Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨7×7×21:717⟩

Algorithm type

2X5Y7Z6+X5Y7Z5+X4Y7Z5+13X4Y4Z4+X4Y4Z3+6X3Y4Z4+3X2Y7Z2+2X4Y3Z3+11X3Y4Z3+4X3Y3Z4+X2Y4Z4+XY7Z2+2X3Y3Z3+X4Y2Z2+48X2Y3Z3+2X5YZ+2X4YZ2+9X3Y2Z2+4X2Y3Z2+4X2Y2Z3+72XY3Z3+X4YZ+2X3Y2Z+174X2Y2Z2+3X2YZ3+8XY4Z+12X3YZ+3X2Y2Z+3X2YZ2+5XY3Z+9XY2Z2+2XYZ3+X2YZ+40XY2Z+41XYZ2+223XYZ2X5Y7Z6X5Y7Z5X4Y7Z513X4Y4Z4X4Y4Z36X3Y4Z43X2Y7Z22X4Y3Z311X3Y4Z34X3Y3Z4X2Y4Z4XY7Z22X3Y3Z3X4Y2Z248X2Y3Z32X5YZ2X4YZ29X3Y2Z24X2Y3Z24X2Y2Z372XY3Z3X4YZ2X3Y2Z174X2Y2Z23X2YZ38XY4Z12X3YZ3X2Y2Z3X2YZ25XY3Z9XY2Z22XYZ3X2YZ40XY2Z41XYZ2223XYZ2*X^5*Y^7*Z^6+X^5*Y^7*Z^5+X^4*Y^7*Z^5+13*X^4*Y^4*Z^4+X^4*Y^4*Z^3+6*X^3*Y^4*Z^4+3*X^2*Y^7*Z^2+2*X^4*Y^3*Z^3+11*X^3*Y^4*Z^3+4*X^3*Y^3*Z^4+X^2*Y^4*Z^4+X*Y^7*Z^2+2*X^3*Y^3*Z^3+X^4*Y^2*Z^2+48*X^2*Y^3*Z^3+2*X^5*Y*Z+2*X^4*Y*Z^2+9*X^3*Y^2*Z^2+4*X^2*Y^3*Z^2+4*X^2*Y^2*Z^3+72*X*Y^3*Z^3+X^4*Y*Z+2*X^3*Y^2*Z+174*X^2*Y^2*Z^2+3*X^2*Y*Z^3+8*X*Y^4*Z+12*X^3*Y*Z+3*X^2*Y^2*Z+3*X^2*Y*Z^2+5*X*Y^3*Z+9*X*Y^2*Z^2+2*X*Y*Z^3+X^2*Y*Z+40*X*Y^2*Z+41*X*Y*Z^2+223*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨7×7×21:717⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨7×7×21:717⟩ = ⟨4×4×9:104⟩ + ⟨4×4×9:104⟩ + ⟨3×3×12:80⟩ + ⟨4×3×12:112⟩ + ⟨3×3×9:63⟩ + ⟨3×4×12:112⟩ + ⟨4×4×12:142⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_5_20B_5_21B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_19B_6_20B_6_21B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_19B_7_20B_7_21C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_1_7C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_2_7C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_3_7C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_4_7C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_5_7C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_6_7C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_7_7C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_8_7C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_9_7C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_10_7C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_11_5C_11_6C_11_7C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_12_5C_12_6C_12_7C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_13_5C_13_6C_13_7C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_14_5C_14_6C_14_7C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_15_5C_15_6C_15_7C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_16_5C_16_6C_16_7C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_17_5C_17_6C_17_7C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_18_5C_18_6C_18_7C_19_1C_19_2C_19_3C_19_4C_19_5C_19_6C_19_7C_20_1C_20_2C_20_3C_20_4C_20_5C_20_6C_20_7C_21_1C_21_2C_21_3C_21_4C_21_5C_21_6C_21_7=TraceMulA_1_1A_1_2-A_1_5A_1_3-A_1_6A_1_4-A_1_7A_2_1A_2_2-A_2_5A_2_3-A_2_6A_2_4-A_2_7A_3_1A_3_2-A_3_5-A_3_6+A_3_3A_3_4-A_3_7A_4_1A_4_2-A_4_5A_4_3-A_4_6A_4_4-A_4_7B_1_1-B_1_14B_1_2-B_1_15B_1_3-B_1_16B_1_4-B_1_17B_1_5-B_1_18B_1_6-B_1_8B_1_7-B_1_9B_1_19-B_1_20B_1_10-B_1_21B_2_1-B_2_14B_2_2-B_2_15B_2_3-B_2_16B_2_4-B_2_17B_2_5-B_2_18-B_2_8+B_2_6B_2_7-B_2_9B_2_19-B_2_20B_2_10-B_2_21B_3_1-B_3_14B_3_2-B_3_15B_3_3-B_3_16B_3_4-B_3_17B_3_5-B_3_18B_3_6-B_3_8B_3_7-B_3_9B_3_19-B_3_20B_3_10-B_3_21B_4_1-B_4_14B_4_2-B_4_15B_4_3-B_4_16B_4_4-B_4_17B_4_5-B_4_18B_4_6-B_4_8B_4_7-B_4_9B_4_19-B_4_20B_4_10-B_4_21C_1_1-C_1_5+C_1_2C_1_3-C_1_6C_1_4-C_1_7C_2_1-C_2_5+C_2_2C_2_3-C_2_6C_2_4-C_2_7C_3_1C_3_2-C_3_5C_3_3-C_3_6C_3_4-C_3_7C_4_1C_4_2-C_4_5C_4_3-C_4_6C_4_4-C_4_7C_5_1C_5_2-C_5_5C_5_3-C_5_6C_5_4-C_5_7C_6_1C_6_2-C_6_5C_6_3-C_6_6C_6_4-C_6_7C_7_1-C_7_5+C_7_2C_7_3-C_7_6C_7_4-C_7_7C_19_1C_19_2-C_19_5C_19_3-C_19_6C_19_4-C_19_7C_10_1C_10_2-C_10_5C_10_3-C_10_6C_10_4-C_10_7+TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1+A_5_1A_2_2+A_5_2A_2_3+A_5_3A_5_4+A_2_4A_3_1+A_6_1A_3_2+A_6_2A_3_3+A_6_3A_3_4+A_6_4A_4_1+A_7_1A_4_2+A_7_2A_4_3+A_7_3A_4_4+A_7_4B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_19B_1_10B_2_1+B_5_1B_2_2+B_5_2B_2_3+B_5_3B_2_4+B_5_4B_2_5+B_5_5B_2_6+B_5_6B_2_7+B_5_7B_2_19+B_5_19B_2_10+B_5_10B_6_1+B_3_1B_6_2+B_3_2B_3_3+B_6_3B_3_4+B_6_4B_3_5+B_6_5B_3_6+B_6_6B_6_7+B_3_7B_3_19+B_6_19B_3_10+B_6_10B_4_1+B_7_1B_4_2+B_7_2B_4_3+B_7_3B_7_4+B_4_4B_7_5+B_4_5B_4_6+B_7_6B_7_7+B_4_7B_7_19+B_4_19B_4_10+B_7_10C_1_1+C_14_1C_1_2+C_14_2C_1_3+C_14_3C_1_4+C_14_4C_2_1+C_15_1C_2_2+C_15_2C_2_3+C_15_3C_2_4+C_15_4C_3_1+C_16_1C_3_2+C_16_2C_3_3+C_16_3C_3_4+C_16_4C_4_1+C_17_1C_4_2+C_17_2C_4_3+C_17_3C_4_4+C_17_4C_5_1+C_18_1C_5_2+C_18_2C_5_3+C_18_3C_5_4+C_18_4C_8_1+C_6_1C_8_2+C_6_2C_6_3+C_8_3C_6_4+C_8_4C_9_1+C_7_1C_7_2+C_9_2C_7_3+C_9_3C_7_4+C_9_4C_19_1+C_20_1C_19_2+C_20_2C_19_3+C_20_3C_19_4+C_20_4C_10_1+C_21_1C_10_2+C_21_2C_10_3+C_21_3C_10_4+C_21_4+TraceMulA_5_5A_5_6A_5_7A_6_5A_6_6A_6_7A_7_5A_7_6A_7_7B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_8B_5_9B_5_20B_5_21B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_8B_6_9B_6_20B_6_21B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_8B_7_9B_7_20B_7_21C_11_5C_11_6C_11_7C_12_5C_12_6C_12_7C_13_5C_13_6C_13_7C_14_5C_14_6C_14_7C_15_5C_15_6C_15_7C_16_5C_16_6C_16_7C_17_5C_17_6C_17_7C_18_5C_18_6C_18_7C_8_5C_8_6C_8_7C_9_5C_9_6C_9_7C_20_5C_20_6C_20_7C_21_5C_21_6C_21_7+TraceMulA_1_5A_1_6A_1_7A_2_5A_2_6A_2_7A_3_5A_3_6A_3_7A_4_5A_4_6A_4_7B_2_11+B_5_11B_2_12+B_5_12B_2_13+B_5_13-B_2_1-B_5_1+B_2_14+B_5_14-B_2_2-B_5_2+B_2_15+B_5_15-B_2_3-B_5_3+B_2_16+B_5_16-B_2_4-B_5_4+B_2_17+B_5_17-B_2_5-B_5_5+B_2_18+B_5_18-B_2_6-B_5_6+B_2_8+B_5_8-B_2_7-B_5_7+B_2_9+B_5_9-B_2_19-B_5_19+B_2_20+B_5_20-B_2_10-B_5_10+B_2_21+B_5_21B_3_11+B_6_11B_3_12+B_6_12B_3_13+B_6_13-B_3_1-B_6_1+B_3_14+B_6_14-B_3_2-B_6_2+B_3_15+B_6_15-B_3_3-B_6_3+B_3_16+B_6_16-B_3_4-B_6_4+B_3_17+B_6_17-B_3_5-B_6_5+B_3_18+B_6_18-B_3_6-B_6_6+B_3_8+B_6_8-B_3_7-B_6_7+B_3_9+B_6_9-B_3_19-B_6_19+B_3_20+B_6_20-B_3_10-B_6_10+B_3_21+B_6_21B_4_11+B_7_11B_4_12+B_7_12B_4_13+B_7_13-B_4_1-B_7_1+B_4_14+B_7_14-B_4_2-B_7_2+B_4_15+B_7_15-B_4_3-B_7_3+B_4_16+B_7_16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[[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6,C_1_7],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6,C_2_7],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6,C_3_7],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6,C_4_7],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6,C_5_7],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6,C_10_7],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5,C_11_6,C_11_7],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5,C_12_6,C_12_7],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4,C_13_5,C_13_6,C_13_7],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4,C_14_5,C_14_6,C_14_7],[C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4,C_15_5,C_15_6,C_15_7],[C_16_1,C_16_2,C_16_3,C_16_4,C_16_5,C_16_6,C_16_7],[C_17_1,C_17_2,C_17_3,C_17_4,C_17_5,C_17_6,C_17_7],[C_18_1,C_18_2,C_18_3,C_18_4,C_18_5,C_18_6,C_18_7],[C_19_1,C_19_2,C_19_3,C_19_4,C_19_5,C_19_6,C_19_7],[C_20_1,C_20_2,C_20_3,C_20_4,C_20_5,C_20_6,C_20_7],[C_21_1,C_21_2,C_21_3,C_21_4,C_21_5,C_21_6,C_21_7]]))) = Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_1,A_1_2-A_1_5,A_1_3-A_1_6,A_1_4-A_1_7],[A_2_1,A_2_2-A_2_5,A_2_3-A_2_6,A_2_4-A_2_7],[A_3_1,A_3_2-A_3_5,-A_3_6+A_3_3,A_3_4-A_3_7],[A_4_1,A_4_2-A_4_5,A_4_3-A_4_6,A_4_4-A_4_7]]),Matrix(4, 9, [[B_1_1-B_1_14,B_1_2-B_1_15,B_1_3-B_1_16,B_1_4-B_1_17,B_1_5-B_1_18,B_1_6-B_1_8,B_1_7-B_1_9,B_1_19-B_1_20,B_1_10-B_1_21],[B_2_1-B_2_14,B_2_2-B_2_15,B_2_3-B_2_16,B_2_4-B_2_17,B_2_5-B_2_18,-B_2_8+B_2_6,B_2_7-B_2_9,B_2_19-B_2_20,B_2_10-B_2_21],[B_3_1-B_3_14,B_3_2-B_3_15,B_3_3-B_3_16,B_3_4-B_3_17,B_3_5-B_3_18,B_3_6-B_3_8,B_3_7-B_3_9,B_3_19-B_3_20,B_3_10-B_3_21],[B_4_1-B_4_14,B_4_2-B_4_15,B_4_3-B_4_16,B_4_4-B_4_17,B_4_5-B_4_18,B_4_6-B_4_8,B_4_7-B_4_9,B_4_19-B_4_20,B_4_10-B_4_21]]),Matrix(9, 4, [[C_1_1,-C_1_5+C_1_2,C_1_3-C_1_6,C_1_4-C_1_7],[C_2_1,-C_2_5+C_2_2,C_2_3-C_2_6,C_2_4-C_2_7],[C_3_1,C_3_2-C_3_5,C_3_3-C_3_6,C_3_4-C_3_7],[C_4_1,C_4_2-C_4_5,C_4_3-C_4_6,C_4_4-C_4_7],[C_5_1,C_5_2-C_5_5,C_5_3-C_5_6,C_5_4-C_5_7],[C_6_1,C_6_2-C_6_5,C_6_3-C_6_6,C_6_4-C_6_7],[C_7_1,-C_7_5+C_7_2,C_7_3-C_7_6,C_7_4-C_7_7],[C_19_1,C_19_2-C_19_5,C_19_3-C_19_6,C_19_4-C_19_7],[C_10_1,C_10_2-C_10_5,C_10_3-C_10_6,C_10_4-C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4],[A_2_1+A_5_1,A_2_2+A_5_2,A_2_3+A_5_3,A_5_4+A_2_4],[A_3_1+A_6_1,A_3_2+A_6_2,A_3_3+A_6_3,A_3_4+A_6_4],[A_4_1+A_7_1,A_4_2+A_7_2,A_4_3+A_7_3,A_4_4+A_7_4]]),Matrix(4, 9, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_19,B_1_10],[B_2_1+B_5_1,B_2_2+B_5_2,B_2_3+B_5_3,B_2_4+B_5_4,B_2_5+B_5_5,B_2_6+B_5_6,B_2_7+B_5_7,B_2_19+B_5_19,B_2_10+B_5_10],[B_6_1+B_3_1,B_6_2+B_3_2,B_3_3+B_6_3,B_3_4+B_6_4,B_3_5+B_6_5,B_3_6+B_6_6,B_6_7+B_3_7,B_3_19+B_6_19,B_3_10+B_6_10],[B_4_1+B_7_1,B_4_2+B_7_2,B_4_3+B_7_3,B_7_4+B_4_4,B_7_5+B_4_5,B_4_6+B_7_6,B_7_7+B_4_7,B_7_19+B_4_19,B_4_10+B_7_10]]),Matrix(9, 4, [[C_1_1+C_14_1,C_1_2+C_14_2,C_1_3+C_14_3,C_1_4+C_14_4],[C_2_1+C_15_1,C_2_2+C_15_2,C_2_3+C_15_3,C_2_4+C_15_4],[C_3_1+C_16_1,C_3_2+C_16_2,C_3_3+C_16_3,C_3_4+C_16_4],[C_4_1+C_17_1,C_4_2+C_17_2,C_4_3+C_17_3,C_4_4+C_17_4],[C_5_1+C_18_1,C_5_2+C_18_2,C_5_3+C_18_3,C_5_4+C_18_4],[C_8_1+C_6_1,C_8_2+C_6_2,C_6_3+C_8_3,C_6_4+C_8_4],[C_9_1+C_7_1,C_7_2+C_9_2,C_7_3+C_9_3,C_7_4+C_9_4],[C_19_1+C_20_1,C_19_2+C_20_2,C_19_3+C_20_3,C_19_4+C_20_4],[C_10_1+C_21_1,C_10_2+C_21_2,C_10_3+C_21_3,C_10_4+C_21_4]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_5_5,A_5_6,A_5_7],[A_6_5,A_6_6,A_6_7],[A_7_5,A_7_6,A_7_7]]),Matrix(3, 12, [[B_5_11,B_5_12,B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16,B_5_17,B_5_18,B_5_8,B_5_9,B_5_20,B_5_21],[B_6_11,B_6_12,B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16,B_6_17,B_6_18,B_6_8,B_6_9,B_6_20,B_6_21],[B_7_11,B_7_12,B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16,B_7_17,B_7_18,B_7_8,B_7_9,B_7_20,B_7_21]]),Matrix(12, 3, [[C_11_5,C_11_6,C_11_7],[C_12_5,C_12_6,C_12_7],[C_13_5,C_13_6,C_13_7],[C_14_5,C_14_6,C_14_7],[C_15_5,C_15_6,C_15_7],[C_16_5,C_16_6,C_16_7],[C_17_5,C_17_6,C_17_7],[C_18_5,C_18_6,C_18_7],[C_8_5,C_8_6,C_8_7],[C_9_5,C_9_6,C_9_7],[C_20_5,C_20_6,C_20_7],[C_21_5,C_21_6,C_21_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 3, [[A_1_5,A_1_6,A_1_7],[A_2_5,A_2_6,A_2_7],[A_3_5,A_3_6,A_3_7],[A_4_5,A_4_6,A_4_7]]),Matrix(3, 12, [[B_2_11+B_5_11,B_2_12+B_5_12,B_2_13+B_5_13,-B_2_1-B_5_1+B_2_14+B_5_14,-B_2_2-B_5_2+B_2_15+B_5_15,-B_2_3-B_5_3+B_2_16+B_5_16,-B_2_4-B_5_4+B_2_17+B_5_17,-B_2_5-B_5_5+B_2_18+B_5_18,-B_2_6-B_5_6+B_2_8+B_5_8,-B_2_7-B_5_7+B_2_9+B_5_9,-B_2_19-B_5_19+B_2_20+B_5_20,-B_2_10-B_5_10+B_2_21+B_5_21],[B_3_11+B_6_11,B_3_12+B_6_12,B_3_13+B_6_13,-B_3_1-B_6_1+B_3_14+B_6_14,-B_3_2-B_6_2+B_3_15+B_6_15,-B_3_3-B_6_3+B_3_16+B_6_16,-B_3_4-B_6_4+B_3_17+B_6_17,-B_3_5-B_6_5+B_3_18+B_6_18,-B_3_6-B_6_6+B_3_8+B_6_8,-B_3_7-B_6_7+B_3_9+B_6_9,-B_3_19-B_6_19+B_3_20+B_6_20,-B_3_10-B_6_10+B_3_21+B_6_21],[B_4_11+B_7_11,B_4_12+B_7_12,B_4_13+B_7_13,-B_4_1-B_7_1+B_4_14+B_7_14,-B_4_2-B_7_2+B_4_15+B_7_15,-B_4_3-B_7_3+B_4_16+B_7_16,-B_4_4-B_7_4+B_4_17+B_7_17,-B_4_5-B_7_5+B_4_18+B_7_18,-B_4_6-B_7_6+B_4_8+B_7_8,-B_4_7-B_7_7+B_4_9+B_7_9,-B_4_19-B_7_19+B_4_20+B_7_20,-B_4_10-B_7_10+B_4_21+B_7_21]]),Matrix(12, 4, [[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4],[C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4],[C_16_1,C_16_2,C_16_3,C_16_4],[C_17_1,C_17_2,C_17_3,C_17_4],[C_18_1,C_18_2,C_18_3,C_18_4],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4],[C_20_1,C_20_2,C_20_3,C_20_4],[C_21_1,C_21_2,C_21_3,C_21_4]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[-A_2_2-A_5_2+A_2_5+A_5_5,-A_2_3-A_5_3+A_2_6+A_5_6,-A_2_4-A_5_4+A_2_7+A_5_7],[-A_3_2-A_6_2+A_3_5+A_6_5,-A_3_3-A_6_3+A_3_6+A_6_6,-A_3_4-A_6_4+A_3_7+A_6_7],[-A_4_2-A_7_2+A_4_5+A_7_5,-A_4_3-A_7_3+A_4_6+A_7_6,-A_4_4-A_7_4+A_4_7+A_7_7]]),Matrix(3, 9, [[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_19,B_5_10],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_19,B_6_10],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_19,B_7_10]]),Matrix(9, 3, [[C_1_5,C_1_6,C_1_7],[C_2_5,C_2_6,C_2_7],[C_3_5,C_3_6,C_3_7],[C_4_5,C_4_6,C_4_7],[C_5_5,C_5_6,C_5_7],[C_6_5,C_6_6,C_6_7],[C_7_5,C_7_6,C_7_7],[C_19_5,C_19_6,C_19_7],[C_10_5,C_10_6,C_10_7]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 4, [[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4],[A_6_1,A_6_2,A_6_3,A_6_4],[A_7_1,A_7_2,A_7_3,A_7_4]]),Matrix(4, 12, [[B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_16,B_1_17,B_1_18,B_1_8,B_1_9,B_1_20,B_1_21],[B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_16,B_2_17,B_2_18,B_2_8,B_2_9,B_2_20,B_2_21],[B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16,B_3_17,B_3_18,B_3_8,B_3_9,B_3_20,B_3_21],[B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16,B_4_17,B_4_18,B_4_8,B_4_9,B_4_20,B_4_21]]),Matrix(12, 3, [[-C_11_2+C_11_5,-C_11_3+C_11_6,-C_11_4+C_11_7],[-C_12_2+C_12_5,-C_12_3+C_12_6,-C_12_4+C_12_7],[-C_13_2+C_13_5,-C_13_3+C_13_6,-C_13_4+C_13_7],[-C_1_2-C_14_2+C_1_5+C_14_5,-C_1_3-C_14_3+C_1_6+C_14_6,-C_1_4-C_14_4+C_1_7+C_14_7],[-C_2_2-C_15_2+C_2_5+C_15_5,-C_2_3-C_15_3+C_2_6+C_15_6,-C_2_4-C_15_4+C_2_7+C_15_7],[-C_3_2-C_16_2+C_3_5+C_16_5,-C_3_3-C_16_3+C_3_6+C_16_6,-C_3_4-C_16_4+C_3_7+C_16_7],[-C_4_2-C_17_2+C_4_5+C_17_5,-C_4_3-C_17_3+C_4_6+C_17_6,-C_4_4-C_17_4+C_4_7+C_17_7],[-C_5_2-C_18_2+C_5_5+C_18_5,-C_5_3-C_18_3+C_5_6+C_18_6,-C_5_4-C_18_4+C_5_7+C_18_7],[-C_6_2-C_8_2+C_6_5+C_8_5,-C_6_3-C_8_3+C_6_6+C_8_6,-C_6_4-C_8_4+C_6_7+C_8_7],[-C_7_2-C_9_2+C_7_5+C_9_5,-C_7_3-C_9_3+C_7_6+C_9_6,-C_7_4-C_9_4+C_7_7+C_9_7],[-C_19_2-C_20_2+C_19_5+C_20_5,-C_19_3-C_20_3+C_19_6+C_20_6,-C_19_4-C_20_4+C_19_7+C_20_7],[-C_10_2-C_21_2+C_10_5+C_21_5,-C_10_3-C_21_3+C_10_6+C_21_6,-C_10_4-C_21_4+C_10_7+C_21_7]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[-A_1_1,A_1_5-A_1_2,-A_1_3+A_1_6,A_1_7-A_1_4],[-A_2_1-A_5_1,-A_2_2-A_5_2+A_2_5,-A_2_3-A_5_3+A_2_6,-A_2_4-A_5_4+A_2_7],[-A_3_1-A_6_1,-A_3_2-A_6_2+A_3_5,-A_3_3-A_6_3+A_3_6,-A_3_4-A_6_4+A_3_7],[-A_4_1-A_7_1,-A_4_2-A_7_2+A_4_5,-A_4_3-A_7_3+A_4_6,-A_4_4-A_7_4+A_4_7]]),Matrix(4, 12, [[-B_1_11,-B_1_12,-B_1_13,B_1_1-B_1_14,B_1_2-B_1_15,B_1_3-B_1_16,B_1_4-B_1_17,B_1_5-B_1_18,B_1_6-B_1_8,B_1_7-B_1_9,B_1_19-B_1_20,B_1_10-B_1_21],[-B_2_11,-B_2_12,-B_2_13,B_2_1+B_5_1-B_2_14,B_2_2+B_5_2-B_2_15,B_2_3+B_5_3-B_2_16,B_2_4+B_5_4-B_2_17,B_2_5+B_5_5-B_2_18,B_2_6+B_5_6-B_2_8,B_2_7+B_5_7-B_2_9,B_2_19+B_5_19-B_2_20,B_2_10+B_5_10-B_2_21],[-B_3_11,-B_3_12,-B_3_13,B_6_1+B_3_1-B_3_14,B_6_2+B_3_2-B_3_15,B_3_3+B_6_3-B_3_16,B_3_4+B_6_4-B_3_17,B_3_5+B_6_5-B_3_18,B_3_6+B_6_6-B_3_8,B_6_7+B_3_7-B_3_9,B_3_19+B_6_19-B_3_20,B_3_10+B_6_10-B_3_21],[-B_4_11,-B_4_12,-B_4_13,B_4_1+B_7_1-B_4_14,B_4_2+B_7_2-B_4_15,B_4_3+B_7_3-B_4_16,B_7_4+B_4_4-B_4_17,B_7_5+B_4_5-B_4_18,B_4_6+B_7_6-B_4_8,B_7_7+B_4_7-B_4_9,B_7_19+B_4_19-B_4_20,B_4_10+B_7_10-B_4_21]]),Matrix(12, 4, [[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4],[C_1_1+C_14_1,C_1_2+C_14_2-C_1_5,C_1_3+C_14_3-C_1_6,C_1_4+C_14_4-C_1_7],[C_2_1+C_15_1,C_2_2+C_15_2-C_2_5,C_2_3+C_15_3-C_2_6,C_2_4+C_15_4-C_2_7],[C_3_1+C_16_1,C_3_2+C_16_2-C_3_5,C_3_3+C_16_3-C_3_6,C_3_4+C_16_4-C_3_7],[C_4_1+C_17_1,C_4_2+C_17_2-C_4_5,C_4_3+C_17_3-C_4_6,C_4_4+C_17_4-C_4_7],[C_5_1+C_18_1,C_5_2+C_18_2-C_5_5,C_5_3+C_18_3-C_5_6,C_5_4+C_18_4-C_5_7],[C_8_1+C_6_1,C_8_2+C_6_2-C_6_5,C_6_3+C_8_3-C_6_6,C_6_4+C_8_4-C_6_7],[C_9_1+C_7_1,C_7_2+C_9_2-C_7_5,C_7_3+C_9_3-C_7_6,C_7_4+C_9_4-C_7_7],[C_19_1+C_20_1,C_19_2+C_20_2-C_19_5,C_19_3+C_20_3-C_19_6,C_19_4+C_20_4-C_19_7],[C_10_1+C_21_1,C_10_2+C_21_2-C_10_5,C_10_3+C_21_3-C_10_6,C_10_4+C_21_4-C_10_7]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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