Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨7×9×16:678⟩

Algorithm type

14⁢X4⁢Y4⁢Z4+2⁢X4⁢Y3⁢Z5+4⁢X4⁢Y4⁢Z3+2⁢X4⁢Y3⁢Z4+3⁢X3⁢Y4⁢Z4+16⁢X2⁢Y6⁢Z3+2⁢X4⁢Y3⁢Z3+X4⁢Y2⁢Z4+14⁢X3⁢Y4⁢Z3+2⁢X2⁢Y6⁢Z2+24⁢X⁢Y6⁢Z3+3⁢X5⁢Y2⁢Z2+4⁢X3⁢Y3⁢Z3+2⁢X2⁢Y6⁢Z+X2⁢Y4⁢Z3+X2⁢Y2⁢Z5+X4⁢Y2⁢Z2+71⁢X2⁢Y4⁢Z2+34⁢X2⁢Y3⁢Z3+16⁢X2⁢Y2⁢Z4+8⁢X⁢Y6⁢Z+X⁢Y4⁢Z3+X⁢Y2⁢Z5+2⁢X3⁢Y2⁢Z2+9⁢X2⁢Y4⁢Z+3⁢X2⁢Y3⁢Z2+X2⁢Y2⁢Z3+2⁢X2⁢Y⁢Z4+6⁢X⁢Y4⁢Z2+48⁢X⁢Y3⁢Z3+6⁢X3⁢Y2⁢Z+4⁢X2⁢Y3⁢Z+86⁢X2⁢Y2⁢Z2+39⁢X⁢Y4⁢Z+9⁢X⁢Y2⁢Z3+9⁢X3⁢Y⁢Z+9⁢X2⁢Y2⁢Z+5⁢X2⁢Y⁢Z2+14⁢X⁢Y3⁢Z+41⁢X⁢Y2⁢Z2+8⁢X⁢Y⁢Z3+9⁢X2⁢Y⁢Z+81⁢X⁢Y2⁢Z+31⁢X⁢Y⁢Z2+29⁢X⁢Y⁢Z14X4Y4Z42X4Y3Z54X4Y4Z32X4Y3Z43X3Y4Z416X2Y6Z32X4Y3Z3X4Y2Z414X3Y4Z32X2Y6Z224XY6Z33X5Y2Z24X3Y3Z32X2Y6ZX2Y4Z3X2Y2Z5X4Y2Z271X2Y4Z234X2Y3Z316X2Y2Z48XY6ZXY4Z3XY2Z52X3Y2Z29X2Y4Z3X2Y3Z2X2Y2Z32X2YZ46XY4Z248XY3Z36X3Y2Z4X2Y3Z86X2Y2Z239XY4Z9XY2Z39X3YZ9X2Y2Z5X2YZ214XY3Z41XY2Z28XYZ39X2YZ81XY2Z31XYZ229XYZ14*X^4*Y^4*Z^4+2*X^4*Y^3*Z^5+4*X^4*Y^4*Z^3+2*X^4*Y^3*Z^4+3*X^3*Y^4*Z^4+16*X^2*Y^6*Z^3+2*X^4*Y^3*Z^3+X^4*Y^2*Z^4+14*X^3*Y^4*Z^3+2*X^2*Y^6*Z^2+24*X*Y^6*Z^3+3*X^5*Y^2*Z^2+4*X^3*Y^3*Z^3+2*X^2*Y^6*Z+X^2*Y^4*Z^3+X^2*Y^2*Z^5+X^4*Y^2*Z^2+71*X^2*Y^4*Z^2+34*X^2*Y^3*Z^3+16*X^2*Y^2*Z^4+8*X*Y^6*Z+X*Y^4*Z^3+X*Y^2*Z^5+2*X^3*Y^2*Z^2+9*X^2*Y^4*Z+3*X^2*Y^3*Z^2+X^2*Y^2*Z^3+2*X^2*Y*Z^4+6*X*Y^4*Z^2+48*X*Y^3*Z^3+6*X^3*Y^2*Z+4*X^2*Y^3*Z+86*X^2*Y^2*Z^2+39*X*Y^4*Z+9*X*Y^2*Z^3+9*X^3*Y*Z+9*X^2*Y^2*Z+5*X^2*Y*Z^2+14*X*Y^3*Z+41*X*Y^2*Z^2+8*X*Y*Z^3+9*X^2*Y*Z+81*X*Y^2*Z+31*X*Y*Z^2+29*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨7×9×16:678⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨7×9×16:678⟩ = ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨4×3×6:56⟩ + ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨3×3×5:36⟩ + ⟨3×3×5:36⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨4×3×6:56⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨3×3×5:36⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨4×3×6:56⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_8_14B_8_15B_8_16B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_9_14B_9_15B_9_16C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_1_7C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_2_7C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_3_7C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_4_7C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_5_7C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_6_7C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_7_7C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_8_7C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_9_7C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_10_7C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_11_5C_11_6C_11_7C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_12_5C_12_6C_12_7C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_13_5C_13_6C_13_7C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_14_5C_14_6C_14_7C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_15_5C_15_6C_15_7C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_16_5C_16_6C_16_7=Trace⁡Mul⁡A_4_7A_4_8A_4_9A_5_7A_5_8A_5_9A_6_7A_6_8A_6_9A_7_7A_7_8A_7_9B_1_5+B_7_5+B_7_6B_1_1+B_7_1+B_7_7B_1_2+B_7_2+B_7_8B_1_3+B_7_3+B_7_9B_1_4+B_7_4+B_7_10B_2_5+B_8_5+B_8_6B_2_1+B_8_1+B_8_7B_2_2+B_8_2+B_8_8B_2_3+B_8_3+B_8_9B_2_4+B_8_4+B_8_10B_3_5+B_9_5+B_9_6B_3_1+B_9_1+B_9_7B_3_2+B_9_2+B_9_8B_3_3+B_9_3+B_9_9B_3_4+B_9_4+B_9_10C_5_4C_5_1+C_5_5C_5_2+C_5_6C_5_3+C_5_7C_1_4C_1_1+C_1_5C_1_2+C_1_6C_1_3+C_1_7C_2_4C_2_1+C_2_5C_2_2+C_2_6C_2_3+C_2_7C_3_4C_3_1+C_3_5C_3_2+C_3_6C_3_3+C_3_7C_4_4C_4_1+C_4_5C_4_2+C_4_6C_4_3+C_4_7+Trace⁡Mul⁡-A_4_7-A_4_8-A_4_9A_1_1-A_5_7A_1_2-A_5_8A_1_3-A_5_9A_2_1-A_6_7A_2_2-A_6_8A_2_3-A_6_9A_3_1-A_7_7A_3_2-A_7_8A_3_3-A_7_9B_7_11B_1_5+B_7_12B_1_1+B_7_13B_1_2+B_7_14B_1_3+B_7_15B_1_4+B_7_16B_8_11B_2_5+B_8_12B_2_1+B_8_13B_2_2+B_8_14B_2_3+B_8_15B_2_4+B_8_16B_9_11B_3_5+B_9_12B_3_1+B_9_13B_3_2+B_9_14B_3_3+B_9_15B_3_4+B_9_16-C_11_4-C_11_5-C_11_6-C_11_7-C_12_4C_5_1-C_12_5C_5_2-C_12_6C_5_3-C_12_7-C_13_4C_1_1-C_13_5C_1_2-C_13_6C_1_3-C_13_7-C_14_4C_2_1-C_14_5C_2_2-C_14_6C_2_3-C_14_7-C_15_4C_3_1-C_15_5C_3_2-C_15_6C_3_3-C_15_7-C_16_4C_4_1-C_16_5C_4_2-C_16_6C_4_3-C_16_7+Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_2_1A_2_2A_2_3A_3_1A_3_2A_3_3-B_1_11-B_7_11B_1_6-B_1_12-B_7_12B_1_7-B_1_13-B_7_13B_1_8-B_1_14-B_7_14B_1_9-B_1_15-B_7_15B_1_10-B_1_16-B_7_16-B_2_11-B_8_11B_2_6-B_2_12-B_8_12B_2_7-B_2_13-B_8_13B_2_8-B_2_14-B_8_14B_2_9-B_2_15-B_8_15B_2_10-B_2_16-B_8_16-B_3_11-B_9_11B_3_6-B_3_12-B_9_12B_3_7-B_3_13-B_9_13B_3_8-B_3_14-B_9_14B_3_9-B_3_15-B_9_15B_3_10-B_3_16-B_9_16-C_11_1-C_11_5-C_11_2-C_11_6-C_11_3-C_11_7-C_12_1-C_12_5-C_12_2-C_12_6-C_12_3-C_12_7-C_13_1-C_13_5-C_13_2-C_13_6-C_13_3-C_13_7-C_14_1-C_14_5-C_14_2-C_14_6-C_14_3-C_14_7-C_15_1-C_15_5-C_15_2-C_15_6-C_15_3-C_15_7-C_16_1-C_16_5-C_16_2-C_16_6-C_16_3-C_16_7+Trace⁡Mul⁡A_1_1-A_1_7A_1_2-A_1_8A_1_3-A_1_9A_2_1-A_2_7A_2_2-A_2_8A_2_3-A_2_9A_3_1-A_3_7A_3_2-A_3_8A_3_3-A_3_9B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_8_11B_8_12B_8_13B_8_14B_8_15B_8_16B_9_11B_9_12B_9_13B_9_14B_9_15B_9_16-C_11_1-C_11_2-C_11_3-C_5_1-C_12_1-C_5_2-C_12_2-C_5_3-C_12_3-C_1_1-C_13_1-C_1_2-C_13_2-C_1_3-C_13_3-C_2_1-C_14_1-C_2_2-C_14_2-C_2_3-C_14_3-C_3_1-C_15_1-C_3_2-C_15_2-C_3_3-C_15_3-C_4_1-C_16_1-C_4_2-C_16_2-C_4_3-C_16_3+Trace⁡Mul⁡A_1_7-A_5_7A_1_8-A_5_8A_1_9-A_5_9A_2_7-A_6_7A_2_8-A_6_8A_2_9-A_6_9A_3_7-A_7_7A_3_8-A_7_8A_3_9-A_7_9B_7_5+B_4_5-B_7_12B_4_1+B_7_1-B_7_13B_4_2+B_7_2-B_7_14B_4_3+B_7_3-B_7_15B_7_4+B_4_4-B_7_16B_5_5+B_8_5-B_8_12B_5_1+B_8_1-B_8_13B_5_2+B_8_2-B_8_14B_5_3+B_8_3-B_8_15B_5_4+B_8_4-B_8_16B_6_5+B_9_5-B_9_12B_6_1+B_9_1-B_9_13B_6_2+B_9_2-B_9_14B_6_3+B_9_3-B_9_15B_6_4+B_9_4-B_9_16C_5_1C_5_2C_5_3C_1_1C_1_2C_1_3C_2_1C_2_2C_2_3C_3_1C_3_2C_3_3C_4_1C_4_2C_4_3+Trace⁡Mul⁡A_1_4A_1_5A_1_6A_2_4A_2_5A_2_6A_3_4A_3_5A_3_6B_4_6+B_7_6-B_4_12B_7_7+B_4_7-B_4_13B_4_8+B_7_8-B_4_14B_4_9+B_7_9-B_4_15B_4_10+B_7_10-B_4_16B_5_6+B_8_6-B_5_12B_5_7+B_8_7-B_5_13B_5_8+B_8_8-B_5_14B_5_9+B_8_9-B_5_15B_5_10+B_8_10-B_5_16B_6_6+B_9_6-B_6_12B_6_7+B_9_7-B_6_13B_6_8+B_9_8-B_6_14B_6_9+B_9_9-B_6_15B_6_10+B_9_10-B_6_16C_6_1C_6_2C_6_3C_7_1C_7_2C_7_3C_8_1C_8_2C_8_3C_9_1C_9_2C_9_3C_10_1C_10_2C_10_3+Trace⁡Mul⁡A_4_7A_4_8A_4_9A_1_4-A_1_7+A_5_7A_1_5-A_1_8+A_5_8A_1_6-A_1_9+A_5_9A_2_4-A_2_7+A_6_7A_2_5-A_2_8+A_6_8A_2_6-A_2_9+A_6_9A_3_4-A_3_7+A_7_7A_3_5-A_3_8+A_7_8A_3_6-A_3_9+A_7_9B_4_5-B_7_6B_4_1-B_7_7B_4_2-B_7_8B_4_3-B_7_9B_4_4-B_7_10B_5_5-B_8_6B_5_1-B_8_7B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9, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7,A_1_8,A_1_9],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7,A_2_8,A_2_9],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7,A_3_8,A_3_9],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_9],[A_6_1,A_6_2,A_6_3,A_6_4,A_6_5,A_6_6,A_6_7,A_6_8,A_6_9],[A_7_1,A_7_2,A_7_3,A_7_4,A_7_5,A_7_6,A_7_7,A_7_8,A_7_9]]),Matrix(9, 16, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_16],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_16],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12,B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12,B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12,B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12,B_8_13,B_8_14,B_8_15,B_8_16],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12,B_9_13,B_9_14,B_9_15,B_9_16]]),Matrix(16, 7, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6,C_1_7],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6,C_2_7],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6,C_3_7],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6,C_4_7],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5,C_11_6,C_11_7],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5,C_12_6,C_12_7],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4,C_13_5,C_13_6,C_13_7],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4,C_14_5,C_14_6,C_14_7],[C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4,C_15_5,C_15_6,C_15_7],[C_16_1,C_16_2,C_16_3,C_16_4,C_16_5,C_16_6,C_16_7]]))) = Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_5_7,A_5_8,A_5_9],[A_6_7,A_6_8,A_6_9],[A_7_7,A_7_8,A_7_9]]),Matrix(3, 5, [[B_1_5+B_7_5+B_7_6,B_1_1+B_7_1+B_7_7,B_1_2+B_7_2+B_7_8,B_1_3+B_7_3+B_7_9,B_1_4+B_7_4+B_7_10],[B_2_5+B_8_5+B_8_6,B_2_1+B_8_1+B_8_7,B_2_2+B_8_2+B_8_8,B_2_3+B_8_3+B_8_9,B_2_4+B_8_4+B_8_10],[B_3_5+B_9_5+B_9_6,B_3_1+B_9_1+B_9_7,B_3_2+B_9_2+B_9_8,B_3_3+B_9_3+B_9_9,B_3_4+B_9_4+B_9_10]]),Matrix(5, 4, [[C_5_4,C_5_1+C_5_5,C_5_2+C_5_6,C_5_3+C_5_7],[C_1_4,C_1_1+C_1_5,C_1_2+C_1_6,C_1_3+C_1_7],[C_2_4,C_2_1+C_2_5,C_2_2+C_2_6,C_2_3+C_2_7],[C_3_4,C_3_1+C_3_5,C_3_2+C_3_6,C_3_3+C_3_7],[C_4_4,C_4_1+C_4_5,C_4_2+C_4_6,C_4_3+C_4_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_7,-A_4_8,-A_4_9],[A_1_1-A_5_7,A_1_2-A_5_8,A_1_3-A_5_9],[A_2_1-A_6_7,A_2_2-A_6_8,A_2_3-A_6_9],[A_3_1-A_7_7,A_3_2-A_7_8,A_3_3-A_7_9]]),Matrix(3, 6, [[B_7_11,B_1_5+B_7_12,B_1_1+B_7_13,B_1_2+B_7_14,B_1_3+B_7_15,B_1_4+B_7_16],[B_8_11,B_2_5+B_8_12,B_2_1+B_8_13,B_2_2+B_8_14,B_2_3+B_8_15,B_2_4+B_8_16],[B_9_11,B_3_5+B_9_12,B_3_1+B_9_13,B_3_2+B_9_14,B_3_3+B_9_15,B_3_4+B_9_16]]),Matrix(6, 4, [[-C_11_4,-C_11_5,-C_11_6,-C_11_7],[-C_12_4,C_5_1-C_12_5,C_5_2-C_12_6,C_5_3-C_12_7],[-C_13_4,C_1_1-C_13_5,C_1_2-C_13_6,C_1_3-C_13_7],[-C_14_4,C_2_1-C_14_5,C_2_2-C_14_6,C_2_3-C_14_7],[-C_15_4,C_3_1-C_15_5,C_3_2-C_15_6,C_3_3-C_15_7],[-C_16_4,C_4_1-C_16_5,C_4_2-C_16_6,C_4_3-C_16_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3],[A_2_1,A_2_2,A_2_3],[A_3_1,A_3_2,A_3_3]]),Matrix(3, 6, [[-B_1_11-B_7_11,B_1_6-B_1_12-B_7_12,B_1_7-B_1_13-B_7_13,B_1_8-B_1_14-B_7_14,B_1_9-B_1_15-B_7_15,B_1_10-B_1_16-B_7_16],[-B_2_11-B_8_11,B_2_6-B_2_12-B_8_12,B_2_7-B_2_13-B_8_13,B_2_8-B_2_14-B_8_14,B_2_9-B_2_15-B_8_15,B_2_10-B_2_16-B_8_16],[-B_3_11-B_9_11,B_3_6-B_3_12-B_9_12,B_3_7-B_3_13-B_9_13,B_3_8-B_3_14-B_9_14,B_3_9-B_3_15-B_9_15,B_3_10-B_3_16-B_9_16]]),Matrix(6, 3, [[-C_11_1-C_11_5,-C_11_2-C_11_6,-C_11_3-C_11_7],[-C_12_1-C_12_5,-C_12_2-C_12_6,-C_12_3-C_12_7],[-C_13_1-C_13_5,-C_13_2-C_13_6,-C_13_3-C_13_7],[-C_14_1-C_14_5,-C_14_2-C_14_6,-C_14_3-C_14_7],[-C_15_1-C_15_5,-C_15_2-C_15_6,-C_15_3-C_15_7],[-C_16_1-C_16_5,-C_16_2-C_16_6,-C_16_3-C_16_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_1-A_1_7,A_1_2-A_1_8,A_1_3-A_1_9],[A_2_1-A_2_7,A_2_2-A_2_8,A_2_3-A_2_9],[A_3_1-A_3_7,A_3_2-A_3_8,A_3_3-A_3_9]]),Matrix(3, 6, [[B_7_11,B_7_12,B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16],[B_8_11,B_8_12,B_8_13,B_8_14,B_8_15,B_8_16],[B_9_11,B_9_12,B_9_13,B_9_14,B_9_15,B_9_16]]),Matrix(6, 3, [[-C_11_1,-C_11_2,-C_11_3],[-C_5_1-C_12_1,-C_5_2-C_12_2,-C_5_3-C_12_3],[-C_1_1-C_13_1,-C_1_2-C_13_2,-C_1_3-C_13_3],[-C_2_1-C_14_1,-C_2_2-C_14_2,-C_2_3-C_14_3],[-C_3_1-C_15_1,-C_3_2-C_15_2,-C_3_3-C_15_3],[-C_4_1-C_16_1,-C_4_2-C_16_2,-C_4_3-C_16_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_7-A_5_7,A_1_8-A_5_8,A_1_9-A_5_9],[A_2_7-A_6_7,A_2_8-A_6_8,A_2_9-A_6_9],[A_3_7-A_7_7,A_3_8-A_7_8,A_3_9-A_7_9]]),Matrix(3, 5, [[B_7_5+B_4_5-B_7_12,B_4_1+B_7_1-B_7_13,B_4_2+B_7_2-B_7_14,B_4_3+B_7_3-B_7_15,B_7_4+B_4_4-B_7_16],[B_5_5+B_8_5-B_8_12,B_5_1+B_8_1-B_8_13,B_5_2+B_8_2-B_8_14,B_5_3+B_8_3-B_8_15,B_5_4+B_8_4-B_8_16],[B_6_5+B_9_5-B_9_12,B_6_1+B_9_1-B_9_13,B_6_2+B_9_2-B_9_14,B_6_3+B_9_3-B_9_15,B_6_4+B_9_4-B_9_16]]),Matrix(5, 3, [[C_5_1,C_5_2,C_5_3],[C_1_1,C_1_2,C_1_3],[C_2_1,C_2_2,C_2_3],[C_3_1,C_3_2,C_3_3],[C_4_1,C_4_2,C_4_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_4,A_1_5,A_1_6],[A_2_4,A_2_5,A_2_6],[A_3_4,A_3_5,A_3_6]]),Matrix(3, 5, [[B_4_6+B_7_6-B_4_12,B_7_7+B_4_7-B_4_13,B_4_8+B_7_8-B_4_14,B_4_9+B_7_9-B_4_15,B_4_10+B_7_10-B_4_16],[B_5_6+B_8_6-B_5_12,B_5_7+B_8_7-B_5_13,B_5_8+B_8_8-B_5_14,B_5_9+B_8_9-B_5_15,B_5_10+B_8_10-B_5_16],[B_6_6+B_9_6-B_6_12,B_6_7+B_9_7-B_6_13,B_6_8+B_9_8-B_6_14,B_6_9+B_9_9-B_6_15,B_6_10+B_9_10-B_6_16]]),Matrix(5, 3, [[C_6_1,C_6_2,C_6_3],[C_7_1,C_7_2,C_7_3],[C_8_1,C_8_2,C_8_3],[C_9_1,C_9_2,C_9_3],[C_10_1,C_10_2,C_10_3]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_1_4-A_1_7+A_5_7,A_1_5-A_1_8+A_5_8,A_1_6-A_1_9+A_5_9],[A_2_4-A_2_7+A_6_7,A_2_5-A_2_8+A_6_8,A_2_6-A_2_9+A_6_9],[A_3_4-A_3_7+A_7_7,A_3_5-A_3_8+A_7_8,A_3_6-A_3_9+A_7_9]]),Matrix(3, 5, [[B_4_5-B_7_6,B_4_1-B_7_7,B_4_2-B_7_8,B_4_3-B_7_9,B_4_4-B_7_10],[B_5_5-B_8_6,B_5_1-B_8_7,B_5_2-B_8_8,B_5_3-B_8_9,B_5_4-B_8_10],[B_6_5-B_9_6,B_6_1-B_9_7,B_6_2-B_9_8,B_6_3-B_9_9,B_6_4-B_9_10]]),Matrix(5, 4, [[C_5_4-C_6_4,C_5_1+C_5_5-C_6_5,C_5_2+C_5_6-C_6_6,C_5_3+C_5_7-C_6_7],[C_1_4-C_7_4,C_1_1+C_1_5-C_7_5,C_1_2+C_1_6-C_7_6,C_1_3+C_1_7-C_7_7],[C_2_4-C_8_4,C_2_1+C_2_5-C_8_5,C_2_2+C_2_6-C_8_6,C_2_3+C_2_7-C_8_7],[C_3_4-C_9_4,C_3_1+C_3_5-C_9_5,C_3_2+C_3_6-C_9_6,C_3_3+C_3_7-C_9_7],[C_4_4-C_10_4,C_4_1+C_4_5-C_10_5,C_4_2+C_4_6-C_10_6,C_4_3+C_4_7-C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_1+A_4_4,-A_4_2+A_4_5,-A_4_3+A_4_6],[A_1_1-A_5_1+A_5_4,A_1_2-A_5_2+A_5_5,A_1_3-A_5_3+A_5_6],[A_2_1-A_6_1+A_6_4,A_2_2-A_6_2+A_6_5,A_2_3-A_6_3+A_6_6],[A_3_1-A_7_1+A_7_4,A_3_2-A_7_2+A_7_5,A_3_3-A_7_3+A_7_6]]),Matrix(3, 6, [[B_4_11,B_1_6+B_4_12,B_1_7+B_4_13,B_1_8+B_4_14,B_1_9+B_4_15,B_1_10+B_4_16],[B_5_11,B_2_6+B_5_12,B_2_7+B_5_13,B_2_8+B_5_14,B_2_9+B_5_15,B_2_10+B_5_16],[B_6_11,B_3_6+B_6_12,B_3_7+B_6_13,B_3_8+B_6_14,B_3_9+B_6_15,B_3_10+B_6_16]]),Matrix(6, 4, [[C_11_4,C_11_1+C_11_5,C_11_2+C_11_6,C_11_3+C_11_7],[C_12_4,C_6_1+C_12_1+C_12_5,C_6_2+C_12_2+C_12_6,C_6_3+C_12_3+C_12_7],[C_13_4,C_7_1+C_13_1+C_13_5,C_7_2+C_13_2+C_13_6,C_7_3+C_13_3+C_13_7],[C_14_4,C_8_1+C_14_1+C_14_5,C_8_2+C_14_2+C_14_6,C_8_3+C_14_3+C_14_7],[C_15_4,C_9_1+C_15_1+C_15_5,C_9_2+C_15_2+C_15_6,C_9_3+C_15_3+C_15_7],[C_16_4,C_10_1+C_16_1+C_16_5,C_10_2+C_16_2+C_16_6,C_10_3+C_16_3+C_16_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_1-A_4_4,A_4_2-A_4_5,A_4_3-A_4_6],[A_5_1-A_5_4,A_5_2-A_5_5,A_5_3-A_5_6],[A_6_1-A_6_4,A_6_2-A_6_5,A_6_3-A_6_6],[A_7_1-A_7_4,A_7_2-A_7_5,A_7_3-A_7_6]]),Matrix(3, 5, [[B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10],[B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10],[B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10]]),Matrix(5, 4, [[C_6_4+C_12_4,C_6_1+C_12_1+C_6_5+C_12_5,C_6_2+C_12_2+C_6_6+C_12_6,C_6_3+C_12_3+C_6_7+C_12_7],[C_7_4+C_13_4,C_7_1+C_13_1+C_7_5+C_13_5,C_7_2+C_13_2+C_7_6+C_13_6,C_7_3+C_13_3+C_7_7+C_13_7],[C_8_4+C_14_4,C_8_1+C_14_1+C_8_5+C_14_5,C_8_2+C_14_2+C_8_6+C_14_6,C_8_3+C_14_3+C_8_7+C_14_7],[C_9_4+C_15_4,C_9_1+C_15_1+C_9_5+C_15_5,C_9_2+C_15_2+C_9_6+C_15_6,C_9_3+C_15_3+C_9_7+C_15_7],[C_10_4+C_16_4,C_10_1+C_16_1+C_10_5+C_16_5,C_10_2+C_16_2+C_10_6+C_16_6,C_10_3+C_16_3+C_10_7+C_16_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_4+A_4_7,-A_4_5+A_4_8,-A_4_6+A_4_9],[A_1_4-A_5_4-A_1_7+A_5_7,A_1_5-A_5_5-A_1_8+A_5_8,A_1_6-A_5_6-A_1_9+A_5_9],[A_2_4-A_6_4-A_2_7+A_6_7,A_2_5-A_6_5-A_2_8+A_6_8,A_2_6-A_6_6-A_2_9+A_6_9],[A_3_4-A_7_4-A_3_7+A_7_7,A_3_5-A_7_5-A_3_8+A_7_8,A_3_6-A_7_6-A_3_9+A_7_9]]),Matrix(3, 5, [[B_4_5,B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4],[B_5_5,B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4],[B_6_5,B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4]]),Matrix(5, 4, [[-C_5_4+C_6_4,-C_5_5+C_6_5,-C_5_6+C_6_6,-C_5_7+C_6_7],[-C_1_4+C_7_4,-C_1_5+C_7_5,-C_1_6+C_7_6,-C_1_7+C_7_7],[-C_2_4+C_8_4,-C_2_5+C_8_5,-C_2_6+C_8_6,-C_2_7+C_8_7],[-C_3_4+C_9_4,-C_3_5+C_9_5,-C_3_6+C_9_6,-C_3_7+C_9_7],[-C_4_4+C_10_4,-C_4_5+C_10_5,-C_4_6+C_10_6,-C_4_7+C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_4-A_1_7,A_1_5-A_1_8,A_1_6-A_1_9],[A_2_4-A_2_7,A_2_5-A_2_8,A_2_6-A_2_9],[A_3_4-A_3_7,A_3_5-A_3_8,A_3_6-A_3_9]]),Matrix(3, 5, [[B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10],[B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10],[B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10]]),Matrix(5, 3, [[C_5_1-C_6_1+C_5_5-C_6_5,C_5_2-C_6_2+C_5_6-C_6_6,C_5_3-C_6_3+C_5_7-C_6_7],[C_1_1-C_7_1+C_1_5-C_7_5,C_1_2-C_7_2+C_1_6-C_7_6,C_1_3-C_7_3+C_1_7-C_7_7],[C_2_1-C_8_1+C_2_5-C_8_5,C_2_2-C_8_2+C_2_6-C_8_6,-C_8_3+C_2_3+C_2_7-C_8_7],[C_3_1-C_9_1+C_3_5-C_9_5,C_3_2-C_9_2+C_3_6-C_9_6,C_3_3-C_9_3+C_3_7-C_9_7],[C_4_1-C_10_1+C_4_5-C_10_5,C_4_2-C_10_2+C_4_6-C_10_6,C_4_3-C_10_3+C_4_7-C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_4,A_4_5,A_4_6],[A_5_4,A_5_5,A_5_6],[A_6_4,A_6_5,A_6_6],[A_7_4,A_7_5,A_7_6]]),Matrix(3, 5, [[B_4_5+B_1_6+B_4_6,B_4_1+B_1_7+B_4_7,B_4_2+B_1_8+B_4_8,B_4_3+B_1_9+B_4_9,B_4_4+B_1_10+B_4_10],[B_5_5+B_2_6+B_5_6,B_5_1+B_2_7+B_5_7,B_5_2+B_2_8+B_5_8,B_5_3+B_2_9+B_5_9,B_5_4+B_2_10+B_5_10],[B_6_5+B_3_6+B_6_6,B_6_1+B_3_7+B_6_7,B_6_2+B_3_8+B_6_8,B_6_3+B_3_9+B_6_9,B_6_4+B_3_10+B_6_10]]),Matrix(5, 4, [[C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_1-A_5_1-A_1_4+A_5_4,A_1_2-A_5_2-A_1_5+A_5_5,A_1_3-A_5_3-A_1_6+A_5_6],[A_2_1-A_6_1-A_2_4+A_6_4,A_2_2-A_6_2-A_2_5+A_6_5,A_2_3-A_6_3-A_2_6+A_6_6],[A_3_1-A_7_1-A_3_4+A_7_4,A_3_2-A_7_2-A_3_5+A_7_5,A_3_3-A_7_3-A_3_6+A_7_6]]),Matrix(3, 6, [[B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16],[B_5_11,B_5_12,B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16],[B_6_11,B_6_12,B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16]]),Matrix(6, 3, [[-C_11_1,-C_11_2,-C_11_3],[-C_6_1-C_12_1,-C_6_2-C_12_2,-C_6_3-C_12_3],[-C_7_1-C_13_1,-C_7_2-C_13_2,-C_7_3-C_13_3],[-C_8_1-C_14_1,-C_8_2-C_14_2,-C_8_3-C_14_3],[-C_9_1-C_15_1,-C_9_2-C_15_2,-C_9_3-C_15_3],[-C_10_1-C_16_1,-C_10_2-C_16_2,-C_10_3-C_16_3]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_1-A_4_7,A_4_2-A_4_8,A_4_3-A_4_9],[A_5_1-A_5_7,A_5_2-A_5_8,A_5_3-A_5_9],[A_6_1-A_6_7,A_6_2-A_6_8,A_6_3-A_6_9],[A_7_1-A_7_7,A_7_2-A_7_8,A_7_3-A_7_9]]),Matrix(3, 5, [[B_1_5,B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4],[B_2_5,B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4],[B_3_5,B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4]]),Matrix(5, 4, [[C_5_4+C_12_4,C_5_5+C_12_5,C_5_6+C_12_6,C_5_7+C_12_7],[C_1_4+C_13_4,C_1_5+C_13_5,C_1_6+C_13_6,C_1_7+C_13_7],[C_2_4+C_14_4,C_2_5+C_14_5,C_2_6+C_14_6,C_2_7+C_14_7],[C_3_4+C_15_4,C_3_5+C_15_5,C_3_6+C_15_6,C_3_7+C_15_7],[C_4_4+C_16_4,C_4_5+C_16_5,C_4_6+C_16_6,C_4_7+C_16_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_1,-A_4_2,-A_4_3],[A_1_1-A_5_1,A_1_2-A_5_2,A_1_3-A_5_3],[A_2_1-A_6_1,A_2_2-A_6_2,A_2_3-A_6_3],[A_3_1-A_7_1,A_3_2-A_7_2,A_3_3-A_7_3]]),Matrix(3, 6, [[-B_1_11-B_4_11,B_1_5-B_1_12-B_4_12,B_1_1-B_1_13-B_4_13,B_1_2-B_1_14-B_4_14,B_1_3-B_1_15-B_4_15,B_1_4-B_1_16-B_4_16],[-B_2_11-B_5_11,B_2_5-B_2_12-B_5_12,B_2_1-B_2_13-B_5_13,B_2_2-B_2_14-B_5_14,B_2_3-B_2_15-B_5_15,B_2_4-B_2_16-B_5_16],[-B_3_11-B_6_11,B_3_5-B_3_12-B_6_12,B_3_1-B_3_13-B_6_13,B_3_2-B_3_14-B_6_14,B_3_3-B_3_15-B_6_15,B_3_4-B_3_16-B_6_16]]),Matrix(6, 4, [[C_11_4,C_11_5,C_11_6,C_11_7],[C_12_4,C_12_5,C_12_6,C_12_7],[C_13_4,C_13_5,C_13_6,C_13_7],[C_14_4,C_14_5,C_14_6,C_14_7],[C_15_4,C_15_5,C_15_6,C_15_7],[C_16_4,C_16_5,C_16_6,C_16_7]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.

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