Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨21×24×28:7876⟩

Algorithm type

80X12Y8Z12+32X12Y7Z10+20X12Y4Z11+20X11Y4Z12+80X11Y4Z11+8X12Y3Z10+24X11Y4Z10+8X11Y4Z9+32X6Y12Z6+8X11Y3Z9+32X6Y11Z6+16X6Y11Z4+64X6Y8Z6+36X6Y6Z6+24X6Y6Z5+16X6Y5Z6+4X5Y6Z6+220X6Y6Z4+456X6Y4Z6+16X5Y6Z5+4X6Y6Z3+4X6Y5Z4+32X6Y3Z6+40X5Y4Z6+312X6Y6Z2+4X6Y5Z3+476X6Y2Z6+6X4Y4Z6+48X6Y3Z4+56X6Y2Z5+16X6YZ6+36X5Y2Z6+6X4Y4Z5+32X6Y2Z4+64X5Y2Z5+48X4Y4Z4+144X3Y6Z3+64X3Y3Z6+20X6YZ4+16X5Y2Z4+6X4Y4Z3+12X4Y3Z4+12X6Y2Z2+4X5YZ4+30X4Y3Z3+256X3Y4Z3+288X3Y3Z4+312X3Y3Z3+8X2Y4Z3+24X6YZ+72X4Y2Z2+912X3Y3Z2+880X3Y2Z3+28X2Y4Z2+36X2Y2Z4+24X4Y2Z+6X4YZ2+720X3Y3Z+744X3YZ3+28X2Y3Z2+12X2Y2Z3+6X4YZ+246X2Y2Z2+24X3YZ+54X2Y2Z+6X2YZ2+24XY2Z2+170X2YZ+72XY2Z+36XYZ2+200XYZ80X12Y8Z1232X12Y7Z1020X12Y4Z1120X11Y4Z1280X11Y4Z118X12Y3Z1024X11Y4Z108X11Y4Z932X6Y12Z68X11Y3Z932X6Y11Z616X6Y11Z464X6Y8Z636X6Y6Z624X6Y6Z516X6Y5Z64X5Y6Z6220X6Y6Z4456X6Y4Z616X5Y6Z54X6Y6Z34X6Y5Z432X6Y3Z640X5Y4Z6312X6Y6Z24X6Y5Z3476X6Y2Z66X4Y4Z648X6Y3Z456X6Y2Z516X6YZ636X5Y2Z66X4Y4Z532X6Y2Z464X5Y2Z548X4Y4Z4144X3Y6Z364X3Y3Z620X6YZ416X5Y2Z46X4Y4Z312X4Y3Z412X6Y2Z24X5YZ430X4Y3Z3256X3Y4Z3288X3Y3Z4312X3Y3Z38X2Y4Z324X6YZ72X4Y2Z2912X3Y3Z2880X3Y2Z328X2Y4Z236X2Y2Z424X4Y2Z6X4YZ2720X3Y3Z744X3YZ328X2Y3Z212X2Y2Z36X4YZ246X2Y2Z224X3YZ54X2Y2Z6X2YZ224XY2Z2170X2YZ72XY2Z36XYZ2200XYZ80*X^12*Y^8*Z^12+32*X^12*Y^7*Z^10+20*X^12*Y^4*Z^11+20*X^11*Y^4*Z^12+80*X^11*Y^4*Z^11+8*X^12*Y^3*Z^10+24*X^11*Y^4*Z^10+8*X^11*Y^4*Z^9+32*X^6*Y^12*Z^6+8*X^11*Y^3*Z^9+32*X^6*Y^11*Z^6+16*X^6*Y^11*Z^4+64*X^6*Y^8*Z^6+36*X^6*Y^6*Z^6+24*X^6*Y^6*Z^5+16*X^6*Y^5*Z^6+4*X^5*Y^6*Z^6+220*X^6*Y^6*Z^4+456*X^6*Y^4*Z^6+16*X^5*Y^6*Z^5+4*X^6*Y^6*Z^3+4*X^6*Y^5*Z^4+32*X^6*Y^3*Z^6+40*X^5*Y^4*Z^6+312*X^6*Y^6*Z^2+4*X^6*Y^5*Z^3+476*X^6*Y^2*Z^6+6*X^4*Y^4*Z^6+48*X^6*Y^3*Z^4+56*X^6*Y^2*Z^5+16*X^6*Y*Z^6+36*X^5*Y^2*Z^6+6*X^4*Y^4*Z^5+32*X^6*Y^2*Z^4+64*X^5*Y^2*Z^5+48*X^4*Y^4*Z^4+144*X^3*Y^6*Z^3+64*X^3*Y^3*Z^6+20*X^6*Y*Z^4+16*X^5*Y^2*Z^4+6*X^4*Y^4*Z^3+12*X^4*Y^3*Z^4+12*X^6*Y^2*Z^2+4*X^5*Y*Z^4+30*X^4*Y^3*Z^3+256*X^3*Y^4*Z^3+288*X^3*Y^3*Z^4+312*X^3*Y^3*Z^3+8*X^2*Y^4*Z^3+24*X^6*Y*Z+72*X^4*Y^2*Z^2+912*X^3*Y^3*Z^2+880*X^3*Y^2*Z^3+28*X^2*Y^4*Z^2+36*X^2*Y^2*Z^4+24*X^4*Y^2*Z+6*X^4*Y*Z^2+720*X^3*Y^3*Z+744*X^3*Y*Z^3+28*X^2*Y^3*Z^2+12*X^2*Y^2*Z^3+6*X^4*Y*Z+246*X^2*Y^2*Z^2+24*X^3*Y*Z+54*X^2*Y^2*Z+6*X^2*Y*Z^2+24*X*Y^2*Z^2+170*X^2*Y*Z+72*X*Y^2*Z+36*X*Y*Z^2+200*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨21×24×28:7876⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨21×24×28:7876⟩ = ⟨9×12×15:1000⟩ + ⟨9×12×15:1000⟩ + ⟨12×12×13:1168⟩ + ⟨9×12×13:900⟩ + ⟨12×12×15:1320⟩ + ⟨12×12×13:1168⟩ + ⟨12×12×15:1320⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_1_11A_1_12A_1_13A_1_14A_1_15A_1_16A_1_17A_1_18A_1_19A_1_20A_1_21A_1_22A_1_23A_1_24A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_2_11A_2_12A_2_13A_2_14A_2_15A_2_16A_2_17A_2_18A_2_19A_2_20A_2_21A_2_22A_2_23A_2_24A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10A_3_11A_3_12A_3_13A_3_14A_3_15A_3_16A_3_17A_3_18A_3_19A_3_20A_3_21A_3_22A_3_23A_3_24A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_4_10A_4_11A_4_12A_4_13A_4_14A_4_15A_4_16A_4_17A_4_18A_4_19A_4_20A_4_21A_4_22A_4_23A_4_24A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_5_10A_5_11A_5_12A_5_13A_5_14A_5_15A_5_16A_5_17A_5_18A_5_19A_5_20A_5_21A_5_22A_5_23A_5_24A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_6_10A_6_11A_6_12A_6_13A_6_14A_6_15A_6_16A_6_17A_6_18A_6_19A_6_20A_6_21A_6_22A_6_23A_6_24A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_7_11A_7_12A_7_13A_7_14A_7_15A_7_16A_7_17A_7_18A_7_19A_7_20A_7_21A_7_22A_7_23A_7_24A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_8_11A_8_12A_8_13A_8_14A_8_15A_8_16A_8_17A_8_18A_8_19A_8_20A_8_21A_8_22A_8_23A_8_24A_9_1A_9_2A_9_3A_9_4A_9_5A_9_6A_9_7A_9_8A_9_9A_9_10A_9_11A_9_12A_9_13A_9_14A_9_15A_9_16A_9_17A_9_18A_9_19A_9_20A_9_21A_9_22A_9_23A_9_24A_10_1A_10_2A_10_3A_10_4A_10_5A_10_6A_10_7A_10_8A_10_9A_10_10A_10_11A_10_12A_10_13A_10_14A_10_15A_10_16A_10_17A_10_18A_10_19A_10_20A_10_21A_10_22A_10_23A_10_24A_11_1A_11_2A_11_3A_11_4A_11_5A_11_6A_11_7A_11_8A_11_9A_11_10A_11_11A_11_12A_11_13A_11_14A_11_15A_11_16A_11_17A_11_18A_11_19A_11_20A_11_21A_11_22A_11_23A_11_24A_12_1A_12_2A_12_3A_12_4A_12_5A_12_6A_12_7A_12_8A_12_9A_12_10A_12_11A_12_12A_12_13A_12_14A_12_15A_12_16A_12_17A_12_18A_12_19A_12_20A_12_21A_12_22A_12_23A_12_24A_13_1A_13_2A_13_3A_13_4A_13_5A_13_6A_13_7A_13_8A_13_9A_13_10A_13_11A_13_12A_13_13A_13_14A_13_15A_13_16A_13_17A_13_18A_13_19A_13_20A_13_21A_13_22A_13_23A_13_24A_14_1A_14_2A_14_3A_14_4A_14_5A_14_6A_14_7A_14_8A_14_9A_14_10A_14_11A_14_12A_14_13A_14_14A_14_15A_14_16A_14_17A_14_18A_14_19A_14_20A_14_21A_14_22A_14_23A_14_24A_15_1A_15_2A_15_3A_15_4A_15_5A_15_6A_15_7A_15_8A_15_9A_15_10A_15_11A_15_12A_15_13A_15_14A_15_15A_15_16A_15_17A_15_18A_15_19A_15_20A_15_21A_15_22A_15_23A_15_24A_16_1A_16_2A_16_3A_16_4A_16_5A_16_6A_16_7A_16_8A_16_9A_16_10A_16_11A_16_12A_16_13A_16_14A_16_15A_16_16A_16_17A_16_18A_16_19A_16_20A_16_21A_16_22A_16_23A_16_24A_17_1A_17_2A_17_3A_17_4A_17_5A_17_6A_17_7A_17_8A_17_9A_17_10A_17_11A_17_12A_17_13A_17_14A_17_15A_17_16A_17_17A_17_18A_17_19A_17_20A_17_21A_17_22A_17_23A_17_24A_18_1A_18_2A_18_3A_18_4A_18_5A_18_6A_18_7A_18_8A_18_9A_18_10A_18_11A_18_12A_18_13A_18_14A_18_15A_18_16A_18_17A_18_18A_18_19A_18_20A_18_21A_18_22A_18_23A_18_24A_19_1A_19_2A_19_3A_19_4A_19_5A_19_6A_19_7A_19_8A_19_9A_19_10A_19_11A_19_12A_19_13A_19_14A_19_15A_19_16A_19_17A_19_18A_19_19A_19_20A_19_21A_19_22A_19_23A_19_24A_20_1A_20_2A_20_3A_20_4A_20_5A_20_6A_20_7A_20_8A_20_9A_20_10A_20_11A_20_12A_20_13A_20_14A_20_15A_20_16A_20_17A_20_18A_20_19A_20_20A_20_21A_20_22A_20_23A_20_24A_21_1A_21_2A_21_3A_21_4A_21_5A_21_6A_21_7A_21_8A_21_9A_21_10A_21_11A_21_12A_21_13A_21_14A_21_15A_21_16A_21_17A_21_18A_21_19A_21_20A_21_21A_21_22A_21_23A_21_24B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_1_28B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_2_28B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_3_28B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_4_28B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_5_20B_5_21B_5_22B_5_23B_5_24B_5_25B_5_26B_5_27B_5_28B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_19B_6_20B_6_21B_6_22B_6_23B_6_24B_6_25B_6_26B_6_27B_6_28B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_19B_7_20B_7_21B_7_22B_7_23B_7_24B_7_25B_7_26B_7_27B_7_28B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_8_14B_8_15B_8_16B_8_17B_8_18B_8_19B_8_20B_8_21B_8_22B_8_23B_8_24B_8_25B_8_26B_8_27B_8_28B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_9_14B_9_15B_9_16B_9_17B_9_18B_9_19B_9_20B_9_21B_9_22B_9_23B_9_24B_9_25B_9_26B_9_27B_9_28B_10_1B_10_2B_10_3B_10_4B_10_5B_10_6B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10B_10_11B_10_12B_10_13B_10_14B_10_15B_10_16B_10_17B_10_18B_10_19B_10_20B_10_21B_10_22B_10_23B_10_24B_10_25B_10_26B_10_27B_10_28B_11_1B_11_2B_11_3B_11_4B_11_5B_11_6B_11_7B_11_8B_11_9B_11_10B_11_11B_11_12B_11_13B_11_14B_11_15B_11_16B_11_17B_11_18B_11_19B_11_20B_11_21B_11_22B_11_23B_11_24B_11_25B_11_26B_11_27B_11_28B_12_1B_12_2B_12_3B_12_4B_12_5B_12_6B_12_7B_12_8B_12_9B_12_10B_1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[[C_14_7+C_27_7-C_27_10,C_14_8+C_27_8-C_27_11,C_14_9+C_27_9-C_27_12,C_14_1+C_27_1-C_27_13,C_14_2+C_27_2-C_27_14,C_14_3+C_27_3-C_27_15,C_14_4+C_27_4-C_27_16,C_14_5+C_27_5-C_27_17,C_14_6+C_27_6-C_27_18,-C_27_19,-C_27_20,-C_27_21],[C_15_7+C_28_7-C_28_10,C_15_8+C_28_8-C_28_11,C_15_9+C_28_9-C_28_12,C_15_1+C_28_1-C_28_13,C_15_2+C_28_2-C_28_14,C_15_3+C_28_3-C_28_15,C_15_4+C_28_4-C_28_16,C_15_5+C_28_5-C_28_17,C_15_6+C_28_6-C_28_18,-C_28_19,-C_28_20,-C_28_21],[C_1_7+C_16_7-C_1_10,C_1_8+C_16_8-C_1_11,C_1_9+C_16_9-C_1_12,C_1_1+C_16_1-C_1_13,C_1_2+C_16_2-C_1_14,C_1_3+C_16_3-C_1_15,C_1_4+C_16_4-C_1_16,C_1_5+C_16_5-C_1_17,C_1_6+C_16_6-C_1_18,-C_1_19,-C_1_20,-C_1_21],[C_2_7+C_17_7-C_2_10,C_2_8+C_17_8-C_2_11,C_2_9+C_17_9-C_2_12,C_2_1+C_17_1-C_2_13,C_2_2+C_17_2-C_2_14,C_2_3+C_17_3-C_2_15,C_2_4+C_17_4-C_2_16,C_2_5+C_17_5-C_2_17,C_2_6+C_17_6-C_2_18,-C_2_19,-C_2_20,-C_2_21],[C_3_7+C_18_7-C_3_10,C_3_8+C_18_8-C_3_11,C_3_9+C_18_9-C_3_12,C_3_1+C_18_1-C_3_13,C_3_2+C_18_2-C_3_14,C_3_3+C_18_3-C_3_15,C_3_4+C_18_4-C_3_16,C_3_5+C_18_5-C_3_17,C_3_6+C_18_6-C_3_18,-C_3_19,-C_3_20,-C_3_21],[C_4_7+C_19_7-C_4_10,C_4_8+C_19_8-C_4_11,C_4_9+C_19_9-C_4_12,C_4_1+C_19_1-C_4_13,C_4_2+C_19_2-C_4_14,C_4_3+C_19_3-C_4_15,C_4_4+C_19_4-C_4_16,C_4_5+C_19_5-C_4_17,C_4_6+C_19_6-C_4_18,-C_4_19,-C_4_20,-C_4_21],[C_5_7+C_20_7-C_5_10,C_5_8+C_20_8-C_5_11,C_5_9+C_20_9-C_5_12,C_5_1+C_20_1-C_5_13,C_5_2+C_20_2-C_5_14,C_5_3+C_20_3-C_5_15,C_5_4+C_20_4-C_5_16,C_5_5+C_20_5-C_5_17,C_5_6+C_20_6-C_5_18,-C_5_19,-C_5_20,-C_5_21],[C_6_7+C_21_7-C_6_10,C_6_8+C_21_8-C_6_11,C_6_9+C_21_9-C_6_12,C_6_1+C_21_1-C_6_13,C_6_2+C_21_2-C_6_14,C_6_3+C_21_3-C_6_15,C_6_4+C_21_4-C_6_16,C_6_5+C_21_5-C_6_17,C_6_6+C_21_6-C_6_18,-C_6_19,-C_6_20,-C_6_21],[C_7_7+C_22_7-C_7_10,C_7_8+C_22_8-C_7_11,C_7_9+C_22_9-C_7_12,C_7_1+C_22_1-C_7_13,C_7_2+C_22_2-C_7_14,C_7_3+C_22_3-C_7_15,C_7_4+C_22_4-C_7_16,C_7_5+C_22_5-C_7_17,C_7_6+C_22_6-C_7_18,-C_7_19,-C_7_20,-C_7_21],[C_8_7+C_23_7-C_8_10,C_8_8+C_23_8-C_8_11,C_8_9+C_23_9-C_8_12,C_8_1+C_23_1-C_8_13,C_8_2+C_23_2-C_8_14,C_8_3+C_23_3-C_8_15,C_8_4+C_23_4-C_8_16,C_8_5+C_23_5-C_8_17,C_8_6+C_23_6-C_8_18,-C_8_19,-C_8_20,-C_8_21],[C_9_7+C_24_7-C_9_10,C_9_8+C_24_8-C_9_11,C_9_9+C_24_9-C_9_12,C_9_1+C_24_1-C_9_13,C_9_2+C_24_2-C_9_14,C_9_3+C_24_3-C_9_15,C_9_4+C_24_4-C_9_16,C_9_5+C_24_5-C_9_17,C_9_6+C_24_6-C_9_18,-C_9_19,-C_9_20,-C_9_21],[C_10_7+C_25_7-C_10_10,C_10_8+C_25_8-C_10_11,C_10_9+C_25_9-C_10_12,C_10_1+C_25_1-C_10_13,C_10_2+C_25_2-C_10_14,C_10_3+C_25_3-C_10_15,C_10_4+C_25_4-C_10_16,C_10_5+C_25_5-C_10_17,C_10_6+C_25_6-C_10_18,-C_10_19,-C_10_20,-C_10_21],[C_11_7+C_26_7-C_11_10,C_11_8+C_26_8-C_11_11,C_11_9+C_26_9-C_11_12,C_11_1+C_26_1-C_11_13,C_11_2+C_26_2-C_11_14,C_11_3+C_26_3-C_11_15,C_11_4+C_26_4-C_11_16,C_11_5+C_26_5-C_11_17,C_11_6+C_26_6-C_11_18,-C_11_19,-C_11_20,-C_11_21],[C_12_7-C_12_10,C_12_8-C_12_11,C_12_9-C_12_12,C_12_1-C_12_13,C_12_2-C_12_14,C_12_3-C_12_15,C_12_4-C_12_16,C_12_5-C_12_17,C_12_6-C_12_18,-C_12_19,-C_12_20,-C_12_21],[C_13_7-C_13_10,C_13_8-C_13_11,C_13_9-C_13_12,C_13_1-C_13_13,C_13_2-C_13_14,C_13_3-C_13_15,C_13_4-C_13_16,C_13_5-C_13_17,C_13_6-C_13_18,-C_13_19,-C_13_20,-C_13_21]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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