Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨7×9×13:564⟩

Algorithm type

15⁢X4⁢Y4⁢Z4+X6⁢Y2⁢Z2+2⁢X4⁢Y3⁢Z3+4⁢X4⁢Y2⁢Z4+11⁢X3⁢Y4⁢Z3+6⁢X2⁢Y6⁢Z2+X2⁢Y2⁢Z6+8⁢X5⁢Y2⁢Z2+4⁢X3⁢Y3⁢Z3+X2⁢Y6⁢Z+2⁢X2⁢Y4⁢Z3+X2⁢Y2⁢Z5+2⁢X4⁢Y2⁢Z2+4⁢X3⁢Y3⁢Z2+4⁢X2⁢Y5⁢Z+52⁢X2⁢Y4⁢Z2+14⁢X2⁢Y2⁢Z4+12⁢X⁢Y6⁢Z+2⁢X⁢Y4⁢Z3+2⁢X⁢Y2⁢Z5+X3⁢Y2⁢Z2+11⁢X2⁢Y3⁢Z2+11⁢X2⁢Y2⁢Z3+2⁢X⁢Y5⁢Z+9⁢X⁢Y4⁢Z2+13⁢X3⁢Y2⁢Z+4⁢X2⁢Y3⁢Z+69⁢X2⁢Y2⁢Z2+14⁢X⁢Y4⁢Z+3⁢X⁢Y3⁢Z2+12⁢X⁢Y2⁢Z3+12⁢X3⁢Y⁢Z+6⁢X2⁢Y2⁢Z+6⁢X2⁢Y⁢Z2+21⁢X⁢Y3⁢Z+51⁢X⁢Y2⁢Z2+14⁢X⁢Y⁢Z3+6⁢X2⁢Y⁢Z+56⁢X⁢Y2⁢Z+52⁢X⁢Y⁢Z2+43⁢X⁢Y⁢Z15X4Y4Z4X6Y2Z22X4Y3Z34X4Y2Z411X3Y4Z36X2Y6Z2X2Y2Z68X5Y2Z24X3Y3Z3X2Y6Z2X2Y4Z3X2Y2Z52X4Y2Z24X3Y3Z24X2Y5Z52X2Y4Z214X2Y2Z412XY6Z2XY4Z32XY2Z5X3Y2Z211X2Y3Z211X2Y2Z32XY5Z9XY4Z213X3Y2Z4X2Y3Z69X2Y2Z214XY4Z3XY3Z212XY2Z312X3YZ6X2Y2Z6X2YZ221XY3Z51XY2Z214XYZ36X2YZ56XY2Z52XYZ243XYZ15*X^4*Y^4*Z^4+X^6*Y^2*Z^2+2*X^4*Y^3*Z^3+4*X^4*Y^2*Z^4+11*X^3*Y^4*Z^3+6*X^2*Y^6*Z^2+X^2*Y^2*Z^6+8*X^5*Y^2*Z^2+4*X^3*Y^3*Z^3+X^2*Y^6*Z+2*X^2*Y^4*Z^3+X^2*Y^2*Z^5+2*X^4*Y^2*Z^2+4*X^3*Y^3*Z^2+4*X^2*Y^5*Z+52*X^2*Y^4*Z^2+14*X^2*Y^2*Z^4+12*X*Y^6*Z+2*X*Y^4*Z^3+2*X*Y^2*Z^5+X^3*Y^2*Z^2+11*X^2*Y^3*Z^2+11*X^2*Y^2*Z^3+2*X*Y^5*Z+9*X*Y^4*Z^2+13*X^3*Y^2*Z+4*X^2*Y^3*Z+69*X^2*Y^2*Z^2+14*X*Y^4*Z+3*X*Y^3*Z^2+12*X*Y^2*Z^3+12*X^3*Y*Z+6*X^2*Y^2*Z+6*X^2*Y*Z^2+21*X*Y^3*Z+51*X*Y^2*Z^2+14*X*Y*Z^3+6*X^2*Y*Z+56*X*Y^2*Z+52*X*Y*Z^2+43*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨7×9×13:564⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨7×9×13:564⟩ = ⟨4×3×4:38⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨3×3×5:36⟩ + ⟨3×3×5:36⟩ + ⟨3×3×4:29⟩ + ⟨3×3×4:29⟩ + ⟨4×3×4:38⟩ + ⟨4×3×5:47⟩ + ⟨4×3×4:38⟩ + ⟨4×3×4:38⟩ + ⟨3×3×4:29⟩ + ⟨4×3×4:38⟩ + ⟨3×3×5:36⟩ + ⟨4×3×4:38⟩ + ⟨4×3×5:47⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_1_7C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_2_7C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_3_7C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_4_7C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_5_7C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_6_7C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_7_7C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_8_7C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_9_7C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_10_7C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_11_5C_11_6C_11_7C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_12_5C_12_6C_12_7C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_13_5C_13_6C_13_7=Trace⁡Mul⁡A_4_7A_4_8A_4_9A_5_7A_5_8A_5_9A_6_7A_6_8A_6_9A_7_7A_7_8A_7_9B_1_4+B_7_4+B_7_5B_1_1+B_7_1+B_7_6B_1_2+B_7_2+B_7_7B_1_3+B_7_3+B_7_8B_2_4+B_8_4+B_8_5B_2_1+B_8_1+B_8_6B_2_2+B_8_2+B_8_7B_2_3+B_8_3+B_8_8B_3_4+B_9_4+B_9_5B_3_1+B_9_1+B_9_6B_3_2+B_9_2+B_9_7B_3_3+B_9_3+B_9_8C_4_4C_4_1+C_4_5C_4_2+C_4_6C_4_3+C_4_7C_1_4C_1_1+C_1_5C_1_2+C_1_6C_1_3+C_1_7C_2_4C_2_1+C_2_5C_2_2+C_2_6C_2_3+C_2_7C_3_4C_3_1+C_3_5C_3_2+C_3_6C_3_3+C_3_7+Trace⁡Mul⁡-A_4_7-A_4_8-A_4_9A_1_1-A_5_7A_1_2-A_5_8A_1_3-A_5_9A_2_1-A_6_7A_2_2-A_6_8A_2_3-A_6_9A_3_1-A_7_7A_3_2-A_7_8A_3_3-A_7_9B_7_9B_1_4+B_7_10B_1_1+B_7_11B_1_2+B_7_12B_1_3+B_7_13B_8_9B_2_4+B_8_10B_2_1+B_8_11B_2_2+B_8_12B_2_3+B_8_13B_9_9B_3_4+B_9_10B_3_1+B_9_11B_3_2+B_9_12B_3_3+B_9_13-C_9_4-C_9_5-C_9_6-C_9_7-C_10_4C_4_1-C_10_5C_4_2-C_10_6C_4_3-C_10_7-C_11_4C_1_1-C_11_5C_1_2-C_11_6C_1_3-C_11_7-C_12_4C_2_1-C_12_5C_2_2-C_12_6C_2_3-C_12_7-C_13_4C_3_1-C_13_5C_3_2-C_13_6C_3_3-C_13_7+Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_2_1A_2_2A_2_3A_3_1A_3_2A_3_3-B_1_9-B_7_9B_1_5-B_1_10-B_7_10B_1_6-B_1_11-B_7_11B_1_7-B_1_12-B_7_12B_1_8-B_1_13-B_7_13-B_2_9-B_8_9B_2_5-B_2_10-B_8_10B_2_6-B_2_11-B_8_11B_2_7-B_2_12-B_8_12B_2_8-B_2_13-B_8_13-B_3_9-B_9_9B_3_5-B_3_10-B_9_10B_3_6-B_3_11-B_9_11B_3_7-B_3_12-B_9_12B_3_8-B_3_13-B_9_13-C_9_1-C_9_5-C_9_2-C_9_6-C_9_3-C_9_7-C_10_1-C_10_5-C_10_2-C_10_6-C_10_3-C_10_7-C_11_1-C_11_5-C_11_2-C_11_6-C_11_3-C_11_7-C_12_1-C_12_5-C_12_2-C_12_6-C_12_3-C_12_7-C_13_1-C_13_5-C_13_2-C_13_6-C_13_3-C_13_7+Trace⁡Mul⁡A_1_1-A_1_7A_1_2-A_1_8A_1_3-A_1_9A_2_1-A_2_7A_2_2-A_2_8A_2_3-A_2_9A_3_1-A_3_7A_3_2-A_3_8A_3_3-A_3_9B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13-C_9_1-C_9_2-C_9_3-C_4_1-C_10_1-C_4_2-C_10_2-C_4_3-C_10_3-C_1_1-C_11_1-C_1_2-C_11_2-C_1_3-C_11_3-C_2_1-C_12_1-C_2_2-C_12_2-C_2_3-C_12_3-C_3_1-C_13_1-C_3_2-C_13_2-C_3_3-C_13_3+Trace⁡Mul⁡A_1_7-A_5_7A_1_8-A_5_8A_1_9-A_5_9A_2_7-A_6_7A_2_8-A_6_8A_2_9-A_6_9A_3_7-A_7_7A_3_8-A_7_8A_3_9-A_7_9B_7_4+B_4_4-B_7_10B_4_1+B_7_1-B_7_11B_4_2+B_7_2-B_7_12B_4_3+B_7_3-B_7_13B_5_4+B_8_4-B_8_10B_5_1+B_8_1-B_8_11B_5_2+B_8_2-B_8_12B_5_3+B_8_3-B_8_13B_6_4+B_9_4-B_9_10B_6_1+B_9_1-B_9_11B_6_2+B_9_2-B_9_12B_6_3+B_9_3-B_9_13C_4_1C_4_2C_4_3C_1_1C_1_2C_1_3C_2_1C_2_2C_2_3C_3_1C_3_2C_3_3+Trace⁡Mul⁡A_1_4A_1_5A_1_6A_2_4A_2_5A_2_6A_3_4A_3_5A_3_6B_7_5+B_4_5-B_4_10B_4_6+B_7_6-B_4_11B_7_7+B_4_7-B_4_12B_4_8+B_7_8-B_4_13B_5_5+B_8_5-B_5_10B_5_6+B_8_6-B_5_11B_5_7+B_8_7-B_5_12B_5_8+B_8_8-B_5_13B_6_5+B_9_5-B_6_10B_6_6+B_9_6-B_6_11B_6_7+B_9_7-B_6_12B_6_8+B_9_8-B_6_13C_5_1C_5_2C_5_3C_6_1C_6_2C_6_3C_7_1C_7_2C_7_3C_8_1C_8_2C_8_3+Trace⁡Mul⁡A_4_7A_4_8A_4_9A_1_4-A_1_7+A_5_7A_1_5-A_1_8+A_5_8A_1_6-A_1_9+A_5_9A_2_4-A_2_7+A_6_7A_2_5-A_2_8+A_6_8A_2_6-A_2_9+A_6_9A_3_4-A_3_7+A_7_7A_3_5-A_3_8+A_7_8A_3_6-A_3_9+A_7_9B_4_4-B_7_5B_4_1-B_7_6B_4_2-B_7_7B_4_3-B_7_8B_5_4-B_8_5B_5_1-B_8_6B_5_2-B_8_7B_5_3-B_8_8B_6_4-B_9_5B_6_1-B_9_6B_6_2-B_9_7B_6_3-B_9_8-C_5_4+C_4_4C_4_1+C_4_5-C_5_5C_4_2+C_4_6-C_5_6C_4_3+C_4_7-C_5_7C_1_4-C_6_4C_1_1+C_1_5-C_6_5C_1_2+C_1_6-C_6_6C_1_3+C_1_7-C_6_7C_2_4-C_7_4C_2_1+C_2_5-C_7_5C_2_2+C_2_6-C_7_6C_2_3+C_2_7-C_7_7C_3_4-C_8_4C_3_1+C_3_5-C_8_5C_3_2+C_3_6-C_8_6C_3_3+C_3_7-C_8_7+Trace⁡Mul⁡-A_4_1+A_4_4-A_4_2+A_4_5-A_4_3+A_4_6A_1_1-A_5_1+A_5_4A_1_2-A_5_2+A_5_5A_1_3-A_5_3+A_5_6A_2_1-A_6_1+A_6_4A_2_2-A_6_2+A_6_5A_2_3-A_6_3+A_6_6A_3_1-A_7_1+A_7_4A_3_2-A_7_2+A_7_5A_3_3-A_7_3+A_7_6B_4_9B_1_5+B_4_10B_4_11+B_1_6B_1_7+B_4_12B_1_8+B_4_13B_5_9B_2_5+B_5_10B_5_11+B_2_6B_2_7+B_5_12B_2_8+B_5_13B_6_9B_3_5+B_6_10B_6_11+B_3_6B_3_7+B_6_12B_3_8+B_6_13C_9_4C_9_1+C_9_5C_9_2+C_9_6C_9_3+C_9_7C_10_4C_5_1+C_10_1+C_10_5C_5_2+C_10_2+C_10_6C_5_3+C_10_3+C_10_7C_11_4C_6_1+C_11_1+C_11_5C_6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[[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6,C_1_7],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6,C_2_7],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6,C_3_7],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6,C_4_7],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5,C_11_6,C_11_7],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5,C_12_6,C_12_7],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4,C_13_5,C_13_6,C_13_7]]))) = Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_5_7,A_5_8,A_5_9],[A_6_7,A_6_8,A_6_9],[A_7_7,A_7_8,A_7_9]]),Matrix(3, 4, [[B_1_4+B_7_4+B_7_5,B_1_1+B_7_1+B_7_6,B_1_2+B_7_2+B_7_7,B_1_3+B_7_3+B_7_8],[B_2_4+B_8_4+B_8_5,B_2_1+B_8_1+B_8_6,B_2_2+B_8_2+B_8_7,B_2_3+B_8_3+B_8_8],[B_3_4+B_9_4+B_9_5,B_3_1+B_9_1+B_9_6,B_3_2+B_9_2+B_9_7,B_3_3+B_9_3+B_9_8]]),Matrix(4, 4, [[C_4_4,C_4_1+C_4_5,C_4_2+C_4_6,C_4_3+C_4_7],[C_1_4,C_1_1+C_1_5,C_1_2+C_1_6,C_1_3+C_1_7],[C_2_4,C_2_1+C_2_5,C_2_2+C_2_6,C_2_3+C_2_7],[C_3_4,C_3_1+C_3_5,C_3_2+C_3_6,C_3_3+C_3_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_7,-A_4_8,-A_4_9],[A_1_1-A_5_7,A_1_2-A_5_8,A_1_3-A_5_9],[A_2_1-A_6_7,A_2_2-A_6_8,A_2_3-A_6_9],[A_3_1-A_7_7,A_3_2-A_7_8,A_3_3-A_7_9]]),Matrix(3, 5, [[B_7_9,B_1_4+B_7_10,B_1_1+B_7_11,B_1_2+B_7_12,B_1_3+B_7_13],[B_8_9,B_2_4+B_8_10,B_2_1+B_8_11,B_2_2+B_8_12,B_2_3+B_8_13],[B_9_9,B_3_4+B_9_10,B_3_1+B_9_11,B_3_2+B_9_12,B_3_3+B_9_13]]),Matrix(5, 4, [[-C_9_4,-C_9_5,-C_9_6,-C_9_7],[-C_10_4,C_4_1-C_10_5,C_4_2-C_10_6,C_4_3-C_10_7],[-C_11_4,C_1_1-C_11_5,C_1_2-C_11_6,C_1_3-C_11_7],[-C_12_4,C_2_1-C_12_5,C_2_2-C_12_6,C_2_3-C_12_7],[-C_13_4,C_3_1-C_13_5,C_3_2-C_13_6,C_3_3-C_13_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3],[A_2_1,A_2_2,A_2_3],[A_3_1,A_3_2,A_3_3]]),Matrix(3, 5, [[-B_1_9-B_7_9,B_1_5-B_1_10-B_7_10,B_1_6-B_1_11-B_7_11,B_1_7-B_1_12-B_7_12,B_1_8-B_1_13-B_7_13],[-B_2_9-B_8_9,B_2_5-B_2_10-B_8_10,B_2_6-B_2_11-B_8_11,B_2_7-B_2_12-B_8_12,B_2_8-B_2_13-B_8_13],[-B_3_9-B_9_9,B_3_5-B_3_10-B_9_10,B_3_6-B_3_11-B_9_11,B_3_7-B_3_12-B_9_12,B_3_8-B_3_13-B_9_13]]),Matrix(5, 3, [[-C_9_1-C_9_5,-C_9_2-C_9_6,-C_9_3-C_9_7],[-C_10_1-C_10_5,-C_10_2-C_10_6,-C_10_3-C_10_7],[-C_11_1-C_11_5,-C_11_2-C_11_6,-C_11_3-C_11_7],[-C_12_1-C_12_5,-C_12_2-C_12_6,-C_12_3-C_12_7],[-C_13_1-C_13_5,-C_13_2-C_13_6,-C_13_3-C_13_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_1-A_1_7,A_1_2-A_1_8,A_1_3-A_1_9],[A_2_1-A_2_7,A_2_2-A_2_8,A_2_3-A_2_9],[A_3_1-A_3_7,A_3_2-A_3_8,A_3_3-A_3_9]]),Matrix(3, 5, [[B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12,B_7_13],[B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12,B_8_13],[B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12,B_9_13]]),Matrix(5, 3, [[-C_9_1,-C_9_2,-C_9_3],[-C_4_1-C_10_1,-C_4_2-C_10_2,-C_4_3-C_10_3],[-C_1_1-C_11_1,-C_1_2-C_11_2,-C_1_3-C_11_3],[-C_2_1-C_12_1,-C_2_2-C_12_2,-C_2_3-C_12_3],[-C_3_1-C_13_1,-C_3_2-C_13_2,-C_3_3-C_13_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_7-A_5_7,A_1_8-A_5_8,A_1_9-A_5_9],[A_2_7-A_6_7,A_2_8-A_6_8,A_2_9-A_6_9],[A_3_7-A_7_7,A_3_8-A_7_8,A_3_9-A_7_9]]),Matrix(3, 4, [[B_7_4+B_4_4-B_7_10,B_4_1+B_7_1-B_7_11,B_4_2+B_7_2-B_7_12,B_4_3+B_7_3-B_7_13],[B_5_4+B_8_4-B_8_10,B_5_1+B_8_1-B_8_11,B_5_2+B_8_2-B_8_12,B_5_3+B_8_3-B_8_13],[B_6_4+B_9_4-B_9_10,B_6_1+B_9_1-B_9_11,B_6_2+B_9_2-B_9_12,B_6_3+B_9_3-B_9_13]]),Matrix(4, 3, [[C_4_1,C_4_2,C_4_3],[C_1_1,C_1_2,C_1_3],[C_2_1,C_2_2,C_2_3],[C_3_1,C_3_2,C_3_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_4,A_1_5,A_1_6],[A_2_4,A_2_5,A_2_6],[A_3_4,A_3_5,A_3_6]]),Matrix(3, 4, [[B_7_5+B_4_5-B_4_10,B_4_6+B_7_6-B_4_11,B_7_7+B_4_7-B_4_12,B_4_8+B_7_8-B_4_13],[B_5_5+B_8_5-B_5_10,B_5_6+B_8_6-B_5_11,B_5_7+B_8_7-B_5_12,B_5_8+B_8_8-B_5_13],[B_6_5+B_9_5-B_6_10,B_6_6+B_9_6-B_6_11,B_6_7+B_9_7-B_6_12,B_6_8+B_9_8-B_6_13]]),Matrix(4, 3, [[C_5_1,C_5_2,C_5_3],[C_6_1,C_6_2,C_6_3],[C_7_1,C_7_2,C_7_3],[C_8_1,C_8_2,C_8_3]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_1_4-A_1_7+A_5_7,A_1_5-A_1_8+A_5_8,A_1_6-A_1_9+A_5_9],[A_2_4-A_2_7+A_6_7,A_2_5-A_2_8+A_6_8,A_2_6-A_2_9+A_6_9],[A_3_4-A_3_7+A_7_7,A_3_5-A_3_8+A_7_8,A_3_6-A_3_9+A_7_9]]),Matrix(3, 4, [[B_4_4-B_7_5,B_4_1-B_7_6,B_4_2-B_7_7,B_4_3-B_7_8],[B_5_4-B_8_5,B_5_1-B_8_6,B_5_2-B_8_7,B_5_3-B_8_8],[B_6_4-B_9_5,B_6_1-B_9_6,B_6_2-B_9_7,B_6_3-B_9_8]]),Matrix(4, 4, [[-C_5_4+C_4_4,C_4_1+C_4_5-C_5_5,C_4_2+C_4_6-C_5_6,C_4_3+C_4_7-C_5_7],[C_1_4-C_6_4,C_1_1+C_1_5-C_6_5,C_1_2+C_1_6-C_6_6,C_1_3+C_1_7-C_6_7],[C_2_4-C_7_4,C_2_1+C_2_5-C_7_5,C_2_2+C_2_6-C_7_6,C_2_3+C_2_7-C_7_7],[C_3_4-C_8_4,C_3_1+C_3_5-C_8_5,C_3_2+C_3_6-C_8_6,C_3_3+C_3_7-C_8_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_1+A_4_4,-A_4_2+A_4_5,-A_4_3+A_4_6],[A_1_1-A_5_1+A_5_4,A_1_2-A_5_2+A_5_5,A_1_3-A_5_3+A_5_6],[A_2_1-A_6_1+A_6_4,A_2_2-A_6_2+A_6_5,A_2_3-A_6_3+A_6_6],[A_3_1-A_7_1+A_7_4,A_3_2-A_7_2+A_7_5,A_3_3-A_7_3+A_7_6]]),Matrix(3, 5, [[B_4_9,B_1_5+B_4_10,B_4_11+B_1_6,B_1_7+B_4_12,B_1_8+B_4_13],[B_5_9,B_2_5+B_5_10,B_5_11+B_2_6,B_2_7+B_5_12,B_2_8+B_5_13],[B_6_9,B_3_5+B_6_10,B_6_11+B_3_6,B_3_7+B_6_12,B_3_8+B_6_13]]),Matrix(5, 4, [[C_9_4,C_9_1+C_9_5,C_9_2+C_9_6,C_9_3+C_9_7],[C_10_4,C_5_1+C_10_1+C_10_5,C_5_2+C_10_2+C_10_6,C_5_3+C_10_3+C_10_7],[C_11_4,C_6_1+C_11_1+C_11_5,C_6_2+C_11_2+C_11_6,C_6_3+C_11_3+C_11_7],[C_12_4,C_7_1+C_12_1+C_12_5,C_7_2+C_12_2+C_12_6,C_7_3+C_12_3+C_12_7],[C_13_4,C_8_1+C_13_1+C_13_5,C_8_2+C_13_2+C_13_6,C_8_3+C_13_3+C_13_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_1-A_4_4,A_4_2-A_4_5,A_4_3-A_4_6],[A_5_1-A_5_4,A_5_2-A_5_5,A_5_3-A_5_6],[A_6_1-A_6_4,A_6_2-A_6_5,A_6_3-A_6_6],[A_7_1-A_7_4,A_7_2-A_7_5,A_7_3-A_7_6]]),Matrix(3, 4, [[B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8],[B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8],[B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8]]),Matrix(4, 4, [[C_5_4+C_10_4,C_5_1+C_10_1+C_5_5+C_10_5,C_5_2+C_10_2+C_5_6+C_10_6,C_5_3+C_10_3+C_5_7+C_10_7],[C_6_4+C_11_4,C_6_1+C_11_1+C_6_5+C_11_5,C_6_2+C_11_2+C_6_6+C_11_6,C_6_3+C_11_3+C_6_7+C_11_7],[C_7_4+C_12_4,C_7_1+C_12_1+C_7_5+C_12_5,C_7_2+C_12_2+C_7_6+C_12_6,C_7_3+C_12_3+C_7_7+C_12_7],[C_8_4+C_13_4,C_8_1+C_13_1+C_8_5+C_13_5,C_8_2+C_13_2+C_8_6+C_13_6,C_8_3+C_13_3+C_8_7+C_13_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_4+A_4_7,-A_4_5+A_4_8,-A_4_6+A_4_9],[A_1_4-A_5_4-A_1_7+A_5_7,A_1_5-A_5_5-A_1_8+A_5_8,A_1_6-A_5_6-A_1_9+A_5_9],[A_2_4-A_6_4-A_2_7+A_6_7,A_2_5-A_6_5-A_2_8+A_6_8,A_2_6-A_6_6-A_2_9+A_6_9],[A_3_4-A_7_4-A_3_7+A_7_7,A_3_5-A_7_5-A_3_8+A_7_8,A_3_6-A_7_6-A_3_9+A_7_9]]),Matrix(3, 4, [[B_4_4,B_4_1,B_4_2,B_4_3],[B_5_4,B_5_1,B_5_2,B_5_3],[B_6_4,B_6_1,B_6_2,B_6_3]]),Matrix(4, 4, [[-C_4_4+C_5_4,-C_4_5+C_5_5,-C_4_6+C_5_6,-C_4_7+C_5_7],[-C_1_4+C_6_4,-C_1_5+C_6_5,-C_1_6+C_6_6,-C_1_7+C_6_7],[-C_2_4+C_7_4,-C_2_5+C_7_5,-C_2_6+C_7_6,-C_2_7+C_7_7],[-C_3_4+C_8_4,-C_3_5+C_8_5,-C_3_6+C_8_6,-C_3_7+C_8_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_4-A_1_7,A_1_5-A_1_8,A_1_6-A_1_9],[A_2_4-A_2_7,A_2_5-A_2_8,A_2_6-A_2_9],[A_3_4-A_3_7,A_3_5-A_3_8,A_3_6-A_3_9]]),Matrix(3, 4, [[B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8],[B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8],[B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8]]),Matrix(4, 3, [[C_4_1-C_5_1+C_4_5-C_5_5,C_4_2-C_5_2+C_4_6-C_5_6,C_4_3-C_5_3+C_4_7-C_5_7],[C_1_1-C_6_1+C_1_5-C_6_5,C_1_2-C_6_2+C_1_6-C_6_6,C_1_3-C_6_3+C_1_7-C_6_7],[C_2_1-C_7_1+C_2_5-C_7_5,C_2_2-C_7_2+C_2_6-C_7_6,C_2_3-C_7_3+C_2_7-C_7_7],[C_3_1-C_8_1+C_3_5-C_8_5,C_3_2-C_8_2+C_3_6-C_8_6,C_3_3-C_8_3+C_3_7-C_8_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_4,A_4_5,A_4_6],[A_5_4,A_5_5,A_5_6],[A_6_4,A_6_5,A_6_6],[A_7_4,A_7_5,A_7_6]]),Matrix(3, 4, [[B_4_4+B_1_5+B_4_5,B_4_1+B_1_6+B_4_6,B_4_2+B_1_7+B_4_7,B_4_3+B_1_8+B_4_8],[B_5_4+B_2_5+B_5_5,B_5_1+B_2_6+B_5_6,B_5_2+B_2_7+B_5_7,B_5_3+B_2_8+B_5_8],[B_6_4+B_3_5+B_6_5,B_6_1+B_3_6+B_6_6,B_6_2+B_3_7+B_6_7,B_6_3+B_3_8+B_6_8]]),Matrix(4, 4, [[C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7],[C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_1-A_5_1-A_1_4+A_5_4,A_1_2-A_5_2-A_1_5+A_5_5,A_1_3-A_5_3-A_1_6+A_5_6],[A_2_1-A_6_1-A_2_4+A_6_4,A_2_2-A_6_2-A_2_5+A_6_5,A_2_3-A_6_3-A_2_6+A_6_6],[A_3_1-A_7_1-A_3_4+A_7_4,A_3_2-A_7_2-A_3_5+A_7_5,A_3_3-A_7_3-A_3_6+A_7_6]]),Matrix(3, 5, [[B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13],[B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12,B_5_13],[B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12,B_6_13]]),Matrix(5, 3, [[-C_9_1,-C_9_2,-C_9_3],[-C_5_1-C_10_1,-C_5_2-C_10_2,-C_5_3-C_10_3],[-C_6_1-C_11_1,-C_6_2-C_11_2,-C_6_3-C_11_3],[-C_7_1-C_12_1,-C_7_2-C_12_2,-C_7_3-C_12_3],[-C_8_1-C_13_1,-C_8_2-C_13_2,-C_8_3-C_13_3]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_4_1-A_4_7,A_4_2-A_4_8,A_4_3-A_4_9],[A_5_1-A_5_7,A_5_2-A_5_8,A_5_3-A_5_9],[A_6_1-A_6_7,A_6_2-A_6_8,A_6_3-A_6_9],[A_7_1-A_7_7,A_7_2-A_7_8,A_7_3-A_7_9]]),Matrix(3, 4, [[B_1_4,B_1_1,B_1_2,B_1_3],[B_2_4,B_2_1,B_2_2,B_2_3],[B_3_4,B_3_1,B_3_2,B_3_3]]),Matrix(4, 4, [[C_4_4+C_10_4,C_4_5+C_10_5,C_4_6+C_10_6,C_4_7+C_10_7],[C_1_4+C_11_4,C_1_5+C_11_5,C_1_6+C_11_6,C_1_7+C_11_7],[C_2_4+C_12_4,C_2_5+C_12_5,C_2_6+C_12_6,C_2_7+C_12_7],[C_3_4+C_13_4,C_3_5+C_13_5,C_3_6+C_13_6,C_3_7+C_13_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[-A_4_1,-A_4_2,-A_4_3],[A_1_1-A_5_1,A_1_2-A_5_2,A_1_3-A_5_3],[A_2_1-A_6_1,A_2_2-A_6_2,A_2_3-A_6_3],[A_3_1-A_7_1,A_3_2-A_7_2,A_3_3-A_7_3]]),Matrix(3, 5, [[-B_1_9-B_4_9,B_1_4-B_1_10-B_4_10,B_1_1-B_1_11-B_4_11,B_1_2-B_1_12-B_4_12,B_1_3-B_1_13-B_4_13],[-B_2_9-B_5_9,B_2_4-B_2_10-B_5_10,B_2_1-B_2_11-B_5_11,B_2_2-B_2_12-B_5_12,B_2_3-B_2_13-B_5_13],[-B_3_9-B_6_9,B_3_4-B_3_10-B_6_10,B_3_1-B_3_11-B_6_11,B_3_2-B_3_12-B_6_12,B_3_3-B_3_13-B_6_13]]),Matrix(5, 4, [[C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7],[C_11_4,C_11_5,C_11_6,C_11_7],[C_12_4,C_12_5,C_12_6,C_12_7],[C_13_4,C_13_5,C_13_6,C_13_7]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.

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