Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨6×7×19:548⟩

Algorithm type

32⁢X4⁢Y5⁢Z6+48⁢X2⁢Y5⁢Z6+5⁢X4⁢Y4⁢Z4+2⁢X4⁢Y3⁢Z3+32⁢X2⁢Y5⁢Z3+4⁢X2⁢Y2⁢Z6+48⁢X⁢Y5⁢Z3+22⁢X2⁢Y4⁢Z2+32⁢X2⁢Y3⁢Z3+2⁢X2⁢Y2⁢Z4+4⁢X2⁢Y3⁢Z2+2⁢X2⁢Y2⁢Z3+48⁢X⁢Y3⁢Z3+41⁢X2⁢Y2⁢Z2+2⁢X2⁢Y⁢Z3+8⁢X⁢Y2⁢Z3+2⁢X2⁢Y2⁢Z+32⁢X⁢Y2⁢Z2+4⁢X⁢Y⁢Z3+6⁢X2⁢Y⁢Z+60⁢X⁢Y2⁢Z+46⁢X⁢Y⁢Z2+66⁢X⁢Y⁢Z32X4Y5Z648X2Y5Z65X4Y4Z42X4Y3Z332X2Y5Z34X2Y2Z648XY5Z322X2Y4Z232X2Y3Z32X2Y2Z44X2Y3Z22X2Y2Z348XY3Z341X2Y2Z22X2YZ38XY2Z32X2Y2Z32XY2Z24XYZ36X2YZ60XY2Z46XYZ266XYZ32*X^4*Y^5*Z^6+48*X^2*Y^5*Z^6+5*X^4*Y^4*Z^4+2*X^4*Y^3*Z^3+32*X^2*Y^5*Z^3+4*X^2*Y^2*Z^6+48*X*Y^5*Z^3+22*X^2*Y^4*Z^2+32*X^2*Y^3*Z^3+2*X^2*Y^2*Z^4+4*X^2*Y^3*Z^2+2*X^2*Y^2*Z^3+48*X*Y^3*Z^3+41*X^2*Y^2*Z^2+2*X^2*Y*Z^3+8*X*Y^2*Z^3+2*X^2*Y^2*Z+32*X*Y^2*Z^2+4*X*Y*Z^3+6*X^2*Y*Z+60*X*Y^2*Z+46*X*Y*Z^2+66*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨6×7×19:548⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨6×7×19:548⟩ = ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨3×3×7:49⟩ + ⟨3×2×7:35⟩ + ⟨3×3×7:49⟩ + ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨3×2×6:30⟩ + ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨3×2×7:35⟩ + ⟨3×2×6:30⟩ + ⟨3×2×6:30⟩ + ⟨3×3×6:40⟩ + ⟨3×2×6:30⟩ + ⟨3×2×7:35⟩ + ⟨3×2×6:30⟩ + ⟨3×2×7:35⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_19B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_19C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_1_6C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_2_6C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_3_6C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_4_6C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_5_6C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_6_6C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_7_6C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_8_6C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5C_9_6C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_10_5C_10_6C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_11_5C_11_6C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_12_5C_12_6C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_13_5C_13_6C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_14_5C_14_6C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_15_5C_15_6C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_16_5C_16_6C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_17_5C_17_6C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_18_5C_18_6C_19_1C_19_2C_19_3C_19_4C_19_5C_19_6=Trace⁡Mul⁡A_4_5A_4_6A_4_7A_5_5A_5_6A_5_7A_6_5A_6_6A_6_7B_5_6+B_5_7B_5_1+B_5_8B_5_2+B_5_9B_5_3+B_5_10B_5_4+B_5_11B_5_5+B_5_12B_2_6+B_6_6+B_6_7B_2_1+B_6_1+B_6_8B_2_2+B_6_2+B_6_9B_2_3+B_6_3+B_6_10B_2_4+B_6_4+B_6_11B_2_5+B_6_5+B_6_12B_1_6+B_7_6+B_7_7B_1_1+B_7_1+B_7_8B_1_2+B_7_2+B_7_9B_1_3+B_7_3+B_7_10B_1_4+B_7_4+B_7_11B_1_5+B_7_5+B_7_12C_6_1+C_6_4C_6_2+C_6_5C_6_3+C_6_6C_1_1+C_1_4C_1_2+C_1_5C_1_3+C_1_6C_2_1+C_2_4C_2_2+C_2_5C_2_3+C_2_6C_3_1+C_3_4C_3_2+C_3_5C_3_3+C_3_6C_4_1+C_4_4C_4_2+C_4_5C_4_3+C_4_6C_5_1+C_5_4C_5_2+C_5_5C_5_3+C_5_6+Trace⁡Mul⁡-A_4_5A_1_2-A_4_6A_1_1-A_4_7-A_5_5A_2_2-A_5_6A_2_1-A_5_7-A_6_5A_3_2-A_6_6A_3_1-A_6_7B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_6_13B_2_6+B_6_14B_2_1+B_6_15B_2_2+B_6_16B_2_3+B_6_17B_2_4+B_6_18B_2_5+B_6_19B_7_13B_1_6+B_7_14B_1_1+B_7_15B_1_2+B_7_16B_1_3+B_7_17B_1_4+B_7_18B_1_5+B_7_19-C_13_4-C_13_5-C_13_6C_6_1-C_14_4C_6_2-C_14_5C_6_3-C_14_6C_1_1-C_15_4C_1_2-C_15_5C_1_3-C_15_6C_2_1-C_16_4C_2_2-C_16_5C_2_3-C_16_6C_3_1-C_17_4C_3_2-C_17_5C_3_3-C_17_6C_4_1-C_18_4C_4_2-C_18_5C_4_3-C_18_6C_5_1-C_19_4C_5_2-C_19_5C_5_3-C_19_6+Trace⁡Mul⁡A_1_2A_1_1A_2_2A_2_1A_3_2A_3_1-B_2_13-B_6_13B_2_7-B_2_14-B_6_14B_2_8-B_2_15-B_6_15B_2_9-B_2_16-B_6_16B_2_10-B_2_17-B_6_17B_2_11-B_2_18-B_6_18B_2_12-B_2_19-B_6_19-B_1_13-B_7_13B_1_7-B_1_14-B_7_14B_1_8-B_1_15-B_7_15B_1_9-B_1_16-B_7_16B_1_10-B_1_17-B_7_17B_1_11-B_1_18-B_7_18B_1_12-B_1_19-B_7_19-C_13_1-C_13_4-C_13_2-C_13_5-C_13_3-C_13_6-C_14_1-C_14_4-C_14_2-C_14_5-C_14_3-C_14_6-C_15_1-C_15_4-C_15_2-C_15_5-C_15_3-C_15_6-C_16_1-C_16_4-C_16_2-C_16_5-C_16_3-C_16_6-C_17_1-C_17_4-C_17_2-C_17_5-C_17_3-C_17_6-C_18_1-C_18_4-C_18_2-C_18_5-C_18_3-C_18_6-C_19_1-C_19_4-C_19_2-C_19_5-C_19_3-C_19_6+Trace⁡Mul⁡-A_1_5A_1_2-A_1_6A_1_1-A_1_7-A_2_5A_2_2-A_2_6A_2_1-A_2_7-A_3_5A_3_2-A_3_6A_3_1-A_3_7B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_19B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_19-C_13_1-C_13_2-C_13_3-C_6_1-C_14_1-C_6_2-C_14_2-C_6_3-C_14_3-C_1_1-C_15_1-C_1_2-C_15_2-C_1_3-C_15_3-C_2_1-C_16_1-C_2_2-C_16_2-C_2_3-C_16_3-C_3_1-C_17_1-C_3_2-C_17_2-C_3_3-C_17_3-C_4_1-C_18_1-C_4_2-C_18_2-C_4_3-C_18_3-C_5_1-C_19_1-C_5_2-C_19_2-C_5_3-C_19_3+Trace⁡Mul⁡A_1_5-A_4_5A_1_6-A_4_6A_1_7-A_4_7A_2_5-A_5_5A_2_6-A_5_6A_2_7-A_5_7A_3_5-A_6_5A_3_6-A_6_6A_3_7-A_6_7B_5_6-B_5_14B_5_1-B_5_15B_5_2-B_5_16B_5_3-B_5_17B_5_4-B_5_18B_5_5-B_5_19B_3_6+B_6_6-B_6_14B_6_1+B_3_1-B_6_15B_6_2+B_3_2-B_6_16B_3_3+B_6_3-B_6_17B_3_4+B_6_4-B_6_18B_3_5+B_6_5-B_6_19B_4_6+B_7_6-B_7_14B_4_1+B_7_1-B_7_15B_4_2+B_7_2-B_7_16B_4_3+B_7_3-B_7_17B_7_4+B_4_4-B_7_18B_7_5+B_4_5-B_7_19C_6_1C_6_2C_6_3C_1_1C_1_2C_1_3C_2_1C_2_2C_2_3C_3_1C_3_2C_3_3C_4_1C_4_2C_4_3C_5_1C_5_2C_5_3+Trace⁡Mul⁡A_1_3A_1_4A_2_3A_2_4A_3_3A_3_4B_6_7+B_3_7-B_3_14B_3_8+B_6_8-B_3_15B_3_9+B_6_9-B_3_16B_3_10+B_6_10-B_3_17B_3_11+B_6_11-B_3_18B_3_12+B_6_12-B_3_19B_7_7+B_4_7-B_4_14B_4_8+B_7_8-B_4_15B_4_9+B_7_9-B_4_16B_4_10+B_7_10-B_4_17B_4_11+B_7_11-B_4_18B_4_12+B_7_12-B_4_19C_7_1C_7_2C_7_3C_8_1C_8_2C_8_3C_9_1C_9_2C_9_3C_10_1C_10_2C_10_3C_11_1C_11_2C_11_3C_12_1C_12_2C_12_3+Trace⁡Mul⁡-A_1_5+A_4_5A_1_3-A_1_6+A_4_6A_1_4-A_1_7+A_4_7-A_2_5+A_5_5A_2_3-A_2_6+A_5_6A_2_4-A_2_7+A_5_7-A_3_5+A_6_5-A_3_6+A_3_3+A_6_6A_3_4-A_3_7+A_6_7-B_5_7-B_5_8-B_5_9-B_5_10-B_5_11-B_5_12B_3_6-B_6_7B_3_1-B_6_8B_3_2-B_6_9B_3_3-B_6_10B_3_4-B_6_11B_3_5-B_6_12B_4_6-B_7_7B_4_1-B_7_8B_4_2-B_7_9B_4_3-B_7_10B_4_4-B_7_11B_4_5-B_7_12C_6_1+C_6_4-C_7_4C_6_2+C_6_5-C_7_5C_6_3+C_6_6-C_7_6C_1_1+C_1_4-C_8_4C_1_2+C_1_5-C_8_5C_1_3+C_1_6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[[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_16,B_1_17,B_1_18,B_1_19],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_16,B_2_17,B_2_18,B_2_19],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16,B_3_17,B_3_18,B_3_19],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16,B_4_17,B_4_18,B_4_19],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12,B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16,B_5_17,B_5_18,B_5_19],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12,B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16,B_6_17,B_6_18,B_6_19],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12,B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16,B_7_17,B_7_18,B_7_19]]),Matrix(19, 6, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5,C_4_6],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5,C_5_6],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5,C_6_6],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5,C_11_6],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5,C_12_6],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4,C_13_5,C_13_6],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4,C_14_5,C_14_6],[C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4,C_15_5,C_15_6],[C_16_1,C_16_2,C_16_3,C_16_4,C_16_5,C_16_6],[C_17_1,C_17_2,C_17_3,C_17_4,C_17_5,C_17_6],[C_18_1,C_18_2,C_18_3,C_18_4,C_18_5,C_18_6],[C_19_1,C_19_2,C_19_3,C_19_4,C_19_5,C_19_6]]))) = Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_4_5,A_4_6,A_4_7],[A_5_5,A_5_6,A_5_7],[A_6_5,A_6_6,A_6_7]]),Matrix(3, 6, [[B_5_6+B_5_7,B_5_1+B_5_8,B_5_2+B_5_9,B_5_3+B_5_10,B_5_4+B_5_11,B_5_5+B_5_12],[B_2_6+B_6_6+B_6_7,B_2_1+B_6_1+B_6_8,B_2_2+B_6_2+B_6_9,B_2_3+B_6_3+B_6_10,B_2_4+B_6_4+B_6_11,B_2_5+B_6_5+B_6_12],[B_1_6+B_7_6+B_7_7,B_1_1+B_7_1+B_7_8,B_1_2+B_7_2+B_7_9,B_1_3+B_7_3+B_7_10,B_1_4+B_7_4+B_7_11,B_1_5+B_7_5+B_7_12]]),Matrix(6, 3, [[C_6_1+C_6_4,C_6_2+C_6_5,C_6_3+C_6_6],[C_1_1+C_1_4,C_1_2+C_1_5,C_1_3+C_1_6],[C_2_1+C_2_4,C_2_2+C_2_5,C_2_3+C_2_6],[C_3_1+C_3_4,C_3_2+C_3_5,C_3_3+C_3_6],[C_4_1+C_4_4,C_4_2+C_4_5,C_4_3+C_4_6],[C_5_1+C_5_4,C_5_2+C_5_5,C_5_3+C_5_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[-A_4_5,A_1_2-A_4_6,A_1_1-A_4_7],[-A_5_5,A_2_2-A_5_6,A_2_1-A_5_7],[-A_6_5,A_3_2-A_6_6,A_3_1-A_6_7]]),Matrix(3, 7, [[B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16,B_5_17,B_5_18,B_5_19],[B_6_13,B_2_6+B_6_14,B_2_1+B_6_15,B_2_2+B_6_16,B_2_3+B_6_17,B_2_4+B_6_18,B_2_5+B_6_19],[B_7_13,B_1_6+B_7_14,B_1_1+B_7_15,B_1_2+B_7_16,B_1_3+B_7_17,B_1_4+B_7_18,B_1_5+B_7_19]]),Matrix(7, 3, [[-C_13_4,-C_13_5,-C_13_6],[C_6_1-C_14_4,C_6_2-C_14_5,C_6_3-C_14_6],[C_1_1-C_15_4,C_1_2-C_15_5,C_1_3-C_15_6],[C_2_1-C_16_4,C_2_2-C_16_5,C_2_3-C_16_6],[C_3_1-C_17_4,C_3_2-C_17_5,C_3_3-C_17_6],[C_4_1-C_18_4,C_4_2-C_18_5,C_4_3-C_18_6],[C_5_1-C_19_4,C_5_2-C_19_5,C_5_3-C_19_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_1_2,A_1_1],[A_2_2,A_2_1],[A_3_2,A_3_1]]),Matrix(2, 7, [[-B_2_13-B_6_13,B_2_7-B_2_14-B_6_14,B_2_8-B_2_15-B_6_15,B_2_9-B_2_16-B_6_16,B_2_10-B_2_17-B_6_17,B_2_11-B_2_18-B_6_18,B_2_12-B_2_19-B_6_19],[-B_1_13-B_7_13,B_1_7-B_1_14-B_7_14,B_1_8-B_1_15-B_7_15,B_1_9-B_1_16-B_7_16,B_1_10-B_1_17-B_7_17,B_1_11-B_1_18-B_7_18,B_1_12-B_1_19-B_7_19]]),Matrix(7, 3, [[-C_13_1-C_13_4,-C_13_2-C_13_5,-C_13_3-C_13_6],[-C_14_1-C_14_4,-C_14_2-C_14_5,-C_14_3-C_14_6],[-C_15_1-C_15_4,-C_15_2-C_15_5,-C_15_3-C_15_6],[-C_16_1-C_16_4,-C_16_2-C_16_5,-C_16_3-C_16_6],[-C_17_1-C_17_4,-C_17_2-C_17_5,-C_17_3-C_17_6],[-C_18_1-C_18_4,-C_18_2-C_18_5,-C_18_3-C_18_6],[-C_19_1-C_19_4,-C_19_2-C_19_5,-C_19_3-C_19_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[-A_1_5,A_1_2-A_1_6,A_1_1-A_1_7],[-A_2_5,A_2_2-A_2_6,A_2_1-A_2_7],[-A_3_5,A_3_2-A_3_6,A_3_1-A_3_7]]),Matrix(3, 7, [[B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16,B_5_17,B_5_18,B_5_19],[B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16,B_6_17,B_6_18,B_6_19],[B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16,B_7_17,B_7_18,B_7_19]]),Matrix(7, 3, [[-C_13_1,-C_13_2,-C_13_3],[-C_6_1-C_14_1,-C_6_2-C_14_2,-C_6_3-C_14_3],[-C_1_1-C_15_1,-C_1_2-C_15_2,-C_1_3-C_15_3],[-C_2_1-C_16_1,-C_2_2-C_16_2,-C_2_3-C_16_3],[-C_3_1-C_17_1,-C_3_2-C_17_2,-C_3_3-C_17_3],[-C_4_1-C_18_1,-C_4_2-C_18_2,-C_4_3-C_18_3],[-C_5_1-C_19_1,-C_5_2-C_19_2,-C_5_3-C_19_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[A_1_5-A_4_5,A_1_6-A_4_6,A_1_7-A_4_7],[A_2_5-A_5_5,A_2_6-A_5_6,A_2_7-A_5_7],[A_3_5-A_6_5,A_3_6-A_6_6,A_3_7-A_6_7]]),Matrix(3, 6, [[B_5_6-B_5_14,B_5_1-B_5_15,B_5_2-B_5_16,B_5_3-B_5_17,B_5_4-B_5_18,B_5_5-B_5_19],[B_3_6+B_6_6-B_6_14,B_6_1+B_3_1-B_6_15,B_6_2+B_3_2-B_6_16,B_3_3+B_6_3-B_6_17,B_3_4+B_6_4-B_6_18,B_3_5+B_6_5-B_6_19],[B_4_6+B_7_6-B_7_14,B_4_1+B_7_1-B_7_15,B_4_2+B_7_2-B_7_16,B_4_3+B_7_3-B_7_17,B_7_4+B_4_4-B_7_18,B_7_5+B_4_5-B_7_19]]),Matrix(6, 3, [[C_6_1,C_6_2,C_6_3],[C_1_1,C_1_2,C_1_3],[C_2_1,C_2_2,C_2_3],[C_3_1,C_3_2,C_3_3],[C_4_1,C_4_2,C_4_3],[C_5_1,C_5_2,C_5_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_1_3,A_1_4],[A_2_3,A_2_4],[A_3_3,A_3_4]]),Matrix(2, 6, [[B_6_7+B_3_7-B_3_14,B_3_8+B_6_8-B_3_15,B_3_9+B_6_9-B_3_16,B_3_10+B_6_10-B_3_17,B_3_11+B_6_11-B_3_18,B_3_12+B_6_12-B_3_19],[B_7_7+B_4_7-B_4_14,B_4_8+B_7_8-B_4_15,B_4_9+B_7_9-B_4_16,B_4_10+B_7_10-B_4_17,B_4_11+B_7_11-B_4_18,B_4_12+B_7_12-B_4_19]]),Matrix(6, 3, [[C_7_1,C_7_2,C_7_3],[C_8_1,C_8_2,C_8_3],[C_9_1,C_9_2,C_9_3],[C_10_1,C_10_2,C_10_3],[C_11_1,C_11_2,C_11_3],[C_12_1,C_12_2,C_12_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[-A_1_5+A_4_5,A_1_3-A_1_6+A_4_6,A_1_4-A_1_7+A_4_7],[-A_2_5+A_5_5,A_2_3-A_2_6+A_5_6,A_2_4-A_2_7+A_5_7],[-A_3_5+A_6_5,-A_3_6+A_3_3+A_6_6,A_3_4-A_3_7+A_6_7]]),Matrix(3, 6, [[-B_5_7,-B_5_8,-B_5_9,-B_5_10,-B_5_11,-B_5_12],[B_3_6-B_6_7,B_3_1-B_6_8,B_3_2-B_6_9,B_3_3-B_6_10,B_3_4-B_6_11,B_3_5-B_6_12],[B_4_6-B_7_7,B_4_1-B_7_8,B_4_2-B_7_9,B_4_3-B_7_10,B_4_4-B_7_11,B_4_5-B_7_12]]),Matrix(6, 3, [[C_6_1+C_6_4-C_7_4,C_6_2+C_6_5-C_7_5,C_6_3+C_6_6-C_7_6],[C_1_1+C_1_4-C_8_4,C_1_2+C_1_5-C_8_5,C_1_3+C_1_6-C_8_6],[C_2_1+C_2_4-C_9_4,C_2_2+C_2_5-C_9_5,C_2_3+C_2_6-C_9_6],[C_3_1+C_3_4-C_10_4,C_3_2+C_3_5-C_10_5,C_3_3+C_3_6-C_10_6],[C_4_1+C_4_4-C_11_4,C_4_2+C_4_5-C_11_5,C_4_3+C_4_6-C_11_6],[C_5_1+C_5_4-C_12_4,C_5_2+C_5_5-C_12_5,C_5_3+C_5_6-C_12_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_1_2-A_4_2+A_4_3,A_1_1-A_4_1+A_4_4],[A_2_2-A_5_2+A_5_3,A_2_1-A_5_1+A_5_4],[A_3_2-A_6_2+A_6_3,A_3_1-A_6_1+A_6_4]]),Matrix(2, 7, [[B_3_13,B_2_7+B_3_14,B_2_8+B_3_15,B_2_9+B_3_16,B_2_10+B_3_17,B_2_11+B_3_18,B_2_12+B_3_19],[B_4_13,B_1_7+B_4_14,B_1_8+B_4_15,B_1_9+B_4_16,B_1_10+B_4_17,B_1_11+B_4_18,B_1_12+B_4_19]]),Matrix(7, 3, [[C_13_1+C_13_4,C_13_2+C_13_5,C_13_3+C_13_6],[C_7_1+C_14_1+C_14_4,C_7_2+C_14_2+C_14_5,C_7_3+C_14_3+C_14_6],[C_8_1+C_15_1+C_15_4,C_8_2+C_15_2+C_15_5,C_8_3+C_15_3+C_15_6],[C_9_1+C_16_1+C_16_4,C_9_2+C_16_2+C_16_5,C_9_3+C_16_3+C_16_6],[C_10_1+C_17_1+C_17_4,C_10_2+C_17_2+C_17_5,C_10_3+C_17_3+C_17_6],[C_11_1+C_18_1+C_18_4,C_11_2+C_18_2+C_18_5,C_11_3+C_18_3+C_18_6],[C_12_1+C_19_1+C_19_4,C_12_2+C_19_2+C_19_5,C_12_3+C_19_3+C_19_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_4_2-A_4_3,A_4_1-A_4_4],[A_5_2-A_5_3,A_5_1-A_5_4],[A_6_2-A_6_3,A_6_1-A_6_4]]),Matrix(2, 6, [[B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12],[B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12]]),Matrix(6, 3, [[C_7_1+C_14_1+C_7_4+C_14_4,C_7_2+C_14_2+C_7_5+C_14_5,C_7_3+C_14_3+C_7_6+C_14_6],[C_8_1+C_15_1+C_8_4+C_15_4,C_8_2+C_15_2+C_8_5+C_15_5,C_8_3+C_15_3+C_8_6+C_15_6],[C_9_1+C_16_1+C_9_4+C_16_4,C_9_2+C_16_2+C_9_5+C_16_5,C_9_3+C_16_3+C_9_6+C_16_6],[C_10_1+C_17_1+C_10_4+C_17_4,C_10_2+C_17_2+C_10_5+C_17_5,C_10_3+C_17_3+C_10_6+C_17_6],[C_11_1+C_18_1+C_11_4+C_18_4,C_11_2+C_18_2+C_11_5+C_18_5,C_11_3+C_18_3+C_11_6+C_18_6],[C_12_1+C_19_1+C_12_4+C_19_4,C_12_2+C_19_2+C_12_5+C_19_5,C_12_3+C_19_3+C_12_6+C_19_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_1_3-A_4_3-A_1_6+A_4_6,A_1_4-A_4_4-A_1_7+A_4_7],[A_2_3-A_5_3-A_2_6+A_5_6,A_2_4-A_5_4-A_2_7+A_5_7],[A_3_3-A_6_3-A_3_6+A_6_6,A_3_4-A_6_4-A_3_7+A_6_7]]),Matrix(2, 6, [[B_3_6,B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5],[B_4_6,B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5]]),Matrix(6, 3, [[-C_6_4+C_7_4,-C_6_5+C_7_5,-C_6_6+C_7_6],[-C_1_4+C_8_4,-C_1_5+C_8_5,-C_1_6+C_8_6],[-C_2_4+C_9_4,-C_2_5+C_9_5,-C_2_6+C_9_6],[-C_3_4+C_10_4,-C_3_5+C_10_5,-C_3_6+C_10_6],[-C_4_4+C_11_4,-C_4_5+C_11_5,-C_4_6+C_11_6],[-C_5_4+C_12_4,-C_5_5+C_12_5,-C_5_6+C_12_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 3, [[-A_1_5,A_1_3-A_1_6,A_1_4-A_1_7],[-A_2_5,A_2_3-A_2_6,A_2_4-A_2_7],[-A_3_5,-A_3_6+A_3_3,A_3_4-A_3_7]]),Matrix(3, 6, [[B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12],[B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12],[B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12]]),Matrix(6, 3, [[C_6_1-C_7_1+C_6_4-C_7_4,C_6_2-C_7_2+C_6_5-C_7_5,C_6_3-C_7_3+C_6_6-C_7_6],[C_1_1-C_8_1+C_1_4-C_8_4,C_1_2-C_8_2+C_1_5-C_8_5,C_1_3-C_8_3+C_1_6-C_8_6],[C_2_1-C_9_1+C_2_4-C_9_4,C_2_2-C_9_2+C_2_5-C_9_5,C_2_3-C_9_3+C_2_6-C_9_6],[C_3_1-C_10_1+C_3_4-C_10_4,C_3_2-C_10_2+C_3_5-C_10_5,C_3_3-C_10_3+C_3_6-C_10_6],[C_4_1-C_11_1+C_4_4-C_11_4,C_4_2-C_11_2+C_4_5-C_11_5,C_4_3-C_11_3+C_4_6-C_11_6],[C_5_1-C_12_1+C_5_4-C_12_4,C_5_2-C_12_2+C_5_5-C_12_5,C_5_3-C_12_3+C_5_6-C_12_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_4_3,A_4_4],[A_5_3,A_5_4],[A_6_3,A_6_4]]),Matrix(2, 6, [[B_3_6+B_2_7+B_3_7,B_3_1+B_2_8+B_3_8,B_3_2+B_2_9+B_3_9,B_3_3+B_2_10+B_3_10,B_3_4+B_2_11+B_3_11,B_3_5+B_2_12+B_3_12],[B_4_6+B_1_7+B_4_7,B_4_1+B_1_8+B_4_8,B_4_2+B_1_9+B_4_9,B_4_3+B_1_10+B_4_10,B_4_4+B_1_11+B_4_11,B_4_5+B_1_12+B_4_12]]),Matrix(6, 3, [[C_7_4,C_7_5,C_7_6],[C_8_4,C_8_5,C_8_6],[C_9_4,C_9_5,C_9_6],[C_10_4,C_10_5,C_10_6],[C_11_4,C_11_5,C_11_6],[C_12_4,C_12_5,C_12_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_1_2-A_4_2-A_1_3+A_4_3,A_1_1-A_4_1-A_1_4+A_4_4],[A_2_2-A_5_2-A_2_3+A_5_3,A_2_1-A_5_1-A_2_4+A_5_4],[A_3_2-A_6_2-A_3_3+A_6_3,A_3_1-A_6_1-A_3_4+A_6_4]]),Matrix(2, 7, [[B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16,B_3_17,B_3_18,B_3_19],[B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16,B_4_17,B_4_18,B_4_19]]),Matrix(7, 3, [[-C_13_1,-C_13_2,-C_13_3],[-C_7_1-C_14_1,-C_7_2-C_14_2,-C_7_3-C_14_3],[-C_8_1-C_15_1,-C_8_2-C_15_2,-C_8_3-C_15_3],[-C_9_1-C_16_1,-C_9_2-C_16_2,-C_9_3-C_16_3],[-C_10_1-C_17_1,-C_10_2-C_17_2,-C_10_3-C_17_3],[-C_11_1-C_18_1,-C_11_2-C_18_2,-C_11_3-C_18_3],[-C_12_1-C_19_1,-C_12_2-C_19_2,-C_12_3-C_19_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_4_2-A_4_6,A_4_1-A_4_7],[A_5_2-A_5_6,A_5_1-A_5_7],[A_6_2-A_6_6,A_6_1-A_6_7]]),Matrix(2, 6, [[B_2_6,B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5],[B_1_6,B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5]]),Matrix(6, 3, [[C_6_4+C_14_4,C_6_5+C_14_5,C_6_6+C_14_6],[C_1_4+C_15_4,C_1_5+C_15_5,C_1_6+C_15_6],[C_2_4+C_16_4,C_2_5+C_16_5,C_2_6+C_16_6],[C_3_4+C_17_4,C_3_5+C_17_5,C_3_6+C_17_6],[C_4_4+C_18_4,C_4_5+C_18_5,C_4_6+C_18_6],[C_5_4+C_19_4,C_5_5+C_19_5,C_5_6+C_19_6]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 2, [[A_1_2-A_4_2,A_1_1-A_4_1],[A_2_2-A_5_2,A_2_1-A_5_1],[A_3_2-A_6_2,A_3_1-A_6_1]]),Matrix(2, 7, [[-B_2_13-B_3_13,B_2_6-B_2_14-B_3_14,B_2_1-B_2_15-B_3_15,B_2_2-B_2_16-B_3_16,B_2_3-B_2_17-B_3_17,B_2_4-B_2_18-B_3_18,B_2_5-B_2_19-B_3_19],[-B_1_13-B_4_13,B_1_6-B_1_14-B_4_14,B_1_1-B_1_15-B_4_15,B_1_2-B_1_16-B_4_16,B_1_3-B_1_17-B_4_17,B_1_4-B_1_18-B_4_18,B_1_5-B_1_19-B_4_19]]),Matrix(7, 3, [[C_13_4,C_13_5,C_13_6],[C_14_4,C_14_5,C_14_6],[C_15_4,C_15_5,C_15_6],[C_16_4,C_16_5,C_16_6],[C_17_4,C_17_5,C_17_6],[C_18_4,C_18_5,C_18_6],[C_19_4,C_19_5,C_19_6]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.

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