Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨4×7×9:188⟩

Algorithm type

3X4Y4Z4+X4Y3Z4+X3Y3Z3+3X2Y5Z2+2X3Y2Z3+4X2Y4Z2+44X2Y2Z2+XY4Z+6X2YZ2+17XY3Z+33XY2Z+73XYZ3X4Y4Z4X4Y3Z4X3Y3Z33X2Y5Z22X3Y2Z34X2Y4Z244X2Y2Z2XY4Z6X2YZ217XY3Z33XY2Z73XYZ3*X^4*Y^4*Z^4+X^4*Y^3*Z^4+X^3*Y^3*Z^3+3*X^2*Y^5*Z^2+2*X^3*Y^2*Z^3+4*X^2*Y^4*Z^2+44*X^2*Y^2*Z^2+X*Y^4*Z+6*X^2*Y*Z^2+17*X*Y^3*Z+33*X*Y^2*Z+73*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨4×7×9:188⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨4×7×9:188⟩ = ⟨2×4×5:33⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×5:25⟩ + ⟨2×4×5:33⟩ + ⟨2×3×5:25⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×4:20⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4=TraceMulA_2_3A_1_4+A_2_5A_1_1+A_2_2A_1_6+A_2_7A_4_3A_4_5+A_3_4A_3_1+A_4_2A_3_6+A_4_7B_3_5B_3_2B_3_7B_3_4B_3_9B_5_5B_4_1+B_5_2B_4_6+B_5_7B_4_3+B_5_4B_4_8+B_5_9B_2_5B_2_2+B_1_1B_1_6+B_2_7B_1_3+B_2_4B_1_8+B_2_9B_7_5B_6_1+B_7_2B_6_6+B_7_7B_6_3+B_7_4B_6_8+B_7_9C_5_2C_5_4C_1_1+C_2_2C_1_3+C_2_4C_6_1+C_7_2C_6_3+C_7_4C_3_1+C_4_2C_3_3+C_4_4C_8_1+C_9_2C_8_3+C_9_4+TraceMulA_1_3-A_2_3A_1_5-A_2_5A_1_2-A_2_2A_1_7-A_2_7A_3_3-A_4_3-A_4_5+A_3_5-A_4_2+A_3_2A_3_7-A_4_7B_3_1+B_3_2B_3_6+B_3_7B_3_3+B_3_4B_3_8+B_3_9B_5_1+B_5_2B_5_6+B_5_7B_5_3+B_5_4B_5_8+B_5_9B_2_1+B_2_2B_2_6+B_2_7B_2_3+B_2_4B_2_8+B_2_9B_7_1+B_7_2B_7_6+B_7_7B_7_3+B_7_4B_7_8+B_7_9C_1_1C_1_3C_6_1C_6_3C_3_1C_3_3C_8_1C_8_3+TraceMul-A_1_4+A_2_4A_2_1-A_1_1-A_1_6+A_2_6-A_3_4+A_4_4-A_3_1+A_4_1-A_3_6+A_4_6B_4_5B_4_1+B_4_2B_4_6+B_4_7B_4_3+B_4_4B_4_8+B_4_9B_1_5B_1_1+B_1_2B_1_6+B_1_7B_1_3+B_1_4B_1_8+B_1_9B_6_5B_6_2+B_6_1B_6_6+B_6_7B_6_3+B_6_4B_6_8+B_6_9C_5_2C_5_4C_2_2C_2_4C_7_2C_7_4C_4_2C_4_4C_9_2C_9_4+TraceMulA_1_3A_1_4+A_1_5A_1_2+A_1_1A_1_6+A_1_7A_3_3A_3_4+A_3_5A_3_1+A_3_2A_3_6+A_3_7B_3_5B_3_2B_3_7B_3_4B_3_9B_5_5B_5_2B_5_7B_5_4B_5_9B_2_5B_2_2B_2_7B_2_4B_2_9B_7_5B_7_2B_7_7B_7_4B_7_9C_5_1C_5_3-C_1_1+C_2_1-C_1_3+C_2_3-C_6_1+C_7_1C_7_3-C_6_3-C_3_1+C_4_1-C_3_3+C_4_3-C_8_1+C_9_1-C_8_3+C_9_3+TraceMulA_1_4A_1_1A_1_6A_3_4A_3_1A_3_6B_4_5-B_5_5B_4_2-B_5_2B_4_7-B_5_7B_4_4-B_5_4B_4_9-B_5_9-B_2_5+B_1_5-B_2_2+B_1_2B_1_7-B_2_7B_1_4-B_2_4B_1_9-B_2_9B_6_5-B_7_5B_6_2-B_7_2B_6_7-B_7_7B_6_4-B_7_4B_6_9-B_7_9C_5_1+C_5_2C_5_4+C_5_3C_2_1+C_2_2C_2_4+C_2_3C_7_1+C_7_2C_7_3+C_7_4C_4_1+C_4_2C_4_3+C_4_4C_9_1+C_9_2C_9_3+C_9_4+TraceMulA_2_3A_2_5A_2_2A_2_7A_4_3A_4_5A_4_2A_4_7B_3_1B_3_6B_3_3B_3_8-B_4_1+B_5_1-B_4_6+B_5_6B_5_3-B_4_3-B_4_8+B_5_8B_2_1-B_1_1B_2_6-B_1_6B_2_3-B_1_3-B_1_8+B_2_8-B_6_1+B_7_1-B_6_6+B_7_6-B_6_3+B_7_3-B_6_8+B_7_8C_1_1+C_1_2C_1_4+C_1_3C_6_1+C_6_2C_6_4+C_6_3C_3_1+C_3_2C_3_3+C_3_4C_8_1+C_8_2C_8_3+C_8_4+TraceMulA_2_4+A_2_5A_2_2+A_2_1A_2_6+A_2_7A_4_5+A_4_4A_4_1+A_4_2A_4_6+A_4_7B_4_1B_4_6B_4_3B_4_8B_1_1B_1_6B_1_3B_1_8B_6_1B_6_6B_6_3B_6_8-C_2_2+C_1_2C_1_4-C_2_4C_6_2-C_7_2C_6_4-C_7_4C_3_2-C_4_2C_3_4-C_4_4C_8_2-C_9_2C_8_4-C_9_4TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4TraceMulA_2_3A_1_4A_2_5A_1_1A_2_2A_1_6A_2_7A_4_3A_4_5A_3_4A_3_1A_4_2A_3_6A_4_7B_3_5B_3_2B_3_7B_3_4B_3_9B_5_5B_4_1B_5_2B_4_6B_5_7B_4_3B_5_4B_4_8B_5_9B_2_5B_2_2B_1_1B_1_6B_2_7B_1_3B_2_4B_1_8B_2_9B_7_5B_6_1B_7_2B_6_6B_7_7B_6_3B_7_4B_6_8B_7_9C_5_2C_5_4C_1_1C_2_2C_1_3C_2_4C_6_1C_7_2C_6_3C_7_4C_3_1C_4_2C_3_3C_4_4C_8_1C_9_2C_8_3C_9_4TraceMulA_1_3A_2_3A_1_5A_2_5A_1_2A_2_2A_1_7A_2_7A_3_3A_4_3A_4_5A_3_5A_4_2A_3_2A_3_7A_4_7B_3_1B_3_2B_3_6B_3_7B_3_3B_3_4B_3_8B_3_9B_5_1B_5_2B_5_6B_5_7B_5_3B_5_4B_5_8B_5_9B_2_1B_2_2B_2_6B_2_7B_2_3B_2_4B_2_8B_2_9B_7_1B_7_2B_7_6B_7_7B_7_3B_7_4B_7_8B_7_9C_1_1C_1_3C_6_1C_6_3C_3_1C_3_3C_8_1C_8_3TraceMulA_1_4A_2_4A_2_1A_1_1A_1_6A_2_6A_3_4A_4_4A_3_1A_4_1A_3_6A_4_6B_4_5B_4_1B_4_2B_4_6B_4_7B_4_3B_4_4B_4_8B_4_9B_1_5B_1_1B_1_2B_1_6B_1_7B_1_3B_1_4B_1_8B_1_9B_6_5B_6_2B_6_1B_6_6B_6_7B_6_3B_6_4B_6_8B_6_9C_5_2C_5_4C_2_2C_2_4C_7_2C_7_4C_4_2C_4_4C_9_2C_9_4TraceMulA_1_3A_1_4A_1_5A_1_2A_1_1A_1_6A_1_7A_3_3A_3_4A_3_5A_3_1A_3_2A_3_6A_3_7B_3_5B_3_2B_3_7B_3_4B_3_9B_5_5B_5_2B_5_7B_5_4B_5_9B_2_5B_2_2B_2_7B_2_4B_2_9B_7_5B_7_2B_7_7B_7_4B_7_9C_5_1C_5_3C_1_1C_2_1C_1_3C_2_3C_6_1C_7_1C_7_3C_6_3C_3_1C_4_1C_3_3C_4_3C_8_1C_9_1C_8_3C_9_3TraceMulA_1_4A_1_1A_1_6A_3_4A_3_1A_3_6B_4_5B_5_5B_4_2B_5_2B_4_7B_5_7B_4_4B_5_4B_4_9B_5_9B_2_5B_1_5B_2_2B_1_2B_1_7B_2_7B_1_4B_2_4B_1_9B_2_9B_6_5B_7_5B_6_2B_7_2B_6_7B_7_7B_6_4B_7_4B_6_9B_7_9C_5_1C_5_2C_5_4C_5_3C_2_1C_2_2C_2_4C_2_3C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4TraceMulA_2_3A_2_5A_2_2A_2_7A_4_3A_4_5A_4_2A_4_7B_3_1B_3_6B_3_3B_3_8B_4_1B_5_1B_4_6B_5_6B_5_3B_4_3B_4_8B_5_8B_2_1B_1_1B_2_6B_1_6B_2_3B_1_3B_1_8B_2_8B_6_1B_7_1B_6_6B_7_6B_6_3B_7_3B_6_8B_7_8C_1_1C_1_2C_1_4C_1_3C_6_1C_6_2C_6_4C_6_3C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4TraceMulA_2_4A_2_5A_2_2A_2_1A_2_6A_2_7A_4_5A_4_4A_4_1A_4_2A_4_6A_4_7B_4_1B_4_6B_4_3B_4_8B_1_1B_1_6B_1_3B_1_8B_6_1B_6_6B_6_3B_6_8C_2_2C_1_2C_1_4C_2_4C_6_2C_7_2C_6_4C_7_4C_3_2C_4_2C_3_4C_4_4C_8_2C_9_2C_8_4C_9_4Trace(Mul(Matrix(4, 7, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7]]),Matrix(7, 9, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9]]),Matrix(9, 4, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4]]))) = Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_2_3,A_1_4+A_2_5,A_1_1+A_2_2,A_1_6+A_2_7],[A_4_3,A_4_5+A_3_4,A_3_1+A_4_2,A_3_6+A_4_7]]),Matrix(4, 5, [[B_3_5,B_3_2,B_3_7,B_3_4,B_3_9],[B_5_5,B_4_1+B_5_2,B_4_6+B_5_7,B_4_3+B_5_4,B_4_8+B_5_9],[B_2_5,B_2_2+B_1_1,B_1_6+B_2_7,B_1_3+B_2_4,B_1_8+B_2_9],[B_7_5,B_6_1+B_7_2,B_6_6+B_7_7,B_6_3+B_7_4,B_6_8+B_7_9]]),Matrix(5, 2, [[C_5_2,C_5_4],[C_1_1+C_2_2,C_1_3+C_2_4],[C_6_1+C_7_2,C_6_3+C_7_4],[C_3_1+C_4_2,C_3_3+C_4_4],[C_8_1+C_9_2,C_8_3+C_9_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_3-A_2_3,A_1_5-A_2_5,A_1_2-A_2_2,A_1_7-A_2_7],[A_3_3-A_4_3,-A_4_5+A_3_5,-A_4_2+A_3_2,A_3_7-A_4_7]]),Matrix(4, 4, [[B_3_1+B_3_2,B_3_6+B_3_7,B_3_3+B_3_4,B_3_8+B_3_9],[B_5_1+B_5_2,B_5_6+B_5_7,B_5_3+B_5_4,B_5_8+B_5_9],[B_2_1+B_2_2,B_2_6+B_2_7,B_2_3+B_2_4,B_2_8+B_2_9],[B_7_1+B_7_2,B_7_6+B_7_7,B_7_3+B_7_4,B_7_8+B_7_9]]),Matrix(4, 2, [[C_1_1,C_1_3],[C_6_1,C_6_3],[C_3_1,C_3_3],[C_8_1,C_8_3]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[-A_1_4+A_2_4,A_2_1-A_1_1,-A_1_6+A_2_6],[-A_3_4+A_4_4,-A_3_1+A_4_1,-A_3_6+A_4_6]]),Matrix(3, 5, [[B_4_5,B_4_1+B_4_2,B_4_6+B_4_7,B_4_3+B_4_4,B_4_8+B_4_9],[B_1_5,B_1_1+B_1_2,B_1_6+B_1_7,B_1_3+B_1_4,B_1_8+B_1_9],[B_6_5,B_6_2+B_6_1,B_6_6+B_6_7,B_6_3+B_6_4,B_6_8+B_6_9]]),Matrix(5, 2, [[C_5_2,C_5_4],[C_2_2,C_2_4],[C_7_2,C_7_4],[C_4_2,C_4_4],[C_9_2,C_9_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_3,A_1_4+A_1_5,A_1_2+A_1_1,A_1_6+A_1_7],[A_3_3,A_3_4+A_3_5,A_3_1+A_3_2,A_3_6+A_3_7]]),Matrix(4, 5, [[B_3_5,B_3_2,B_3_7,B_3_4,B_3_9],[B_5_5,B_5_2,B_5_7,B_5_4,B_5_9],[B_2_5,B_2_2,B_2_7,B_2_4,B_2_9],[B_7_5,B_7_2,B_7_7,B_7_4,B_7_9]]),Matrix(5, 2, [[C_5_1,C_5_3],[-C_1_1+C_2_1,-C_1_3+C_2_3],[-C_6_1+C_7_1,C_7_3-C_6_3],[-C_3_1+C_4_1,-C_3_3+C_4_3],[-C_8_1+C_9_1,-C_8_3+C_9_3]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_1_4,A_1_1,A_1_6],[A_3_4,A_3_1,A_3_6]]),Matrix(3, 5, [[B_4_5-B_5_5,B_4_2-B_5_2,B_4_7-B_5_7,B_4_4-B_5_4,B_4_9-B_5_9],[-B_2_5+B_1_5,-B_2_2+B_1_2,B_1_7-B_2_7,B_1_4-B_2_4,B_1_9-B_2_9],[B_6_5-B_7_5,B_6_2-B_7_2,B_6_7-B_7_7,B_6_4-B_7_4,B_6_9-B_7_9]]),Matrix(5, 2, [[C_5_1+C_5_2,C_5_4+C_5_3],[C_2_1+C_2_2,C_2_4+C_2_3],[C_7_1+C_7_2,C_7_3+C_7_4],[C_4_1+C_4_2,C_4_3+C_4_4],[C_9_1+C_9_2,C_9_3+C_9_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_2_3,A_2_5,A_2_2,A_2_7],[A_4_3,A_4_5,A_4_2,A_4_7]]),Matrix(4, 4, [[B_3_1,B_3_6,B_3_3,B_3_8],[-B_4_1+B_5_1,-B_4_6+B_5_6,B_5_3-B_4_3,-B_4_8+B_5_8],[B_2_1-B_1_1,B_2_6-B_1_6,B_2_3-B_1_3,-B_1_8+B_2_8],[-B_6_1+B_7_1,-B_6_6+B_7_6,-B_6_3+B_7_3,-B_6_8+B_7_8]]),Matrix(4, 2, [[C_1_1+C_1_2,C_1_4+C_1_3],[C_6_1+C_6_2,C_6_4+C_6_3],[C_3_1+C_3_2,C_3_3+C_3_4],[C_8_1+C_8_2,C_8_3+C_8_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_2_4+A_2_5,A_2_2+A_2_1,A_2_6+A_2_7],[A_4_5+A_4_4,A_4_1+A_4_2,A_4_6+A_4_7]]),Matrix(3, 4, [[B_4_1,B_4_6,B_4_3,B_4_8],[B_1_1,B_1_6,B_1_3,B_1_8],[B_6_1,B_6_6,B_6_3,B_6_8]]),Matrix(4, 2, [[-C_2_2+C_1_2,C_1_4-C_2_4],[C_6_2-C_7_2,C_6_4-C_7_4],[C_3_2-C_4_2,C_3_4-C_4_4],[C_8_2-C_9_2,C_8_4-C_9_4]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


Back to main table