Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨4×11×20:614⟩

Algorithm type

21X4Y4Z4+3X4Y3Z4+6X3Y3Z4+7X2Y6Z2+2XY8Z+9X2Y5Z2+53X2Y4Z2+14XY6Z+9X2Y3Z2+6XY5Z+118X2Y2Z2+28XY4Z+6XY3Z2+6X2YZ2+50XY3Z+124XY2Z+152XYZ21X4Y4Z43X4Y3Z46X3Y3Z47X2Y6Z22XY8Z9X2Y5Z253X2Y4Z214XY6Z9X2Y3Z26XY5Z118X2Y2Z228XY4Z6XY3Z26X2YZ250XY3Z124XY2Z152XYZ21*X^4*Y^4*Z^4+3*X^4*Y^3*Z^4+6*X^3*Y^3*Z^4+7*X^2*Y^6*Z^2+2*X*Y^8*Z+9*X^2*Y^5*Z^2+53*X^2*Y^4*Z^2+14*X*Y^6*Z+9*X^2*Y^3*Z^2+6*X*Y^5*Z+118*X^2*Y^2*Z^2+28*X*Y^4*Z+6*X*Y^3*Z^2+6*X^2*Y*Z^2+50*X*Y^3*Z+124*X*Y^2*Z+152*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨4×11×20:614⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨4×11×20:614⟩ = ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×4:20⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×4:20⟩ + ⟨2×3×4:20⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×4:20⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×4:20⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×3×4:20⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩ + ⟨2×4×4:26⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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[[-C_1_3+C_5_3,-C_1_4+C_5_4],[-C_2_3+C_6_3,-C_2_4+C_6_4],[C_7_3-C_3_3,-C_3_4+C_7_4],[-C_4_3+C_8_3,-C_4_4+C_8_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_3_5-A_3_9,A_3_6-A_3_10,A_3_7-A_3_11],[A_4_5-A_4_9,A_4_6-A_4_10,A_4_7-A_4_11]]),Matrix(3, 4, [[B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8],[B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8],[B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8]]),Matrix(4, 2, [[-C_5_1+C_5_3,-C_5_2+C_5_4],[-C_6_1+C_6_3,-C_6_2+C_6_4],[-C_7_1+C_7_3,-C_7_2+C_7_4],[-C_8_1+C_8_3,-C_8_2+C_8_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[-A_3_8,A_3_5+A_1_5-A_3_9,A_1_6+A_3_6-A_3_10,A_1_7+A_3_7-A_3_11],[-A_4_8,A_2_5+A_4_5-A_4_9,A_2_6+A_4_6-A_4_10,A_2_7+A_4_7-A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_1+B_8_5,B_8_2+B_8_6,B_8_3+B_8_7,B_8_4+B_8_8],[B_9_1+B_5_5+B_9_5,B_9_2+B_5_6+B_9_6,B_9_3+B_5_7+B_9_7,B_9_4+B_5_8+B_9_8],[B_10_1+B_6_5+B_10_5,B_10_2+B_6_6+B_10_6,B_10_3+B_6_7+B_10_7,B_10_4+B_6_8+B_10_8],[B_11_1+B_7_5+B_11_5,B_11_2+B_7_6+B_11_6,B_11_3+B_7_7+B_11_7,B_11_4+B_7_8+B_11_8]]),Matrix(4, 2, [[C_5_1-C_1_3,C_5_2-C_1_4],[C_6_1-C_2_3,C_6_2-C_2_4],[C_7_1-C_3_3,C_7_2-C_3_4],[C_8_1-C_4_3,C_8_2-C_4_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_1_5,A_1_6,A_1_7],[A_2_5,A_2_6,A_2_7]]),Matrix(3, 4, [[B_5_1-B_5_13,B_5_2-B_5_14,B_5_3-B_5_15,B_5_4-B_5_16],[B_6_1-B_6_13,B_6_2-B_6_14,B_6_3-B_6_15,B_6_4-B_6_16],[B_7_1-B_7_13,B_7_2-B_7_14,B_7_3-B_7_15,B_7_4-B_7_16]]),Matrix(4, 2, [[-C_1_3+C_1_1,C_1_2-C_1_4],[-C_2_3+C_2_1,C_2_2-C_2_4],[-C_3_3+C_3_1,C_3_2-C_3_4],[C_4_1-C_4_3,C_4_2-C_4_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_3_5+A_1_5,A_1_6+A_3_6,A_1_7+A_3_7],[A_2_5+A_4_5,A_2_6+A_4_6,A_2_7+A_4_7]]),Matrix(3, 4, [[-B_5_1+B_1_1-B_9_1-B_5_5-B_9_5,B_1_2-B_5_2-B_9_2-B_5_6-B_9_6,B_1_3-B_5_3-B_9_3-B_5_7-B_9_7,B_1_4-B_5_4-B_9_4-B_5_8-B_9_8],[B_2_1-B_6_1-B_10_1-B_6_5-B_10_5,B_2_2-B_6_2-B_10_2-B_6_6-B_10_6,B_2_3-B_6_3-B_10_3-B_6_7-B_10_7,B_2_4-B_6_4-B_10_4-B_6_8-B_10_8],[B_3_1-B_7_1-B_11_1-B_7_5-B_11_5,B_3_2-B_7_2-B_11_2-B_7_6-B_11_6,B_3_3-B_7_3-B_11_3-B_7_7-B_11_7,B_3_4-B_7_4-B_11_4-B_7_8-B_11_8]]),Matrix(4, 2, [[-C_1_3,-C_1_4],[-C_2_3,-C_2_4],[-C_3_3,-C_3_4],[-C_4_3,-C_4_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_3_4,A_3_1+A_1_5+A_3_5,A_3_2+A_1_6+A_3_6,A_3_3+A_1_7+A_3_7],[A_4_4,A_4_1+A_2_5+A_4_5,A_4_2+A_2_6+A_4_6,A_4_3+A_2_7+A_4_7]]),Matrix(4, 4, [[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4],[B_1_1-B_5_13,B_1_2-B_5_14,B_1_3-B_5_15,B_1_4-B_5_16],[B_2_1-B_6_13,B_2_2-B_6_14,B_2_3-B_6_15,B_2_4-B_6_16],[B_3_1-B_7_13,B_3_2-B_7_14,B_3_3-B_7_15,B_3_4-B_7_16]]),Matrix(4, 2, [[-C_1_1-C_13_1+C_1_3,-C_1_2-C_13_2+C_1_4],[-C_2_1-C_14_1+C_2_3,-C_2_2-C_14_2+C_2_4],[-C_3_1-C_15_1+C_3_3,-C_3_2-C_15_2+C_3_4],[-C_4_1-C_16_1+C_4_3,-C_4_2-C_16_2+C_4_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_3_1+A_3_5,A_3_2+A_3_6,A_3_3+A_3_7],[A_4_1+A_4_5,A_4_2+A_4_6,A_4_3+A_4_7]]),Matrix(3, 4, [[B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16],[B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16],[B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16]]),Matrix(4, 2, [[-C_1_1-C_13_1+C_1_3+C_13_3,-C_1_2-C_13_2+C_1_4+C_13_4],[-C_2_1-C_14_1+C_2_3+C_14_3,-C_2_2-C_14_2+C_2_4+C_14_4],[-C_3_1-C_15_1+C_3_3+C_15_3,-C_3_2-C_15_2+C_3_4+C_15_4],[-C_4_1-C_16_1+C_4_3+C_16_3,-C_4_2-C_16_2+C_4_4+C_16_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4+A_3_4,A_1_1+A_3_1+A_1_5+A_3_5,A_1_2+A_3_2+A_1_6+A_3_6,A_1_3+A_3_3+A_1_7+A_3_7],[A_2_4+A_4_4,A_2_1+A_4_1+A_2_5+A_4_5,A_2_2+A_4_2+A_2_6+A_4_6,A_2_3+A_4_3+A_2_7+A_4_7]]),Matrix(4, 4, [[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4],[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4]]),Matrix(4, 2, [[C_1_1+C_13_1,C_1_2+C_13_2],[C_2_1+C_14_1,C_2_2+C_14_2],[C_3_1+C_15_1,C_3_2+C_15_2],[C_4_1+C_16_1,C_4_2+C_16_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_3_4,A_3_1,A_3_2,A_3_3],[A_4_4,A_4_1,A_4_2,A_4_3]]),Matrix(4, 4, [[B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8],[B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8],[B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8],[B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8]]),Matrix(4, 2, [[C_5_3-C_9_3,C_5_4-C_9_4],[C_6_3-C_10_3,C_6_4-C_10_4],[C_7_3-C_11_3,C_7_4-C_11_4],[C_8_3-C_12_3,C_8_4-C_12_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_8,A_1_9,A_1_10,A_1_11],[A_2_8,A_2_9,A_2_10,A_2_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4],[B_11_1,B_11_2,B_11_3,B_11_4]]),Matrix(4, 2, [[-C_5_1+C_1_1,-C_5_2+C_1_2],[-C_6_1+C_2_1,-C_6_2+C_2_2],[-C_7_1+C_3_1,-C_7_2+C_3_2],[-C_8_1+C_4_1,C_4_2-C_8_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[-A_1_8-A_3_8,A_3_5+A_1_5-A_1_9-A_3_9,A_1_6+A_3_6-A_1_10-A_3_10,A_1_7+A_3_7-A_1_11-A_3_11],[-A_2_8-A_4_8,A_2_5+A_4_5-A_2_9-A_4_9,A_2_6+A_4_6-A_2_10-A_4_10,A_2_7+A_4_7-A_2_11-A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[-B_8_1+B_4_5-B_8_5+B_4_9-B_8_9,-B_8_2+B_4_6-B_8_6+B_4_10-B_8_10,-B_8_3+B_4_7-B_8_7+B_4_11-B_8_11,-B_8_4+B_4_8-B_8_8+B_4_12-B_8_12],[-B_9_1+B_1_5-B_9_5+B_1_9-B_9_9,-B_9_2+B_1_6-B_9_6+B_1_10-B_9_10,-B_9_3+B_1_7-B_9_7+B_1_11-B_9_11,-B_9_4+B_1_8-B_9_8+B_1_12-B_9_12],[-B_10_1+B_2_5-B_10_5+B_2_9-B_10_9,-B_10_2+B_2_6-B_10_6+B_2_10-B_10_10,-B_10_3+B_2_7-B_10_7+B_2_11-B_10_11,-B_10_4+B_2_8-B_10_8+B_2_12-B_10_12],[-B_11_1+B_3_5-B_11_5+B_3_9-B_11_9,-B_11_2+B_3_6-B_11_6+B_3_10-B_11_10,-B_11_3+B_3_7-B_11_7+B_3_11-B_11_11,-B_11_4+B_3_8-B_11_8+B_3_12-B_11_12]]),Matrix(4, 2, [[C_5_1,C_5_2],[C_6_1,C_6_2],[C_7_1,C_7_2],[C_8_1,C_8_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4+A_1_8+A_3_8,A_1_1-A_1_5-A_3_5+A_1_9+A_3_9,A_1_2-A_1_6-A_3_6+A_1_10+A_3_10,A_1_3-A_1_7-A_3_7+A_1_11+A_3_11],[A_2_4+A_2_8+A_4_8,A_2_1-A_2_5-A_4_5+A_2_9+A_4_9,A_2_2-A_2_6-A_4_6+A_2_10+A_4_10,A_2_3-A_2_7-A_4_7+A_2_11+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_4_5+B_4_9-B_8_9,B_4_6+B_4_10-B_8_10,B_4_7+B_4_11-B_8_11,B_4_8+B_4_12-B_8_12],[B_1_5+B_1_9-B_9_9,B_1_6+B_1_10-B_9_10,B_1_7+B_1_11-B_9_11,B_1_8+B_1_12-B_9_12],[B_2_5+B_2_9-B_10_9,B_2_6+B_2_10-B_10_10,B_2_7+B_2_11-B_10_11,B_2_8+B_2_12-B_10_12],[B_3_5+B_3_9-B_11_9,B_3_6+B_3_10-B_11_10,B_3_7+B_3_11-B_11_11,B_3_8+B_3_12-B_11_12]]),Matrix(4, 2, [[C_5_1-C_9_3,C_5_2-C_9_4],[C_6_1-C_10_3,C_6_2-C_10_4],[C_7_1-C_11_3,C_7_2-C_11_4],[C_8_1-C_12_3,C_8_2-C_12_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4+A_3_4+A_1_8+A_3_8,A_1_1+A_3_1-A_1_5-A_3_5+A_1_9+A_3_9,A_1_2+A_3_2-A_1_6-A_3_6+A_1_10+A_3_10,A_1_3+A_3_3-A_1_7-A_3_7+A_1_11+A_3_11],[A_2_4+A_4_4+A_2_8+A_4_8,A_2_1+A_4_1-A_2_5-A_4_5+A_2_9+A_4_9,A_2_2+A_4_2-A_2_6-A_4_6+A_2_10+A_4_10,A_2_3+A_4_3-A_2_7-A_4_7+A_2_11+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_4_5+B_4_9-B_8_9,B_4_6+B_4_10-B_8_10,B_4_7+B_4_11-B_8_11,B_4_8+B_4_12-B_8_12],[B_1_5+B_1_9-B_5_9-B_9_9-B_5_17,B_1_6+B_1_10-B_5_10-B_9_10-B_5_18,B_1_7+B_1_11-B_5_11-B_9_11-B_5_19,B_1_8+B_1_12-B_5_12-B_9_12-B_5_20],[B_2_5+B_2_9-B_6_9-B_10_9-B_6_17,B_2_6+B_2_10-B_6_10-B_10_10-B_6_18,B_2_7+B_2_11-B_6_11-B_10_11-B_6_19,B_2_8+B_2_12-B_6_12-B_10_12-B_6_20],[B_3_5+B_3_9-B_7_9-B_11_9-B_7_17,B_3_6+B_3_10-B_7_10-B_11_10-B_7_18,B_3_7+B_3_11-B_7_11-B_11_11-B_7_19,B_3_8+B_3_12-B_7_12-B_11_12-B_7_20]]),Matrix(4, 2, [[C_9_3,C_9_4],[C_10_3,C_10_4],[C_11_3,C_11_4],[C_12_3,C_12_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4+A_3_4+A_1_8+A_3_8,A_1_1+A_3_1-A_1_5+A_1_9+A_3_9,A_1_2+A_3_2-A_1_6+A_1_10+A_3_10,A_1_3+A_3_3-A_1_7+A_1_11+A_3_11],[A_2_4+A_4_4+A_2_8+A_4_8,A_2_1+A_4_1-A_2_5+A_2_9+A_4_9,A_2_2+A_4_2-A_2_6+A_2_10+A_4_10,A_2_3+A_4_3-A_2_7+A_2_11+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12],[B_5_9+B_9_9+B_5_17,B_5_10+B_9_10+B_5_18,B_5_11+B_9_11+B_5_19,B_5_12+B_9_12+B_5_20],[B_6_9+B_10_9+B_6_17,B_6_10+B_10_10+B_6_18,B_6_11+B_10_11+B_6_19,B_6_12+B_10_12+B_6_20],[B_7_9+B_11_9+B_7_17,B_7_10+B_11_10+B_7_18,B_7_11+B_11_11+B_7_19,B_7_12+B_11_12+B_7_20]]),Matrix(4, 2, [[-C_17_1+C_9_3,-C_17_2+C_9_4],[-C_18_1+C_10_3,-C_18_2+C_10_4],[-C_19_1+C_11_3,-C_19_2+C_11_4],[-C_20_1+C_12_3,-C_20_2+C_12_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4+A_3_4+A_1_8+A_3_8,A_1_1+A_3_1+A_1_9+A_3_9,A_1_2+A_3_2+A_1_10+A_3_10,A_1_3+A_3_3+A_1_11+A_3_11],[A_2_4+A_4_4+A_2_8+A_4_8,A_2_1+A_4_1+A_2_9+A_4_9,A_2_2+A_4_2+A_2_10+A_4_10,A_2_3+A_4_3+A_2_11+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_9+B_4_17,B_8_10+B_4_18,B_8_11+B_4_19,B_8_12+B_4_20],[B_5_9+B_9_9+B_1_17+B_5_17,B_5_10+B_9_10+B_1_18+B_5_18,B_5_11+B_9_11+B_1_19+B_5_19,B_5_12+B_9_12+B_1_20+B_5_20],[B_6_9+B_10_9+B_2_17+B_6_17,B_6_10+B_10_10+B_2_18+B_6_18,B_6_11+B_10_11+B_2_19+B_6_19,B_6_12+B_10_12+B_2_20+B_6_20],[B_7_9+B_11_9+B_3_17+B_7_17,B_7_10+B_11_10+B_3_18+B_7_18,B_7_11+B_11_11+B_3_19+B_7_19,B_7_12+B_11_12+B_3_20+B_7_20]]),Matrix(4, 2, [[C_17_1,C_17_2],[C_18_1,C_18_2],[C_19_1,C_19_2],[C_20_1,C_20_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_3_4+A_1_8+A_3_8,A_3_1+A_1_9+A_3_9,A_3_2+A_1_10+A_3_10,A_3_3+A_1_11+A_3_11],[A_4_4+A_2_8+A_4_8,A_4_1+A_2_9+A_4_9,A_4_2+A_2_10+A_4_10,A_4_3+A_2_11+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_13+B_4_17-B_8_17,B_8_14+B_4_18-B_8_18,B_8_15+B_4_19-B_8_19,B_8_16+B_4_20-B_8_20],[B_9_13+B_1_17-B_9_17,B_9_14+B_1_18-B_9_18,B_9_15+B_1_19-B_9_19,B_9_16+B_1_20-B_9_20],[B_10_13+B_2_17-B_10_17,B_10_14+B_2_18-B_10_18,B_10_15+B_2_19-B_10_19,B_10_16+B_2_20-B_10_20],[B_11_13+B_3_17-B_11_17,B_11_14+B_3_18-B_11_18,B_11_15+B_3_19-B_11_19,B_11_16+B_3_20-B_11_20]]),Matrix(4, 2, [[-C_17_1+C_13_3+C_17_3,-C_17_2+C_13_4+C_17_4],[-C_18_1+C_14_3+C_18_3,-C_18_2+C_14_4+C_18_4],[-C_19_1+C_15_3+C_19_3,-C_19_2+C_15_4+C_19_4],[-C_20_1+C_16_3+C_20_3,-C_20_2+C_16_4+C_20_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_8+A_3_8,A_1_9+A_3_9,A_1_10+A_3_10,A_1_11+A_3_11],[A_2_8+A_4_8,A_2_9+A_4_9,A_2_10+A_4_10,A_2_11+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_4_17-B_8_17,B_4_18-B_8_18,B_4_19-B_8_19,B_4_20-B_8_20],[B_1_17-B_9_17,B_1_18-B_9_18,B_1_19-B_9_19,B_1_20-B_9_20],[B_2_17-B_10_17,B_2_18-B_10_18,B_2_19-B_10_19,B_2_20-B_10_20],[B_3_17-B_11_17,B_3_18-B_11_18,B_3_19-B_11_19,B_3_20-B_11_20]]),Matrix(4, 2, [[-C_13_3-C_17_3,-C_13_4-C_17_4],[-C_14_3-C_18_3,-C_14_4-C_18_4],[-C_15_3-C_19_3,-C_15_4-C_19_4],[-C_16_3-C_20_3,-C_16_4-C_20_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_3_5,A_3_6,A_3_7],[A_4_5,A_4_6,A_4_7]]),Matrix(3, 4, [[B_5_17,B_5_18,B_5_19,B_5_20],[B_6_17,B_6_18,B_6_19,B_6_20],[B_7_17,B_7_18,B_7_19,B_7_20]]),Matrix(4, 2, [[-C_9_3+C_17_3,-C_9_4+C_17_4],[-C_10_3+C_18_3,-C_10_4+C_18_4],[-C_11_3+C_19_3,-C_11_4+C_19_4],[-C_12_3+C_20_3,-C_12_4+C_20_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4,A_1_1,A_1_2,A_1_3],[A_2_4,A_2_1,A_2_2,A_2_3]]),Matrix(4, 4, [[B_4_9-B_8_9,B_4_10-B_8_10,B_4_11-B_8_11,B_4_12-B_8_12],[B_1_9-B_9_9,B_1_10-B_9_10,B_1_11-B_9_11,B_1_12-B_9_12],[B_2_9-B_10_9,B_2_10-B_10_10,B_2_11-B_10_11,B_2_12-B_10_12],[B_3_9-B_11_9,B_3_10-B_11_10,B_3_11-B_11_11,B_3_12-B_11_12]]),Matrix(4, 2, [[-C_5_1+C_9_1-C_13_1,-C_5_2+C_9_2-C_13_2],[-C_6_1+C_10_1-C_14_1,-C_6_2+C_10_2-C_14_2],[-C_7_1+C_11_1-C_15_1,-C_7_2+C_11_2-C_15_2],[-C_8_1+C_12_1-C_16_1,-C_8_2+C_12_2-C_16_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_3_4,A_3_1,A_3_2,A_3_3],[A_4_4,A_4_1,A_4_2,A_4_3]]),Matrix(4, 4, [[B_4_13-B_8_13-B_4_17+B_8_17,B_4_14-B_8_14-B_4_18+B_8_18,B_4_15-B_8_15-B_4_19+B_8_19,B_4_16-B_8_16-B_4_20+B_8_20],[B_1_13-B_5_13-B_9_13-B_1_17+B_9_17,B_1_14-B_5_14-B_9_14-B_1_18+B_9_18,B_1_15-B_5_15-B_9_15-B_1_19+B_9_19,B_1_16-B_5_16-B_9_16-B_1_20+B_9_20],[B_2_13-B_6_13-B_10_13-B_2_17+B_10_17,B_2_14-B_6_14-B_10_14-B_2_18+B_10_18,B_2_15-B_6_15-B_10_15-B_2_19+B_10_19,B_2_16-B_6_16-B_10_16-B_2_20+B_10_20],[B_3_13-B_7_13-B_11_13-B_3_17+B_11_17,B_3_14-B_7_14-B_11_14-B_3_18+B_11_18,B_3_15-B_7_15-B_11_15-B_3_19+B_11_19,B_3_16-B_7_16-B_11_16-B_3_20+B_11_20]]),Matrix(4, 2, [[C_13_3,C_13_4],[C_14_3,C_14_4],[C_15_3,C_15_4],[C_16_3,C_16_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 3, [[A_1_5,A_1_6,A_1_7],[A_2_5,A_2_6,A_2_7]]),Matrix(3, 4, [[B_5_9+B_9_9,B_5_10+B_9_10,B_5_11+B_9_11,B_5_12+B_9_12],[B_6_9+B_10_9,B_6_10+B_10_10,B_6_11+B_10_11,B_6_12+B_10_12],[B_7_9+B_11_9,B_7_10+B_11_10,B_7_11+B_11_11,B_7_12+B_11_12]]),Matrix(4, 2, [[C_9_1-C_17_1,C_9_2-C_17_2],[C_10_1-C_18_1,C_10_2-C_18_2],[C_11_1-C_19_1,C_11_2-C_19_2],[-C_20_1+C_12_1,-C_20_2+C_12_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_3_4+A_3_8,A_3_1+A_3_9,A_3_2+A_3_10,A_3_3+A_3_11],[A_4_4+A_4_8,A_4_1+A_4_9,A_4_2+A_4_10,A_4_3+A_4_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_13-B_8_17,B_8_14-B_8_18,B_8_15-B_8_19,B_8_16-B_8_20],[B_9_13-B_9_17,B_9_14-B_9_18,B_9_15-B_9_19,B_9_16-B_9_20],[B_10_13-B_10_17,B_10_14-B_10_18,B_10_15-B_10_19,B_10_16-B_10_20],[B_11_13-B_11_17,B_11_14-B_11_18,B_11_15-B_11_19,B_11_16-B_11_20]]),Matrix(4, 2, [[C_17_1-C_17_3,C_17_2-C_17_4],[C_18_1-C_18_3,C_18_2-C_18_4],[C_19_1-C_19_3,C_19_2-C_19_4],[C_20_1-C_20_3,C_20_2-C_20_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4+A_1_8,A_1_1-A_1_5+A_1_9,A_1_2-A_1_6+A_1_10,A_1_3-A_1_7+A_1_11],[A_2_4+A_2_8,A_2_1-A_2_5+A_2_9,A_2_2-A_2_6+A_2_10,A_2_3-A_2_7+A_2_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12],[B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12],[B_10_9,B_10_10,B_10_11,B_10_12],[B_11_9,B_11_10,B_11_11,B_11_12]]),Matrix(4, 2, [[-C_9_3+C_9_1,C_9_2-C_9_4],[C_10_1-C_10_3,C_10_2-C_10_4],[C_11_1-C_11_3,C_11_2-C_11_4],[C_12_1-C_12_3,C_12_2-C_12_4]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_4,A_1_1,A_1_2,A_1_3],[A_2_4,A_2_1,A_2_2,A_2_3]]),Matrix(4, 4, [[B_4_1-B_4_9+B_8_9-B_4_13,B_4_2-B_4_10+B_8_10-B_4_14,B_4_3-B_4_11+B_8_11-B_4_15,B_4_4-B_4_12+B_8_12-B_4_16],[B_1_1-B_1_9+B_9_9-B_1_13,B_1_2-B_1_10+B_9_10-B_1_14,B_1_3-B_1_11+B_9_11-B_1_15,B_1_4-B_1_12+B_9_12-B_1_16],[B_2_1-B_2_9+B_10_9-B_2_13,B_2_2-B_2_10+B_10_10-B_2_14,B_2_3-B_2_11+B_10_11-B_2_15,B_2_4-B_2_12+B_10_12-B_2_16],[B_3_1-B_3_9+B_11_9-B_3_13,B_3_2-B_3_10+B_11_10-B_3_14,B_3_3-B_3_11+B_11_11-B_3_15,B_3_4-B_3_12+B_11_12-B_3_16]]),Matrix(4, 2, [[-C_13_1,-C_13_2],[-C_14_1,-C_14_2],[-C_15_1,-C_15_2],[-C_16_1,-C_16_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 4, [[A_1_8,A_1_9,A_1_10,A_1_11],[A_2_8,A_2_9,A_2_10,A_2_11]]),Matrix(4, 4, [[B_8_13,B_8_14,B_8_15,B_8_16],[B_9_13,B_9_14,B_9_15,B_9_16],[B_10_13,B_10_14,B_10_15,B_10_16],[B_11_13,B_11_14,B_11_15,B_11_16]]),Matrix(4, 2, [[C_13_1+C_17_1-C_13_3-C_17_3,C_13_2+C_17_2-C_13_4-C_17_4],[C_14_1+C_18_1-C_14_3-C_18_3,C_14_2+C_18_2-C_14_4-C_18_4],[C_15_1+C_19_1-C_15_3-C_19_3,C_15_2+C_19_2-C_15_4-C_19_4],[C_16_1+C_20_1-C_16_3-C_20_3,C_16_2+C_20_2-C_16_4-C_20_4]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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