2-C_11_6-C_11_3-C_11_7-C_11_4-C_11_8-C_12_1-C_12_5-C_12_2-C_12_6-C_12_3-C_12_7-C_12_4-C_12_8-C_13_1-C_13_5-C_13_2-C_13_6-C_13_3-C_13_7-C_13_4-C_13_8+Trace⁡Mul⁡A_1_3-A_1_9A_1_8-A_1_10A_1_1-A_1_11A_1_2-A_1_12-A_1_13A_2_3-A_2_9A_2_8-A_2_10A_2_1-A_2_11A_2_2-A_2_12-A_2_13A_3_3-A_3_9A_3_8-A_3_10A_3_1-A_3_11A_3_2-A_3_12-A_3_13A_4_3-A_4_9A_4_8-A_4_10A_4_1-A_4_11A_4_2-A_4_12-A_4_13B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_10_9B_10_10B_10_11B_10_12B_10_13B_11_9B_11_10B_11_11B_11_12B_11_13B_12_9B_12_10B_12_11B_12_12B_12_13B_13_9B_13_10B_13_11B_13_12B_13_13-C_3_1-C_9_1-C_3_2-C_9_2-C_3_3-C_9_3-C_3_4-C_9_4-C_8_1-C_10_1-C_8_2-C_10_2-C_8_3-C_10_3-C_8_4-C_10_4-C_1_1-C_11_1-C_1_2-C_11_2-C_1_3-C_11_3-C_1_4-C_11_4-C_2_1-C_12_1-C_2_2-C_12_2-C_2_3-C_12_3-C_2_4-C_12_4-C_13_1-C_13_2-C_13_3-C_13_4+Trace⁡Mul⁡A_1_9-A_5_9A_1_10-A_5_10A_1_11-A_5_11A_1_12-A_5_12A_1_13-A_5_13A_2_9-A_6_9A_2_10-A_6_10A_2_11-A_6_11A_2_12-A_6_12A_2_13-A_6_13A_3_9-A_7_9A_3_10-A_7_10A_3_11-A_7_11A_3_12-A_7_12A_3_13-A_7_13A_4_9-A_8_9A_4_10-A_8_10A_4_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13, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7,A_1_8,A_1_9,A_1_10,A_1_11,A_1_12,A_1_13],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7,A_2_8,A_2_9,A_2_10,A_2_11,A_2_12,A_2_13],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7,A_3_8,A_3_9,A_3_10,A_3_11,A_3_12,A_3_13],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8,A_4_9,A_4_10,A_4_11,A_4_12,A_4_13],[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_9,A_5_10,A_5_11,A_5_12,A_5_13],[A_6_1,A_6_2,A_6_3,A_6_4,A_6_5,A_6_6,A_6_7,A_6_8,A_6_9,A_6_10,A_6_11,A_6_12,A_6_13],[A_7_1,A_7_2,A_7_3,A_7_4,A_7_5,A_7_6,A_7_7,A_7_8,A_7_9,A_7_10,A_7_11,A_7_12,A_7_13],[A_8_1,A_8_2,A_8_3,A_8_4,A_8_5,A_8_6,A_8_7,A_8_8,A_8_9,A_8_10,A_8_11,A_8_12,A_8_13]]),Matrix(13, 13, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12,B_1_13],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12,B_2_13],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12,B_3_13],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12,B_5_13],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12,B_6_13],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12,B_7_13],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12,B_8_13],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12,B_9_13],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4,B_10_5,B_10_6,B_10_7,B_10_8,B_10_9,B_10_10,B_10_11,B_10_12,B_10_13],[B_11_1,B_11_2,B_11_3,B_11_4,B_11_5,B_11_6,B_11_7,B_11_8,B_11_9,B_11_10,B_11_11,B_11_12,B_11_13],[B_12_1,B_12_2,B_12_3,B_12_4,B_12_5,B_12_6,B_12_7,B_12_8,B_12_9,B_12_10,B_12_11,B_12_12,B_12_13],[B_13_1,B_13_2,B_13_3,B_13_4,B_13_5,B_13_6,B_13_7,B_13_8,B_13_9,B_13_10,B_13_11,B_13_12,B_13_13]]),Matrix(13, 8, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6,C_1_7,C_1_8],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6,C_2_7,C_2_8],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6,C_3_7,C_3_8],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6,C_4_7,C_4_8],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7,C_5_8],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7,C_6_8],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7,C_7_8],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7,C_8_8],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7,C_9_8],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7,C_10_8],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5,C_11_6,C_11_7,C_11_8],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5,C_12_6,C_12_7,C_12_8],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4,C_13_5,C_13_6,C_13_7,C_13_8]]))) = Trace(Mul(Matrix(4, 5, [[A_5_9,A_5_10,A_5_11,A_5_12,A_5_13],[A_6_9,A_6_10,A_6_11,A_6_12,A_6_13],[A_7_9,A_7_10,A_7_11,A_7_12,A_7_13],[A_8_9,A_8_10,A_8_11,A_8_12,A_8_13]]),Matrix(5, 4, [[B_3_3+B_9_3+B_9_4,B_3_8+B_9_8+B_9_5,B_3_1+B_9_1+B_9_6,B_3_2+B_9_2+B_9_7],[B_8_3+B_10_3+B_10_4,B_8_8+B_10_8+B_10_5,B_8_1+B_10_1+B_10_6,B_8_2+B_10_2+B_10_7],[B_1_3+B_11_3+B_11_4,B_11_5+B_1_8+B_11_8,B_1_1+B_11_1+B_11_6,B_1_2+B_11_2+B_11_7],[B_2_3+B_12_3+B_12_4,B_12_5+B_2_8+B_12_8,B_2_1+B_12_1+B_12_6,B_2_2+B_12_2+B_12_7],[B_13_3+B_13_4,B_13_5+B_13_8,B_13_1+B_13_6,B_13_2+B_13_7]]),Matrix(4, 4, [[C_3_1+C_3_5,C_3_2+C_3_6,C_3_3+C_3_7,C_3_4+C_3_8],[C_8_1+C_8_5,C_8_2+C_8_6,C_8_3+C_8_7,C_8_4+C_8_8],[C_1_1+C_1_5,C_1_2+C_1_6,C_1_3+C_1_7,C_1_4+C_1_8],[C_2_1+C_2_5,C_2_2+C_2_6,C_2_3+C_2_7,C_2_4+C_2_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 5, [[A_1_3-A_5_9,A_1_8-A_5_10,A_1_1-A_5_11,A_1_2-A_5_12,-A_5_13],[A_2_3-A_6_9,A_2_8-A_6_10,A_2_1-A_6_11,A_2_2-A_6_12,-A_6_13],[A_3_3-A_7_9,A_3_8-A_7_10,A_3_1-A_7_11,A_3_2-A_7_12,-A_7_13],[A_4_3-A_8_9,A_4_8-A_8_10,A_4_1-A_8_11,A_4_2-A_8_12,-A_8_13]]),Matrix(5, 5, [[B_3_3+B_9_9,B_3_8+B_9_10,B_3_1+B_9_11,B_3_2+B_9_12,B_9_13],[B_8_3+B_10_9,B_8_8+B_10_10,B_8_1+B_10_11,B_8_2+B_10_12,B_10_13],[B_1_3+B_11_9,B_1_8+B_11_10,B_1_1+B_11_11,B_1_2+B_11_12,B_11_13],[B_2_3+B_12_9,B_2_8+B_12_10,B_2_1+B_12_11,B_2_2+B_12_12,B_12_13],[B_13_9,B_13_10,B_13_11,B_13_12,B_13_13]]),Matrix(5, 4, [[C_3_1-C_9_5,C_3_2-C_9_6,C_3_3-C_9_7,C_3_4-C_9_8],[C_8_1-C_10_5,C_8_2-C_10_6,C_8_3-C_10_7,C_8_4-C_10_8],[C_1_1-C_11_5,C_1_2-C_11_6,C_1_3-C_11_7,C_1_4-C_11_8],[C_2_1-C_12_5,C_2_2-C_12_6,C_2_3-C_12_7,C_2_4-C_12_8],[-C_13_5,-C_13_6,-C_13_7,-C_13_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_3,A_1_8,A_1_1,A_1_2],[A_2_3,A_2_8,A_2_1,A_2_2],[A_3_3,A_3_8,A_3_1,A_3_2],[A_4_3,A_4_8,A_4_1,A_4_2]]),Matrix(4, 5, [[B_3_4-B_3_9-B_9_9,B_3_5-B_3_10-B_9_10,B_3_6-B_3_11-B_9_11,B_3_7-B_3_12-B_9_12,-B_3_13-B_9_13],[B_8_4-B_8_9-B_10_9,B_8_5-B_8_10-B_10_10,B_8_6-B_8_11-B_10_11,B_8_7-B_8_12-B_10_12,-B_8_13-B_10_13],[B_1_4-B_1_9-B_11_9,B_1_5-B_1_10-B_11_10,B_1_6-B_1_11-B_11_11,B_1_7-B_1_12-B_11_12,-B_1_13-B_11_13],[B_2_4-B_2_9-B_12_9,B_2_5-B_2_10-B_12_10,B_2_6-B_2_11-B_12_11,B_2_7-B_2_12-B_12_12,-B_2_13-B_12_13]]),Matrix(5, 4, [[-C_9_1-C_9_5,-C_9_2-C_9_6,-C_9_3-C_9_7,-C_9_4-C_9_8],[-C_10_1-C_10_5,-C_10_2-C_10_6,-C_10_3-C_10_7,-C_10_4-C_10_8],[-C_11_1-C_11_5,-C_11_2-C_11_6,-C_11_3-C_11_7,-C_11_4-C_11_8],[-C_12_1-C_12_5,-C_12_2-C_12_6,-C_12_3-C_12_7,-C_12_4-C_12_8],[-C_13_1-C_13_5,-C_13_2-C_13_6,-C_13_3-C_13_7,-C_13_4-C_13_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 5, [[A_1_3-A_1_9,A_1_8-A_1_10,A_1_1-A_1_11,A_1_2-A_1_12,-A_1_13],[A_2_3-A_2_9,A_2_8-A_2_10,A_2_1-A_2_11,A_2_2-A_2_12,-A_2_13],[A_3_3-A_3_9,A_3_8-A_3_10,A_3_1-A_3_11,A_3_2-A_3_12,-A_3_13],[A_4_3-A_4_9,A_4_8-A_4_10,A_4_1-A_4_11,A_4_2-A_4_12,-A_4_13]]),Matrix(5, 5, [[B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12,B_9_13],[B_10_9,B_10_10,B_10_11,B_10_12,B_10_13],[B_11_9,B_11_10,B_11_11,B_11_12,B_11_13],[B_12_9,B_12_10,B_12_11,B_12_12,B_12_13],[B_13_9,B_13_10,B_13_11,B_13_12,B_13_13]]),Matrix(5, 4, [[-C_3_1-C_9_1,-C_3_2-C_9_2,-C_3_3-C_9_3,-C_3_4-C_9_4],[-C_8_1-C_10_1,-C_8_2-C_10_2,-C_8_3-C_10_3,-C_8_4-C_10_4],[-C_1_1-C_11_1,-C_1_2-C_11_2,-C_1_3-C_11_3,-C_1_4-C_11_4],[-C_2_1-C_12_1,-C_2_2-C_12_2,-C_2_3-C_12_3,-C_2_4-C_12_4],[-C_13_1,-C_13_2,-C_13_3,-C_13_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 5, [[A_1_9-A_5_9,A_1_10-A_5_10,A_1_11-A_5_11,A_1_12-A_5_12,A_1_13-A_5_13],[A_2_9-A_6_9,A_2_10-A_6_10,A_2_11-A_6_11,A_2_12-A_6_12,A_2_13-A_6_13],[A_3_9-A_7_9,A_3_10-A_7_10,A_3_11-A_7_11,A_3_12-A_7_12,A_3_13-A_7_13],[A_4_9-A_8_9,A_4_10-A_8_10,A_4_11-A_8_11,A_4_12-A_8_12,A_4_13-A_8_13]]),Matrix(5, 4, [[B_4_3+B_9_3-B_9_9,B_4_8+B_9_8-B_9_10,B_4_1+B_9_1-B_9_11,B_4_2+B_9_2-B_9_12],[B_5_3+B_10_3-B_10_9,B_5_8+B_10_8-B_10_10,B_5_1+B_10_1-B_10_11,B_5_2+B_10_2-B_10_12],[B_6_3+B_11_3-B_11_9,B_6_8+B_11_8-B_11_10,B_6_1+B_11_1-B_11_11,B_6_2+B_11_2-B_11_12],[B_7_3+B_12_3-B_12_9,B_7_8+B_12_8-B_12_10,B_7_1+B_12_1-B_12_11,B_7_2+B_12_2-B_12_12],[B_13_3-B_13_9,B_13_8-B_13_10,B_13_1-B_13_11,B_13_2-B_13_12]]),Matrix(4, 4, [[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4],[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7],[A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7],[A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7],[A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7]]),Matrix(4, 4, [[B_4_4+B_9_4-B_4_9,B_4_5+B_9_5-B_4_10,B_4_6+B_9_6-B_4_11,B_4_7+B_9_7-B_4_12],[B_5_4+B_10_4-B_5_9,B_5_5+B_10_5-B_5_10,B_5_6+B_10_6-B_5_11,B_5_7+B_10_7-B_5_12],[B_6_4+B_11_4-B_6_9,B_6_5+B_11_5-B_6_10,B_6_6+B_11_6-B_6_11,B_6_7+B_11_7-B_6_12],[B_7_4+B_12_4-B_7_9,B_7_5+B_12_5-B_7_10,B_7_6+B_12_6-B_7_11,B_7_7+B_12_7-B_7_12]]),Matrix(4, 4, [[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 5, [[A_1_4-A_1_9+A_5_9,-A_1_10+A_1_5+A_5_10,A_1_6-A_1_11+A_5_11,A_1_7-A_1_12+A_5_12,-A_1_13+A_5_13],[A_2_4-A_2_9+A_6_9,-A_2_10+A_2_5+A_6_10,A_2_6-A_2_11+A_6_11,A_2_7-A_2_12+A_6_12,-A_2_13+A_6_13],[A_3_4-A_3_9+A_7_9,A_3_5-A_3_10+A_7_10,A_3_6-A_3_11+A_7_11,A_3_7-A_3_12+A_7_12,-A_3_13+A_7_13],[A_4_4+A_8_9-A_4_9,A_4_5+A_8_10-A_4_10,A_4_6-A_4_11+A_8_11,A_4_7-A_4_12+A_8_12,-A_4_13+A_8_13]]),Matrix(5, 4, [[B_4_3-B_9_4,B_4_8-B_9_5,B_4_1-B_9_6,B_4_2-B_9_7],[B_5_3-B_10_4,B_5_8-B_10_5,B_5_1-B_10_6,B_5_2-B_10_7],[B_6_3-B_11_4,B_6_8-B_11_5,B_6_1-B_11_6,B_6_2-B_11_7],[B_7_3-B_12_4,B_7_8-B_12_5,B_7_1-B_12_6,B_7_2-B_12_7],[-B_13_4,-B_13_5,-B_13_6,-B_13_7]]),Matrix(4, 4, [[C_3_1+C_3_5-C_4_5,C_3_2+C_3_6-C_4_6,C_3_3+C_3_7-C_4_7,C_3_4+C_3_8-C_4_8],[C_8_1+C_8_5-C_5_5,C_8_2+C_8_6-C_5_6,C_8_3+C_8_7-C_5_7,C_8_4+C_8_8-C_5_8],[C_1_1+C_1_5-C_6_5,C_1_2+C_1_6-C_6_6,C_1_3+C_1_7-C_6_7,C_1_4+C_1_8-C_6_8],[C_2_1+C_2_5-C_7_5,C_2_2+C_2_6-C_7_6,C_2_3+C_2_7-C_7_7,C_2_4+C_2_8-C_7_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_3-A_5_3+A_5_4,A_1_8-A_5_8+A_5_5,A_1_1-A_5_1+A_5_6,A_1_2-A_5_2+A_5_7],[A_2_3-A_6_3+A_6_4,A_2_8-A_6_8+A_6_5,A_2_1-A_6_1+A_6_6,A_2_2-A_6_2+A_6_7],[A_3_3-A_7_3+A_7_4,A_3_8-A_7_8+A_7_5,A_3_1-A_7_1+A_7_6,A_3_2-A_7_2+A_7_7],[A_4_3-A_8_3+A_8_4,A_4_8-A_8_8+A_8_5,A_4_1-A_8_1+A_8_6,A_4_2-A_8_2+A_8_7]]),Matrix(4, 5, [[B_3_4+B_4_9,B_3_5+B_4_10,B_3_6+B_4_11,B_3_7+B_4_12,B_4_13],[B_8_4+B_5_9,B_8_5+B_5_10,B_8_6+B_5_11,B_8_7+B_5_12,B_5_13],[B_1_4+B_6_9,B_1_5+B_6_10,B_1_6+B_6_11,B_1_7+B_6_12,B_6_13],[B_2_4+B_7_9,B_2_5+B_7_10,B_2_6+B_7_11,B_2_7+B_7_12,B_7_13]]),Matrix(5, 4, [[C_4_1+C_9_1+C_9_5,C_4_2+C_9_2+C_9_6,C_4_3+C_9_3+C_9_7,C_4_4+C_9_4+C_9_8],[C_5_1+C_10_1+C_10_5,C_5_2+C_10_2+C_10_6,C_5_3+C_10_3+C_10_7,C_5_4+C_10_4+C_10_8],[C_6_1+C_11_1+C_11_5,C_6_2+C_11_2+C_11_6,C_6_3+C_11_3+C_11_7,C_6_4+C_11_4+C_11_8],[C_7_1+C_12_1+C_12_5,C_7_2+C_12_2+C_12_6,C_7_3+C_12_3+C_12_7,C_7_4+C_12_4+C_12_8],[C_13_1+C_13_5,C_13_2+C_13_6,C_13_3+C_13_7,C_13_4+C_13_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_5_3-A_5_4,-A_5_5+A_5_8,A_5_1-A_5_6,A_5_2-A_5_7],[-A_6_4+A_6_3,-A_6_5+A_6_8,A_6_1-A_6_6,A_6_2-A_6_7],[-A_7_4+A_7_3,-A_7_5+A_7_8,A_7_1-A_7_6,A_7_2-A_7_7],[A_8_3-A_8_4,A_8_8-A_8_5,A_8_1-A_8_6,A_8_2-A_8_7]]),Matrix(4, 4, [[B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7],[B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7],[B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7],[B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7]]),Matrix(4, 4, [[C_4_1+C_9_1+C_4_5+C_9_5,C_4_2+C_9_2+C_4_6+C_9_6,C_4_3+C_9_3+C_4_7+C_9_7,C_4_4+C_9_4+C_4_8+C_9_8],[C_5_1+C_10_1+C_5_5+C_10_5,C_5_2+C_10_2+C_5_6+C_10_6,C_5_3+C_10_3+C_5_7+C_10_7,C_5_4+C_10_4+C_5_8+C_10_8],[C_6_1+C_11_1+C_6_5+C_11_5,C_6_2+C_11_2+C_6_6+C_11_6,C_6_3+C_11_3+C_6_7+C_11_7,C_6_4+C_11_4+C_6_8+C_11_8],[C_7_1+C_12_1+C_7_5+C_12_5,C_7_2+C_12_2+C_7_6+C_12_6,C_7_3+C_12_3+C_7_7+C_12_7,C_7_4+C_12_4+C_7_8+C_12_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_4-A_5_4-A_1_9+A_5_9,A_1_5-A_5_5-A_1_10+A_5_10,A_1_6-A_5_6-A_1_11+A_5_11,A_1_7-A_5_7-A_1_12+A_5_12],[A_2_4-A_6_4-A_2_9+A_6_9,A_2_5-A_6_5-A_2_10+A_6_10,A_2_6-A_6_6-A_2_11+A_6_11,A_2_7-A_6_7-A_2_12+A_6_12],[A_3_4-A_7_4-A_3_9+A_7_9,A_3_5-A_7_5-A_3_10+A_7_10,A_3_6-A_7_6-A_3_11+A_7_11,A_3_7-A_7_7-A_3_12+A_7_12],[A_4_4-A_8_4-A_4_9+A_8_9,A_4_5-A_8_5-A_4_10+A_8_10,A_4_6-A_8_6-A_4_11+A_8_11,A_4_7-A_8_7-A_4_12+A_8_12]]),Matrix(4, 4, [[B_4_3,B_4_8,B_4_1,B_4_2],[B_5_3,B_5_8,B_5_1,B_5_2],[B_6_3,B_6_8,B_6_1,B_6_2],[B_7_3,B_7_8,B_7_1,B_7_2]]),Matrix(4, 4, [[C_4_5-C_3_5,-C_3_6+C_4_6,-C_3_7+C_4_7,-C_3_8+C_4_8],[C_5_5-C_8_5,C_5_6-C_8_6,C_5_7-C_8_7,C_5_8-C_8_8],[-C_1_5+C_6_5,-C_1_6+C_6_6,-C_1_7+C_6_7,-C_1_8+C_6_8],[-C_2_5+C_7_5,-C_2_6+C_7_6,-C_2_7+C_7_7,-C_2_8+C_7_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 5, [[A_1_4-A_1_9,-A_1_10+A_1_5,A_1_6-A_1_11,A_1_7-A_1_12,-A_1_13],[A_2_4-A_2_9,-A_2_10+A_2_5,A_2_6-A_2_11,A_2_7-A_2_12,-A_2_13],[A_3_4-A_3_9,A_3_5-A_3_10,A_3_6-A_3_11,A_3_7-A_3_12,-A_3_13],[A_4_4-A_4_9,A_4_5-A_4_10,A_4_6-A_4_11,A_4_7-A_4_12,-A_4_13]]),Matrix(5, 4, [[B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7],[B_10_4,B_10_5,B_10_6,B_10_7],[B_11_4,B_11_5,B_11_6,B_11_7],[B_12_4,B_12_5,B_12_6,B_12_7],[B_13_4,B_13_5,B_13_6,B_13_7]]),Matrix(4, 4, [[-C_4_1+C_3_1+C_3_5-C_4_5,C_3_2-C_4_2+C_3_6-C_4_6,C_3_3-C_4_3+C_3_7-C_4_7,C_3_4-C_4_4+C_3_8-C_4_8],[-C_5_1+C_8_1+C_8_5-C_5_5,-C_5_2+C_8_2+C_8_6-C_5_6,-C_5_3+C_8_3+C_8_7-C_5_7,-C_5_4+C_8_4+C_8_8-C_5_8],[C_1_1-C_6_1+C_1_5-C_6_5,C_1_2-C_6_2+C_1_6-C_6_6,C_1_3-C_6_3+C_1_7-C_6_7,C_1_4-C_6_4+C_1_8-C_6_8],[C_2_1-C_7_1+C_2_5-C_7_5,C_2_2-C_7_2+C_2_6-C_7_6,C_2_3-C_7_3+C_2_7-C_7_7,C_2_4-C_7_4+C_2_8-C_7_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7],[A_6_4,A_6_5,A_6_6,A_6_7],[A_7_4,A_7_5,A_7_6,A_7_7],[A_8_4,A_8_5,A_8_6,A_8_7]]),Matrix(4, 4, [[B_4_3+B_3_4+B_4_4,B_4_8+B_3_5+B_4_5,B_4_1+B_3_6+B_4_6,B_4_2+B_3_7+B_4_7],[B_5_3+B_8_4+B_5_4,B_5_5+B_5_8+B_8_5,B_5_1+B_8_6+B_5_6,B_5_2+B_8_7+B_5_7],[B_6_3+B_1_4+B_6_4,B_6_8+B_1_5+B_6_5,B_6_1+B_1_6+B_6_6,B_6_2+B_1_7+B_6_7],[B_7_3+B_2_4+B_7_4,B_7_8+B_2_5+B_7_5,B_7_1+B_2_6+B_7_6,B_7_2+B_2_7+B_7_7]]),Matrix(4, 4, [[C_4_5,C_4_6,C_4_7,C_4_8],[C_5_5,C_5_6,C_5_7,C_5_8],[C_6_5,C_6_6,C_6_7,C_6_8],[C_7_5,C_7_6,C_7_7,C_7_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_3-A_5_3-A_1_4+A_5_4,-A_1_5+A_5_5+A_1_8-A_5_8,A_1_1-A_5_1-A_1_6+A_5_6,A_1_2-A_5_2-A_1_7+A_5_7],[A_2_3-A_6_3-A_2_4+A_6_4,-A_2_5+A_6_5+A_2_8-A_6_8,A_2_1-A_6_1-A_2_6+A_6_6,A_2_2-A_6_2-A_2_7+A_6_7],[A_3_3-A_7_3-A_3_4+A_7_4,-A_3_5+A_7_5+A_3_8-A_7_8,A_3_1-A_7_1-A_3_6+A_7_6,A_3_2-A_7_2-A_3_7+A_7_7],[A_4_3-A_8_3-A_4_4+A_8_4,-A_4_5+A_8_5+A_4_8-A_8_8,A_4_1-A_8_1-A_4_6+A_8_6,A_4_2-A_8_2-A_4_7+A_8_7]]),Matrix(4, 5, [[B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13],[B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12,B_5_13],[B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12,B_6_13],[B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12,B_7_13]]),Matrix(5, 4, [[-C_4_1-C_9_1,-C_4_2-C_9_2,-C_4_3-C_9_3,-C_4_4-C_9_4],[-C_5_1-C_10_1,-C_5_2-C_10_2,-C_5_3-C_10_3,-C_5_4-C_10_4],[-C_6_1-C_11_1,-C_6_2-C_11_2,-C_6_3-C_11_3,-C_6_4-C_11_4],[-C_7_1-C_12_1,-C_7_2-C_12_2,-C_7_3-C_12_3,-C_7_4-C_12_4],[-C_13_1,-C_13_2,-C_13_3,-C_13_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_5_3-A_5_9,A_5_8-A_5_10,A_5_1-A_5_11,A_5_2-A_5_12],[A_6_3-A_6_9,A_6_8-A_6_10,A_6_1-A_6_11,A_6_2-A_6_12],[A_7_3-A_7_9,A_7_8-A_7_10,A_7_1-A_7_11,A_7_2-A_7_12],[A_8_3-A_8_9,A_8_8-A_8_10,A_8_1-A_8_11,A_8_2-A_8_12]]),Matrix(4, 4, [[B_3_3,B_3_8,B_3_1,B_3_2],[B_8_3,B_8_8,B_8_1,B_8_2],[B_1_3,B_1_8,B_1_1,B_1_2],[B_2_3,B_2_8,B_2_1,B_2_2]]),Matrix(4, 4, [[C_3_5+C_9_5,C_3_6+C_9_6,C_3_7+C_9_7,C_3_8+C_9_8],[C_8_5+C_10_5,C_10_6+C_8_6,C_8_7+C_10_7,C_8_8+C_10_8],[C_1_5+C_11_5,C_1_6+C_11_6,C_1_7+C_11_7,C_1_8+C_11_8],[C_2_5+C_12_5,C_2_6+C_12_6,C_2_7+C_12_7,C_2_8+C_12_8]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_3-A_5_3,A_1_8-A_5_8,A_1_1-A_5_1,A_1_2-A_5_2],[A_2_3-A_6_3,A_2_8-A_6_8,A_2_1-A_6_1,A_2_2-A_6_2],[A_3_3-A_7_3,A_3_8-A_7_8,A_3_1-A_7_1,A_3_2-A_7_2],[A_4_3-A_8_3,A_4_8-A_8_8,A_4_1-A_8_1,A_4_2-A_8_2]]),Matrix(4, 5, [[B_3_3-B_3_9-B_4_9,B_3_8-B_3_10-B_4_10,B_3_1-B_3_11-B_4_11,B_3_2-B_3_12-B_4_12,-B_3_13-B_4_13],[B_8_3-B_8_9-B_5_9,B_8_8-B_8_10-B_5_10,B_8_1-B_8_11-B_5_11,B_8_2-B_8_12-B_5_12,-B_8_13-B_5_13],[B_1_3-B_1_9-B_6_9,B_1_8-B_1_10-B_6_10,B_1_1-B_1_11-B_6_11,B_1_2-B_1_12-B_6_12,-B_1_13-B_6_13],[B_2_3-B_2_9-B_7_9,B_2_8-B_2_10-B_7_10,B_2_1-B_2_11-B_7_11,B_2_2-B_2_12-B_7_12,-B_2_13-B_7_13]]),Matrix(5, 4, [[C_9_5,C_9_6,C_9_7,C_9_8],[C_10_5,C_10_6,C_10_7,C_10_8],[C_11_5,C_11_6,C_11_7,C_11_8],[C_12_5,C_12_6,C_12_7,C_12_8],[C_13_5,C_13_6,C_13_7,C_13_8]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.

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