Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨7×8×10:389⟩

Algorithm type

X7Y8Z7+X3Y6Z4+11X4Y4Z4+2X4Y4Z3+3X3Y4Z4+X4Y4Z2+X4Y2Z4+X3Y4Z3+2X2Y6Z2+X3Y2Z4+X2Y2Z5+2X4Y2Z2+8X2Y4Z2+2X2Y2Z4+X3Y2Z2+3X2Y3Z2+104X2Y2Z2+9X3YZ+6X2Y2Z+6X2YZ2+12XY3Z+10XY2Z2+15XYZ3+18X2YZ+48XY2Z+24XYZ2+96XYZX7Y8Z7X3Y6Z411X4Y4Z42X4Y4Z33X3Y4Z4X4Y4Z2X4Y2Z4X3Y4Z32X2Y6Z2X3Y2Z4X2Y2Z52X4Y2Z28X2Y4Z22X2Y2Z4X3Y2Z23X2Y3Z2104X2Y2Z29X3YZ6X2Y2Z6X2YZ212XY3Z10XY2Z215XYZ318X2YZ48XY2Z24XYZ296XYZX^7*Y^8*Z^7+X^3*Y^6*Z^4+11*X^4*Y^4*Z^4+2*X^4*Y^4*Z^3+3*X^3*Y^4*Z^4+X^4*Y^4*Z^2+X^4*Y^2*Z^4+X^3*Y^4*Z^3+2*X^2*Y^6*Z^2+X^3*Y^2*Z^4+X^2*Y^2*Z^5+2*X^4*Y^2*Z^2+8*X^2*Y^4*Z^2+2*X^2*Y^2*Z^4+X^3*Y^2*Z^2+3*X^2*Y^3*Z^2+104*X^2*Y^2*Z^2+9*X^3*Y*Z+6*X^2*Y^2*Z+6*X^2*Y*Z^2+12*X*Y^3*Z+10*X*Y^2*Z^2+15*X*Y*Z^3+18*X^2*Y*Z+48*X*Y^2*Z+24*X*Y*Z^2+96*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨7×8×10:389⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨7×8×10:389⟩ = ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨3×4×5:47⟩ + ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨3×4×5:47⟩ + ⟨3×4×5:47⟩ + ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨4×4×5:62⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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8, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7,A_1_8],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7,A_2_8],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7,A_3_8],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8],[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8],[A_6_1,A_6_2,A_6_3,A_6_4,A_6_5,A_6_6,A_6_7,A_6_8],[A_7_1,A_7_2,A_7_3,A_7_4,A_7_5,A_7_6,A_7_7,A_7_8]]),Matrix(8, 10, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10]]),Matrix(10, 7, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6,C_1_7],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6,C_2_7],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6,C_3_7],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6,C_4_7],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7]]))) = Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8],[A_1_1+A_5_5,A_1_2+A_5_6,A_1_3+A_5_7,A_1_4+A_5_8],[A_2_1+A_6_5,A_2_2+A_6_6,A_2_3+A_6_7,A_2_4+A_6_8],[A_3_1+A_7_5,A_3_2+A_7_6,A_3_3+A_7_7,A_3_4+A_7_8]]),Matrix(4, 5, [[B_1_1+B_5_6,B_1_2+B_5_7,B_1_3+B_5_8,B_1_4+B_5_9,B_1_5+B_5_10],[B_2_1+B_6_6,B_2_2+B_6_7,B_2_3+B_6_8,B_2_4+B_6_9,B_2_5+B_6_10],[B_3_1+B_7_6,B_3_2+B_7_7,B_3_3+B_7_8,B_3_4+B_7_9,B_3_5+B_7_10],[B_4_1+B_8_6,B_4_2+B_8_7,B_4_3+B_8_8,B_4_4+B_8_9,B_4_5+B_8_10]]),Matrix(5, 4, [[C_6_4,C_1_1+C_6_5,C_1_2+C_6_6,C_1_3+C_6_7],[C_7_4,C_2_1+C_7_5,C_2_2+C_7_6,C_2_3+C_7_7],[C_8_4,C_3_1+C_8_5,C_3_2+C_8_6,C_3_3+C_8_7],[C_9_4,C_4_1+C_9_5,C_4_2+C_9_6,C_4_3+C_9_7],[C_10_4,C_5_1+C_10_5,C_5_2+C_10_6,C_5_3+C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 4, [[A_1_5-A_5_5,A_1_6-A_5_6,A_1_7-A_5_7,A_1_8-A_5_8],[A_2_5-A_6_5,A_2_6-A_6_6,A_2_7-A_6_7,A_2_8-A_6_8],[A_3_5-A_7_5,A_3_6-A_7_6,A_3_7-A_7_7,A_3_8-A_7_8]]),Matrix(4, 5, [[B_5_1+B_5_6,B_5_2+B_5_7,B_5_3+B_5_8,B_5_4+B_5_9,B_5_5+B_5_10],[B_6_1+B_6_6,B_6_2+B_6_7,B_6_3+B_6_8,B_6_4+B_6_9,B_6_5+B_6_10],[B_7_1+B_7_6,B_7_2+B_7_7,B_7_3+B_7_8,B_7_4+B_7_9,B_7_5+B_7_10],[B_8_1+B_8_6,B_8_2+B_8_7,B_8_3+B_8_8,B_8_4+B_8_9,B_8_5+B_8_10]]),Matrix(5, 3, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3],[C_2_1,C_2_2,C_2_3],[C_3_1,C_3_2,C_3_3],[C_4_1,C_4_2,C_4_3],[C_5_1,C_5_2,C_5_3]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4],[-A_1_1+A_5_1,-A_1_2+A_5_2,-A_1_3+A_5_3,-A_1_4+A_5_4],[-A_2_1+A_6_1,-A_2_2+A_6_2,-A_2_3+A_6_3,-A_2_4+A_6_4],[-A_3_1+A_7_1,-A_3_2+A_7_2,-A_3_3+A_7_3,-A_3_4+A_7_4]]),Matrix(4, 5, [[B_1_1+B_1_6,B_1_2+B_1_7,B_1_3+B_1_8,B_1_4+B_1_9,B_1_5+B_1_10],[B_2_1+B_2_6,B_2_2+B_2_7,B_2_3+B_2_8,B_2_4+B_2_9,B_2_5+B_2_10],[B_3_1+B_3_6,B_3_2+B_3_7,B_3_3+B_3_8,B_3_4+B_3_9,B_3_5+B_3_10],[B_4_1+B_4_6,B_4_2+B_4_7,B_4_3+B_4_8,B_4_4+B_4_9,B_4_5+B_4_10]]),Matrix(5, 4, [[C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 4, [[A_1_1+A_1_5,A_1_2+A_1_6,A_1_3+A_1_7,A_1_4+A_1_8],[A_2_1+A_2_5,A_2_2+A_2_6,A_2_3+A_2_7,A_2_4+A_2_8],[A_3_1+A_3_5,A_3_2+A_3_6,A_3_3+A_3_7,A_3_4+A_3_8]]),Matrix(4, 5, [[B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10],[B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10],[B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10],[B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10]]),Matrix(5, 3, [[-C_1_1+C_6_1,-C_1_2+C_6_2,-C_1_3+C_6_3],[-C_2_1+C_7_1,-C_2_2+C_7_2,-C_2_3+C_7_3],[-C_3_1+C_8_1,-C_3_2+C_8_2,-C_3_3+C_8_3],[-C_4_1+C_9_1,-C_4_2+C_9_2,-C_4_3+C_9_3],[-C_5_1+C_10_1,-C_5_2+C_10_2,-C_5_3+C_10_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 4, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4]]),Matrix(4, 5, [[B_1_6-B_5_6,B_1_7-B_5_7,B_1_8-B_5_8,B_1_9-B_5_9,B_1_10-B_5_10],[B_2_6-B_6_6,B_2_7-B_6_7,B_2_8-B_6_8,B_2_9-B_6_9,B_2_10-B_6_10],[B_3_6-B_7_6,B_3_7-B_7_7,B_3_8-B_7_8,B_3_9-B_7_9,B_3_10-B_7_10],[B_4_6-B_8_6,B_4_7-B_8_7,B_4_8-B_8_8,B_4_9-B_8_9,B_4_10-B_8_10]]),Matrix(5, 3, [[C_6_1+C_6_5,C_6_2+C_6_6,C_6_3+C_6_7],[C_7_1+C_7_5,C_7_2+C_7_6,C_7_3+C_7_7],[C_8_1+C_8_5,C_8_2+C_8_6,C_8_3+C_8_7],[C_9_1+C_9_5,C_9_2+C_9_6,C_9_3+C_9_7],[C_10_1+C_10_5,C_10_2+C_10_6,C_10_3+C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8],[A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8],[A_6_5,A_6_6,A_6_7,A_6_8],[A_7_5,A_7_6,A_7_7,A_7_8]]),Matrix(4, 5, [[-B_1_1+B_5_1,-B_1_2+B_5_2,B_5_3-B_1_3,-B_1_4+B_5_4,-B_1_5+B_5_5],[-B_2_1+B_6_1,-B_2_2+B_6_2,-B_2_3+B_6_3,B_6_4-B_2_4,-B_2_5+B_6_5],[-B_3_1+B_7_1,-B_3_2+B_7_2,-B_3_3+B_7_3,B_7_4-B_3_4,-B_3_5+B_7_5],[-B_4_1+B_8_1,-B_4_2+B_8_2,-B_4_3+B_8_3,-B_4_4+B_8_4,-B_4_5+B_8_5]]),Matrix(5, 4, [[C_1_4,C_1_1+C_1_5,C_1_2+C_1_6,C_1_3+C_1_7],[C_2_4,C_2_1+C_2_5,C_2_2+C_2_6,C_2_3+C_2_7],[C_3_4,C_3_1+C_3_5,C_3_2+C_3_6,C_3_3+C_3_7],[C_4_4,C_4_1+C_4_5,C_4_2+C_4_6,C_4_3+C_4_7],[C_5_4,C_5_1+C_5_5,C_5_2+C_5_6,C_5_3+C_5_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_4_1+A_4_5,A_4_2+A_4_6,A_4_3+A_4_7,A_4_4+A_4_8],[A_5_1+A_5_5,A_5_2+A_5_6,A_5_3+A_5_7,A_5_4+A_5_8],[A_6_1+A_6_5,A_6_2+A_6_6,A_6_3+A_6_7,A_6_4+A_6_8],[A_7_1+A_7_5,A_7_2+A_7_6,A_7_3+A_7_7,A_7_4+A_7_8]]),Matrix(4, 5, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5]]),Matrix(5, 4, [[C_1_4-C_6_4,C_1_5-C_6_5,C_1_6-C_6_6,C_1_7-C_6_7],[C_2_4-C_7_4,C_2_5-C_7_5,C_2_6-C_7_6,C_2_7-C_7_7],[C_3_4-C_8_4,C_3_5-C_8_5,C_3_6-C_8_6,C_3_7-C_8_7],[C_4_4-C_9_4,C_4_5-C_9_5,C_4_6-C_9_6,C_4_7-C_9_7],[C_5_4-C_10_4,C_5_5-C_10_5,C_5_6-C_10_6,C_5_7-C_10_7]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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