Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨5×9×9:296⟩

Algorithm type

X4Y4Z4+X4Y3Z4+X4Y4Z2+X4Y3Z3+3X3Y4Z3+2X3Y3Z4+X2Y6Z2+X2Y4Z4+X5Y2Z2+7X3Y3Z3+X2Y6Z+2X2Y2Z5+2X5Y2Z+2X5YZ2+X3Y4Z+X3Y3Z2+7X2Y4Z2+X2YZ5+XY4Z3+XY3Z4+XY2Z5+X5YZ+2X3Y2Z2+2X2Y3Z2+X2YZ4+XY4Z2+X3Y2Z+65X2Y2Z2+2XY4Z+2XY3Z2+2XY2Z3+11X3YZ+6X2Y2Z+21XY3Z+7XY2Z2+11XYZ3+3X2YZ+53XY2Z+3XYZ2+63XYZX4Y4Z4X4Y3Z4X4Y4Z2X4Y3Z33X3Y4Z32X3Y3Z4X2Y6Z2X2Y4Z4X5Y2Z27X3Y3Z3X2Y6Z2X2Y2Z52X5Y2Z2X5YZ2X3Y4ZX3Y3Z27X2Y4Z2X2YZ5XY4Z3XY3Z4XY2Z5X5YZ2X3Y2Z22X2Y3Z2X2YZ4XY4Z2X3Y2Z65X2Y2Z22XY4Z2XY3Z22XY2Z311X3YZ6X2Y2Z21XY3Z7XY2Z211XYZ33X2YZ53XY2Z3XYZ263XYZX^4*Y^4*Z^4+X^4*Y^3*Z^4+X^4*Y^4*Z^2+X^4*Y^3*Z^3+3*X^3*Y^4*Z^3+2*X^3*Y^3*Z^4+X^2*Y^6*Z^2+X^2*Y^4*Z^4+X^5*Y^2*Z^2+7*X^3*Y^3*Z^3+X^2*Y^6*Z+2*X^2*Y^2*Z^5+2*X^5*Y^2*Z+2*X^5*Y*Z^2+X^3*Y^4*Z+X^3*Y^3*Z^2+7*X^2*Y^4*Z^2+X^2*Y*Z^5+X*Y^4*Z^3+X*Y^3*Z^4+X*Y^2*Z^5+X^5*Y*Z+2*X^3*Y^2*Z^2+2*X^2*Y^3*Z^2+X^2*Y*Z^4+X*Y^4*Z^2+X^3*Y^2*Z+65*X^2*Y^2*Z^2+2*X*Y^4*Z+2*X*Y^3*Z^2+2*X*Y^2*Z^3+11*X^3*Y*Z+6*X^2*Y^2*Z+21*X*Y^3*Z+7*X*Y^2*Z^2+11*X*Y*Z^3+3*X^2*Y*Z+53*X*Y^2*Z+3*X*Y*Z^2+63*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨5×9×9:296⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨5×9×9:296⟩ = ⟨3×4×4:38⟩ + ⟨3×4×4:38⟩ + ⟨2×5×5:40⟩ + ⟨3×5×5:58⟩ + ⟨2×5×4:33⟩ + ⟨2×4×5:33⟩ + ⟨3×5×5:58⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5=TraceMulA_1_1-A_1_6A_1_2-A_1_7A_1_3-A_1_8A_1_4-A_1_9A_4_1-A_4_6A_4_2-A_4_7A_4_3-A_4_8A_4_4-A_4_9A_5_1-A_5_6A_5_2-A_5_7A_5_3-A_5_8A_5_4-A_5_9B_1_1-B_1_6B_1_2-B_1_7B_1_3-B_1_8B_1_4-B_1_9B_2_1-B_2_6B_2_2-B_2_7B_2_3-B_2_8B_2_4-B_2_9B_3_1-B_3_6B_3_2-B_3_7B_3_3-B_3_8B_3_4-B_3_9B_4_1-B_4_6B_4_2-B_4_7B_4_3-B_4_8B_4_4-B_4_9C_1_1-C_1_2+C_1_4-C_1_3+C_1_5C_2_1-C_2_2+C_2_4-C_2_3+C_2_5C_3_1-C_3_2+C_3_4-C_3_3+C_3_5C_4_1-C_4_2+C_4_4-C_4_3+C_4_5+TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1+A_4_1A_2_2+A_4_2A_2_3+A_4_3A_2_4+A_4_4A_3_1+A_5_1A_3_2+A_5_2A_3_3+A_5_3A_3_4+A_5_4B_1_1+B_6_1B_1_2+B_6_2B_1_3+B_6_3B_1_4+B_6_4B_2_1+B_7_1B_2_2+B_7_2B_2_3+B_7_3B_2_4+B_7_4B_3_1+B_8_1B_3_2+B_8_2B_3_3+B_8_3B_3_4+B_8_4B_4_1+B_9_1B_4_2+B_9_2B_4_3+B_9_3B_4_4+B_9_4C_1_1+C_6_1C_1_4+C_6_4C_1_5+C_6_5C_2_1+C_7_1C_2_4+C_7_4C_2_5+C_7_5C_3_1+C_8_1C_3_4+C_8_4C_3_5+C_8_5C_4_1+C_9_1C_4_4+C_9_4C_4_5+C_9_5+TraceMulA_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9C_5_2C_5_3C_6_2C_6_3C_7_2C_7_3C_8_2C_8_3C_9_2C_9_3+TraceMulA_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9B_5_5-B_5_1+B_5_6-B_5_2+B_5_7-B_5_3+B_5_8-B_5_4+B_5_9B_1_5+B_6_5-B_1_1-B_6_1+B_1_6+B_6_6-B_1_2-B_6_2+B_1_7+B_6_7-B_1_3-B_6_3+B_1_8+B_6_8-B_1_4-B_6_4+B_1_9+B_6_9B_2_5+B_7_5-B_2_1-B_7_1+B_2_6+B_7_6-B_2_2-B_7_2+B_2_7+B_7_7-B_2_3-B_7_3+B_2_8+B_7_8-B_2_4-B_7_4+B_2_9+B_7_9B_3_5+B_8_5-B_3_1-B_8_1+B_3_6+B_8_6-B_3_2-B_8_2+B_3_7+B_8_7-B_3_3-B_8_3+B_3_8+B_8_8-B_3_4-B_8_4+B_3_9+B_8_9B_4_5+B_9_5-B_4_1-B_9_1+B_4_6+B_9_6-B_4_2-B_9_2+B_4_7+B_9_7-B_4_3-B_9_3+B_4_8+B_9_8-B_4_4-B_9_4+B_4_9+B_9_9C_5_1C_5_4C_5_5C_6_1C_6_4C_6_5C_7_1C_7_4C_7_5C_8_1C_8_4C_8_5C_9_1C_9_4C_9_5+TraceMulA_2_5+A_4_5-A_2_1-A_4_1+A_2_6+A_4_6-A_2_2-A_4_2+A_2_7+A_4_7-A_2_3-A_4_3+A_2_8+A_4_8-A_2_4-A_4_4+A_2_9+A_4_9A_3_5+A_5_5-A_3_1-A_5_1+A_3_6+A_5_6-A_3_2-A_5_2+A_3_7+A_5_7-A_3_3-A_5_3+A_3_8+A_5_8-A_3_4-A_5_4+A_3_9+A_5_9B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4C_1_2C_1_3C_2_2C_2_3C_3_2C_3_3C_4_2C_4_3+TraceMulA_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9C_5_2-C_5_4C_5_3-C_5_5C_1_2+C_6_2-C_1_4-C_6_4C_1_3+C_6_3-C_1_5-C_6_5C_2_2+C_7_2-C_2_4-C_7_4C_2_3+C_7_3-C_2_5-C_7_5C_3_2+C_8_2-C_3_4-C_8_4C_3_3+C_8_3-C_3_5-C_8_5C_4_2+C_9_2-C_4_4-C_9_4C_4_3+C_9_3-C_4_5-C_9_5+TraceMulA_1_5-A_1_1+A_1_6-A_1_2+A_1_7-A_1_3+A_1_8-A_1_4+A_1_9A_4_5-A_2_1-A_4_1+A_4_6-A_2_2-A_4_2+A_4_7-A_2_3-A_4_3+A_4_8-A_2_4-A_4_4+A_4_9A_5_5-A_3_1-A_5_1+A_5_6-A_3_2-A_5_2+A_5_7-A_3_3-A_5_3+A_5_8-A_3_4-A_5_4+A_5_90B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4-B_1_5B_1_1+B_6_1-B_1_6B_1_2+B_6_2-B_1_7B_1_3+B_6_3-B_1_8B_1_4+B_6_4-B_1_9-B_2_5B_2_1+B_7_1-B_2_6B_2_2+B_7_2-B_2_7B_2_3+B_7_3-B_2_8B_2_4+B_7_4-B_2_9-B_3_5B_3_1+B_8_1-B_3_6B_3_2+B_8_2-B_3_7B_3_3+B_8_3-B_3_8B_3_4+B_8_4-B_3_9-B_4_5B_4_1+B_9_1-B_4_6B_4_2+B_9_2-B_4_7B_4_3+B_9_3-B_4_8B_4_4+B_9_4-B_4_9C_5_1C_5_4C_5_5C_1_1+C_6_1-C_1_2+C_1_4+C_6_4-C_1_3+C_1_5+C_6_5C_2_1+C_7_1-C_2_2+C_2_4+C_7_4-C_2_3+C_2_5+C_7_5C_3_1+C_8_1-C_3_2+C_3_4+C_8_4-C_3_3+C_3_5+C_8_5C_4_1+C_9_1-C_4_2+C_4_4+C_9_4-C_4_3+C_4_5+C_9_5TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_1_5C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_2_5C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_3_5C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_4_5C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_5_5C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_6_5C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_7_5C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_8_5C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_9_5TraceMulA_1_1A_1_6A_1_2A_1_7A_1_3A_1_8A_1_4A_1_9A_4_1A_4_6A_4_2A_4_7A_4_3A_4_8A_4_4A_4_9A_5_1A_5_6A_5_2A_5_7A_5_3A_5_8A_5_4A_5_9B_1_1B_1_6B_1_2B_1_7B_1_3B_1_8B_1_4B_1_9B_2_1B_2_6B_2_2B_2_7B_2_3B_2_8B_2_4B_2_9B_3_1B_3_6B_3_2B_3_7B_3_3B_3_8B_3_4B_3_9B_4_1B_4_6B_4_2B_4_7B_4_3B_4_8B_4_4B_4_9C_1_1C_1_2C_1_4C_1_3C_1_5C_2_1C_2_2C_2_4C_2_3C_2_5C_3_1C_3_2C_3_4C_3_3C_3_5C_4_1C_4_2C_4_4C_4_3C_4_5TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_4_1A_2_2A_4_2A_2_3A_4_3A_2_4A_4_4A_3_1A_5_1A_3_2A_5_2A_3_3A_5_3A_3_4A_5_4B_1_1B_6_1B_1_2B_6_2B_1_3B_6_3B_1_4B_6_4B_2_1B_7_1B_2_2B_7_2B_2_3B_7_3B_2_4B_7_4B_3_1B_8_1B_3_2B_8_2B_3_3B_8_3B_3_4B_8_4B_4_1B_9_1B_4_2B_9_2B_4_3B_9_3B_4_4B_9_4C_1_1C_6_1C_1_4C_6_4C_1_5C_6_5C_2_1C_7_1C_2_4C_7_4C_2_5C_7_5C_3_1C_8_1C_3_4C_8_4C_3_5C_8_5C_4_1C_9_1C_4_4C_9_4C_4_5C_9_5TraceMulA_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9C_5_2C_5_3C_6_2C_6_3C_7_2C_7_3C_8_2C_8_3C_9_2C_9_3TraceMulA_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9B_5_5B_5_1B_5_6B_5_2B_5_7B_5_3B_5_8B_5_4B_5_9B_1_5B_6_5B_1_1B_6_1B_1_6B_6_6B_1_2B_6_2B_1_7B_6_7B_1_3B_6_3B_1_8B_6_8B_1_4B_6_4B_1_9B_6_9B_2_5B_7_5B_2_1B_7_1B_2_6B_7_6B_2_2B_7_2B_2_7B_7_7B_2_3B_7_3B_2_8B_7_8B_2_4B_7_4B_2_9B_7_9B_3_5B_8_5B_3_1B_8_1B_3_6B_8_6B_3_2B_8_2B_3_7B_8_7B_3_3B_8_3B_3_8B_8_8B_3_4B_8_4B_3_9B_8_9B_4_5B_9_5B_4_1B_9_1B_4_6B_9_6B_4_2B_9_2B_4_7B_9_7B_4_3B_9_3B_4_8B_9_8B_4_4B_9_4B_4_9B_9_9C_5_1C_5_4C_5_5C_6_1C_6_4C_6_5C_7_1C_7_4C_7_5C_8_1C_8_4C_8_5C_9_1C_9_4C_9_5TraceMulA_2_5A_4_5A_2_1A_4_1A_2_6A_4_6A_2_2A_4_2A_2_7A_4_7A_2_3A_4_3A_2_8A_4_8A_2_4A_4_4A_2_9A_4_9A_3_5A_5_5A_3_1A_5_1A_3_6A_5_6A_3_2A_5_2A_3_7A_5_7A_3_3A_5_3A_3_8A_5_8A_3_4A_5_4A_3_9A_5_9B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4C_1_2C_1_3C_2_2C_2_3C_3_2C_3_3C_4_2C_4_3TraceMulA_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9C_5_2C_5_4C_5_3C_5_5C_1_2C_6_2C_1_4C_6_4C_1_3C_6_3C_1_5C_6_5C_2_2C_7_2C_2_4C_7_4C_2_3C_7_3C_2_5C_7_5C_3_2C_8_2C_3_4C_8_4C_3_3C_8_3C_3_5C_8_5C_4_2C_9_2C_4_4C_9_4C_4_3C_9_3C_4_5C_9_5TraceMulA_1_5A_1_1A_1_6A_1_2A_1_7A_1_3A_1_8A_1_4A_1_9A_4_5A_2_1A_4_1A_4_6A_2_2A_4_2A_4_7A_2_3A_4_3A_4_8A_2_4A_4_4A_4_9A_5_5A_3_1A_5_1A_5_6A_3_2A_5_2A_5_7A_3_3A_5_3A_5_8A_3_4A_5_4A_5_90B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_1_5B_1_1B_6_1B_1_6B_1_2B_6_2B_1_7B_1_3B_6_3B_1_8B_1_4B_6_4B_1_9B_2_5B_2_1B_7_1B_2_6B_2_2B_7_2B_2_7B_2_3B_7_3B_2_8B_2_4B_7_4B_2_9B_3_5B_3_1B_8_1B_3_6B_3_2B_8_2B_3_7B_3_3B_8_3B_3_8B_3_4B_8_4B_3_9B_4_5B_4_1B_9_1B_4_6B_4_2B_9_2B_4_7B_4_3B_9_3B_4_8B_4_4B_9_4B_4_9C_5_1C_5_4C_5_5C_1_1C_6_1C_1_2C_1_4C_6_4C_1_3C_1_5C_6_5C_2_1C_7_1C_2_2C_2_4C_7_4C_2_3C_2_5C_7_5C_3_1C_8_1C_3_2C_3_4C_8_4C_3_3C_3_5C_8_5C_4_1C_9_1C_4_2C_4_4C_9_4C_4_3C_4_5C_9_5Trace(Mul(Matrix(5, 9, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7,A_1_8,A_1_9],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7,A_2_8,A_2_9],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7,A_3_8,A_3_9],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_9]]),Matrix(9, 9, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9]]),Matrix(9, 5, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5]]))) = Trace(Mul(Matrix(3, 4, [[A_1_1-A_1_6,A_1_2-A_1_7,A_1_3-A_1_8,A_1_4-A_1_9],[A_4_1-A_4_6,A_4_2-A_4_7,A_4_3-A_4_8,A_4_4-A_4_9],[A_5_1-A_5_6,A_5_2-A_5_7,A_5_3-A_5_8,A_5_4-A_5_9]]),Matrix(4, 4, [[B_1_1-B_1_6,B_1_2-B_1_7,B_1_3-B_1_8,B_1_4-B_1_9],[B_2_1-B_2_6,B_2_2-B_2_7,B_2_3-B_2_8,B_2_4-B_2_9],[B_3_1-B_3_6,B_3_2-B_3_7,B_3_3-B_3_8,B_3_4-B_3_9],[B_4_1-B_4_6,B_4_2-B_4_7,B_4_3-B_4_8,B_4_4-B_4_9]]),Matrix(4, 3, [[C_1_1,-C_1_2+C_1_4,-C_1_3+C_1_5],[C_2_1,-C_2_2+C_2_4,-C_2_3+C_2_5],[C_3_1,-C_3_2+C_3_4,-C_3_3+C_3_5],[C_4_1,-C_4_2+C_4_4,-C_4_3+C_4_5]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 4, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4],[A_2_1+A_4_1,A_2_2+A_4_2,A_2_3+A_4_3,A_2_4+A_4_4],[A_3_1+A_5_1,A_3_2+A_5_2,A_3_3+A_5_3,A_3_4+A_5_4]]),Matrix(4, 4, [[B_1_1+B_6_1,B_1_2+B_6_2,B_1_3+B_6_3,B_1_4+B_6_4],[B_2_1+B_7_1,B_2_2+B_7_2,B_2_3+B_7_3,B_2_4+B_7_4],[B_3_1+B_8_1,B_3_2+B_8_2,B_3_3+B_8_3,B_3_4+B_8_4],[B_4_1+B_9_1,B_4_2+B_9_2,B_4_3+B_9_3,B_4_4+B_9_4]]),Matrix(4, 3, [[C_1_1+C_6_1,C_1_4+C_6_4,C_1_5+C_6_5],[C_2_1+C_7_1,C_2_4+C_7_4,C_2_5+C_7_5],[C_3_1+C_8_1,C_3_4+C_8_4,C_3_5+C_8_5],[C_4_1+C_9_1,C_4_4+C_9_4,C_4_5+C_9_5]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 5, [[A_2_5,A_2_6,A_2_7,A_2_8,A_2_9],[A_3_5,A_3_6,A_3_7,A_3_8,A_3_9]]),Matrix(5, 5, [[B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9],[B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9],[B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9],[B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9],[B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9]]),Matrix(5, 2, [[C_5_2,C_5_3],[C_6_2,C_6_3],[C_7_2,C_7_3],[C_8_2,C_8_3],[C_9_2,C_9_3]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_5,A_1_6,A_1_7,A_1_8,A_1_9],[A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8,A_4_9],[A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_9]]),Matrix(5, 5, [[B_5_5,-B_5_1+B_5_6,-B_5_2+B_5_7,-B_5_3+B_5_8,-B_5_4+B_5_9],[B_1_5+B_6_5,-B_1_1-B_6_1+B_1_6+B_6_6,-B_1_2-B_6_2+B_1_7+B_6_7,-B_1_3-B_6_3+B_1_8+B_6_8,-B_1_4-B_6_4+B_1_9+B_6_9],[B_2_5+B_7_5,-B_2_1-B_7_1+B_2_6+B_7_6,-B_2_2-B_7_2+B_2_7+B_7_7,-B_2_3-B_7_3+B_2_8+B_7_8,-B_2_4-B_7_4+B_2_9+B_7_9],[B_3_5+B_8_5,-B_3_1-B_8_1+B_3_6+B_8_6,-B_3_2-B_8_2+B_3_7+B_8_7,-B_3_3-B_8_3+B_3_8+B_8_8,-B_3_4-B_8_4+B_3_9+B_8_9],[B_4_5+B_9_5,-B_4_1-B_9_1+B_4_6+B_9_6,-B_4_2-B_9_2+B_4_7+B_9_7,-B_4_3-B_9_3+B_4_8+B_9_8,-B_4_4-B_9_4+B_4_9+B_9_9]]),Matrix(5, 3, [[C_5_1,C_5_4,C_5_5],[C_6_1,C_6_4,C_6_5],[C_7_1,C_7_4,C_7_5],[C_8_1,C_8_4,C_8_5],[C_9_1,C_9_4,C_9_5]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 5, [[A_2_5+A_4_5,-A_2_1-A_4_1+A_2_6+A_4_6,-A_2_2-A_4_2+A_2_7+A_4_7,-A_2_3-A_4_3+A_2_8+A_4_8,-A_2_4-A_4_4+A_2_9+A_4_9],[A_3_5+A_5_5,-A_3_1-A_5_1+A_3_6+A_5_6,-A_3_2-A_5_2+A_3_7+A_5_7,-A_3_3-A_5_3+A_3_8+A_5_8,-A_3_4-A_5_4+A_3_9+A_5_9]]),Matrix(5, 4, [[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4]]),Matrix(4, 2, [[C_1_2,C_1_3],[C_2_2,C_2_3],[C_3_2,C_3_3],[C_4_2,C_4_3]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4]]),Matrix(4, 5, [[B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9],[B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9],[B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9],[B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9]]),Matrix(5, 2, [[C_5_2-C_5_4,C_5_3-C_5_5],[C_1_2+C_6_2-C_1_4-C_6_4,C_1_3+C_6_3-C_1_5-C_6_5],[C_2_2+C_7_2-C_2_4-C_7_4,C_2_3+C_7_3-C_2_5-C_7_5],[C_3_2+C_8_2-C_3_4-C_8_4,C_3_3+C_8_3-C_3_5-C_8_5],[C_4_2+C_9_2-C_4_4-C_9_4,C_4_3+C_9_3-C_4_5-C_9_5]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_1_5,-A_1_1+A_1_6,-A_1_2+A_1_7,-A_1_3+A_1_8,-A_1_4+A_1_9],[A_4_5,-A_2_1-A_4_1+A_4_6,-A_2_2-A_4_2+A_4_7,-A_2_3-A_4_3+A_4_8,-A_2_4-A_4_4+A_4_9],[A_5_5,-A_3_1-A_5_1+A_5_6,-A_3_2-A_5_2+A_5_7,-A_3_3-A_5_3+A_5_8,-A_3_4-A_5_4+A_5_9]]),Matrix(5, 5, [[0,B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4],[-B_1_5,B_1_1+B_6_1-B_1_6,B_1_2+B_6_2-B_1_7,B_1_3+B_6_3-B_1_8,B_1_4+B_6_4-B_1_9],[-B_2_5,B_2_1+B_7_1-B_2_6,B_2_2+B_7_2-B_2_7,B_2_3+B_7_3-B_2_8,B_2_4+B_7_4-B_2_9],[-B_3_5,B_3_1+B_8_1-B_3_6,B_3_2+B_8_2-B_3_7,B_3_3+B_8_3-B_3_8,B_3_4+B_8_4-B_3_9],[-B_4_5,B_4_1+B_9_1-B_4_6,B_4_2+B_9_2-B_4_7,B_4_3+B_9_3-B_4_8,B_4_4+B_9_4-B_4_9]]),Matrix(5, 3, [[C_5_1,C_5_4,C_5_5],[C_1_1+C_6_1,-C_1_2+C_1_4+C_6_4,-C_1_3+C_1_5+C_6_5],[C_2_1+C_7_1,-C_2_2+C_2_4+C_7_4,-C_2_3+C_2_5+C_7_5],[C_3_1+C_8_1,-C_3_2+C_3_4+C_8_4,-C_3_3+C_3_5+C_8_5],[C_4_1+C_9_1,-C_4_2+C_4_4+C_9_4,-C_4_3+C_4_5+C_9_5]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


Back to main table