Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨4×4×32:374⟩

Algorithm type

X4⁢Y4⁢Z4+12⁢X3⁢Y4⁢Z3+X2⁢Y3⁢Z2+110⁢X2⁢Y2⁢Z2+12⁢X⁢Y4⁢Z+X2⁢Y2⁢Z+2⁢X2⁢Y⁢Z2+2⁢X⁢Y3⁢Z+X⁢Y⁢Z3+3⁢X2⁢Y⁢Z+8⁢X⁢Y2⁢Z+2⁢X⁢Y⁢Z2+219⁢X⁢Y⁢ZX4Y4Z412X3Y4Z3X2Y3Z2110X2Y2Z212XY4ZX2Y2Z2X2YZ22XY3ZXYZ33X2YZ8XY2Z2XYZ2219XYZX^4*Y^4*Z^4+12*X^3*Y^4*Z^3+X^2*Y^3*Z^2+110*X^2*Y^2*Z^2+12*X*Y^4*Z+X^2*Y^2*Z+2*X^2*Y*Z^2+2*X*Y^3*Z+X*Y*Z^3+3*X^2*Y*Z+8*X*Y^2*Z+2*X*Y*Z^2+219*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨4×4×32:374⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨4×4×32:374⟩ = ⟨4×4×5:62⟩ + ⟨4×4×27:312⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_1_28B_1_29B_1_30B_1_31B_1_32B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_2_28B_2_29B_2_30B_2_31B_2_32B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_3_28B_3_29B_3_30B_3_31B_3_32B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_4_28B_4_29B_4_30B_4_31B_4_32C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_19_1C_19_2C_19_3C_19_4C_20_1C_20_2C_20_3C_20_4C_21_1C_21_2C_21_3C_21_4C_22_1C_22_2C_22_3C_22_4C_23_1C_23_2C_23_3C_23_4C_24_1C_24_2C_24_3C_24_4C_25_1C_25_2C_25_3C_25_4C_26_1C_26_2C_26_3C_26_4C_27_1C_27_2C_27_3C_27_4C_28_1C_28_2C_28_3C_28_4C_29_1C_29_2C_29_3C_29_4C_30_1C_30_2C_30_3C_30_4C_31_1C_31_2C_31_3C_31_4C_32_1C_32_2C_32_3C_32_4=Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4+Trace⁡Mul⁡A_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_1_28B_1_29B_1_30B_1_31B_1_32B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_2_28B_2_29B_2_30B_2_31B_2_32B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_3_28B_3_29B_3_30B_3_31B_3_32B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_4_28B_4_29B_4_30B_4_31B_4_32C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_19_1C_19_2C_19_3C_19_4C_20_1C_20_2C_20_3C_20_4C_21_1C_21_2C_21_3C_21_4C_22_1C_22_2C_22_3C_22_4C_23_1C_23_2C_23_3C_23_4C_24_1C_24_2C_24_3C_24_4C_25_1C_25_2C_25_3C_25_4C_26_1C_26_2C_26_3C_26_4C_27_1C_27_2C_27_3C_27_4C_28_1C_28_2C_28_3C_28_4C_29_1C_29_2C_29_3C_29_4C_30_1C_30_2C_30_3C_30_4C_31_1C_31_2C_31_3C_31_4C_32_1C_32_2C_32_3C_32_4TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_1_28B_1_29B_1_30B_1_31B_1_32B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_2_28B_2_29B_2_30B_2_31B_2_32B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_3_28B_3_29B_3_30B_3_31B_3_32B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_4_28B_4_29B_4_30B_4_31B_4_32C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_19_1C_19_2C_19_3C_19_4C_20_1C_20_2C_20_3C_20_4C_21_1C_21_2C_21_3C_21_4C_22_1C_22_2C_22_3C_22_4C_23_1C_23_2C_23_3C_23_4C_24_1C_24_2C_24_3C_24_4C_25_1C_25_2C_25_3C_25_4C_26_1C_26_2C_26_3C_26_4C_27_1C_27_2C_27_3C_27_4C_28_1C_28_2C_28_3C_28_4C_29_1C_29_2C_29_3C_29_4C_30_1C_30_2C_30_3C_30_4C_31_1C_31_2C_31_3C_31_4C_32_1C_32_2C_32_3C_32_4TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5C_1_1C_1_2C_1_3C_1_4C_2_1C_2_2C_2_3C_2_4C_3_1C_3_2C_3_3C_3_4C_4_1C_4_2C_4_3C_4_4C_5_1C_5_2C_5_3C_5_4TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_1_28B_1_29B_1_30B_1_31B_1_32B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_2_28B_2_29B_2_30B_2_31B_2_32B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_3_28B_3_29B_3_30B_3_31B_3_32B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_4_28B_4_29B_4_30B_4_31B_4_32C_6_1C_6_2C_6_3C_6_4C_7_1C_7_2C_7_3C_7_4C_8_1C_8_2C_8_3C_8_4C_9_1C_9_2C_9_3C_9_4C_10_1C_10_2C_10_3C_10_4C_11_1C_11_2C_11_3C_11_4C_12_1C_12_2C_12_3C_12_4C_13_1C_13_2C_13_3C_13_4C_14_1C_14_2C_14_3C_14_4C_15_1C_15_2C_15_3C_15_4C_16_1C_16_2C_16_3C_16_4C_17_1C_17_2C_17_3C_17_4C_18_1C_18_2C_18_3C_18_4C_19_1C_19_2C_19_3C_19_4C_20_1C_20_2C_20_3C_20_4C_21_1C_21_2C_21_3C_21_4C_22_1C_22_2C_22_3C_22_4C_23_1C_23_2C_23_3C_23_4C_24_1C_24_2C_24_3C_24_4C_25_1C_25_2C_25_3C_25_4C_26_1C_26_2C_26_3C_26_4C_27_1C_27_2C_27_3C_27_4C_28_1C_28_2C_28_3C_28_4C_29_1C_29_2C_29_3C_29_4C_30_1C_30_2C_30_3C_30_4C_31_1C_31_2C_31_3C_31_4C_32_1C_32_2C_32_3C_32_4Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4]]),Matrix(4, 32, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_16,B_1_17,B_1_18,B_1_19,B_1_20,B_1_21,B_1_22,B_1_23,B_1_24,B_1_25,B_1_26,B_1_27,B_1_28,B_1_29,B_1_30,B_1_31,B_1_32],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_16,B_2_17,B_2_18,B_2_19,B_2_20,B_2_21,B_2_22,B_2_23,B_2_24,B_2_25,B_2_26,B_2_27,B_2_28,B_2_29,B_2_30,B_2_31,B_2_32],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16,B_3_17,B_3_18,B_3_19,B_3_20,B_3_21,B_3_22,B_3_23,B_3_24,B_3_25,B_3_26,B_3_27,B_3_28,B_3_29,B_3_30,B_3_31,B_3_32],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16,B_4_17,B_4_18,B_4_19,B_4_20,B_4_21,B_4_22,B_4_23,B_4_24,B_4_25,B_4_26,B_4_27,B_4_28,B_4_29,B_4_30,B_4_31,B_4_32]]),Matrix(32, 4, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4],[C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4],[C_16_1,C_16_2,C_16_3,C_16_4],[C_17_1,C_17_2,C_17_3,C_17_4],[C_18_1,C_18_2,C_18_3,C_18_4],[C_19_1,C_19_2,C_19_3,C_19_4],[C_20_1,C_20_2,C_20_3,C_20_4],[C_21_1,C_21_2,C_21_3,C_21_4],[C_22_1,C_22_2,C_22_3,C_22_4],[C_23_1,C_23_2,C_23_3,C_23_4],[C_24_1,C_24_2,C_24_3,C_24_4],[C_25_1,C_25_2,C_25_3,C_25_4],[C_26_1,C_26_2,C_26_3,C_26_4],[C_27_1,C_27_2,C_27_3,C_27_4],[C_28_1,C_28_2,C_28_3,C_28_4],[C_29_1,C_29_2,C_29_3,C_29_4],[C_30_1,C_30_2,C_30_3,C_30_4],[C_31_1,C_31_2,C_31_3,C_31_4],[C_32_1,C_32_2,C_32_3,C_32_4]]))) = Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4]]),Matrix(4, 5, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5]]),Matrix(5, 4, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4]])))+Trace(Mul(Matrix(4, 4, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4]]),Matrix(4, 27, [[B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_16,B_1_17,B_1_18,B_1_19,B_1_20,B_1_21,B_1_22,B_1_23,B_1_24,B_1_25,B_1_26,B_1_27,B_1_28,B_1_29,B_1_30,B_1_31,B_1_32],[B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_16,B_2_17,B_2_18,B_2_19,B_2_20,B_2_21,B_2_22,B_2_23,B_2_24,B_2_25,B_2_26,B_2_27,B_2_28,B_2_29,B_2_30,B_2_31,B_2_32],[B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16,B_3_17,B_3_18,B_3_19,B_3_20,B_3_21,B_3_22,B_3_23,B_3_24,B_3_25,B_3_26,B_3_27,B_3_28,B_3_29,B_3_30,B_3_31,B_3_32],[B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16,B_4_17,B_4_18,B_4_19,B_4_20,B_4_21,B_4_22,B_4_23,B_4_24,B_4_25,B_4_26,B_4_27,B_4_28,B_4_29,B_4_30,B_4_31,B_4_32]]),Matrix(27, 4, [[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4],[C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4],[C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4],[C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4],[C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4],[C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4],[C_16_1,C_16_2,C_16_3,C_16_4],[C_17_1,C_17_2,C_17_3,C_17_4],[C_18_1,C_18_2,C_18_3,C_18_4],[C_19_1,C_19_2,C_19_3,C_19_4],[C_20_1,C_20_2,C_20_3,C_20_4],[C_21_1,C_21_2,C_21_3,C_21_4],[C_22_1,C_22_2,C_22_3,C_22_4],[C_23_1,C_23_2,C_23_3,C_23_4],[C_24_1,C_24_2,C_24_3,C_24_4],[C_25_1,C_25_2,C_25_3,C_25_4],[C_26_1,C_26_2,C_26_3,C_26_4],[C_27_1,C_27_2,C_27_3,C_27_4],[C_28_1,C_28_2,C_28_3,C_28_4],[C_29_1,C_29_2,C_29_3,C_29_4],[C_30_1,C_30_2,C_30_3,C_30_4],[C_31_1,C_31_2,C_31_3,C_31_4],[C_32_1,C_32_2,C_32_3,C_32_4]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.

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