Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨21 × 21 × 27:6743⟩

Algorithm type

[[1, 1, 1]$13,[1, 1, 3]$2,[1, 3, 1]$2,[1, 3, 3]$432,[2, 2, 2]$4,[2, 3, 3]$432,[2, 6, 6]$168,[3, 1, 1]$2,[3, 1, 3]$720,[3, 2, 3]$792,[3, 3, 1]$624,[3, 3, 2]$560,[3, 3, 3]$240,[3, 3, 4]$96,[3, 3, 6]$80,[3, 4, 3]$232,[3, 6, 3]$16,[3, 8, 3]$16,[4, 3, 3]$96,[4, 6, 6]$112,[5, 1, 5]$16,[5, 1, 6]$24,[5, 2, 5]$32,[5, 2, 6]$68,[5, 4, 5]$16,[5, 4, 6]$4,[5, 6, 6]$20,[6, 1, 5]$4,[6, 1, 6]$100,[6, 2, 5]$28,[6, 2, 6]$472,[6, 3, 3]$64,[6, 4, 5]$24,[6, 4, 6]$364,[6, 5, 6]$48,[6, 6, 2]$216,[6, 6, 4]$144,[6, 6, 6]$28,[6, 8, 6]$48,[6, 10, 6]$32,[6, 12, 6]$32,[8, 2, 9]$40,[8, 3, 9]$20,[9, 2, 9]$8,[9, 3, 9]$4,[9, 4, 9]$32,[9, 6, 9]$16,[11, 2, 11]$16,[11, 2, 12]$4,[11, 3, 11]$16,[11, 3, 12]$4,[11, 4, 11]$48,[11, 4, 12]$12,[12, 2, 11]$4,[12, 3, 11]$4,[12, 4, 11]$12,[12, 4, 12]$16,[12, 6, 12]$16,[12, 8, 12]$48]

Algorithm definition

The algorithm ⟨21 × 21 × 27:6743⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨21 × 21 × 27:6743⟩ = ⟨12 × 12 × 15:1320⟩ + ⟨9 × 12 × 12:800⟩ + ⟨12 × 9 × 15:1000⟩ + ⟨9 × 12 × 15:1000⟩ + ⟨9 × 9 × 15:783⟩ + ⟨12 × 12 × 12:1040⟩ + ⟨12 × 9 × 12:800⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

TraceMulA_1_1A_1_2A_1_3A_1_4A_1_5A_1_6A_1_7A_1_8A_1_9A_1_10A_1_11A_1_12A_1_13A_1_14A_1_15A_1_16A_1_17A_1_18A_1_19A_1_20A_1_21A_2_1A_2_2A_2_3A_2_4A_2_5A_2_6A_2_7A_2_8A_2_9A_2_10A_2_11A_2_12A_2_13A_2_14A_2_15A_2_16A_2_17A_2_18A_2_19A_2_20A_2_21A_3_1A_3_2A_3_3A_3_4A_3_5A_3_6A_3_7A_3_8A_3_9A_3_10A_3_11A_3_12A_3_13A_3_14A_3_15A_3_16A_3_17A_3_18A_3_19A_3_20A_3_21A_4_1A_4_2A_4_3A_4_4A_4_5A_4_6A_4_7A_4_8A_4_9A_4_10A_4_11A_4_12A_4_13A_4_14A_4_15A_4_16A_4_17A_4_18A_4_19A_4_20A_4_21A_5_1A_5_2A_5_3A_5_4A_5_5A_5_6A_5_7A_5_8A_5_9A_5_10A_5_11A_5_12A_5_13A_5_14A_5_15A_5_16A_5_17A_5_18A_5_19A_5_20A_5_21A_6_1A_6_2A_6_3A_6_4A_6_5A_6_6A_6_7A_6_8A_6_9A_6_10A_6_11A_6_12A_6_13A_6_14A_6_15A_6_16A_6_17A_6_18A_6_19A_6_20A_6_21A_7_1A_7_2A_7_3A_7_4A_7_5A_7_6A_7_7A_7_8A_7_9A_7_10A_7_11A_7_12A_7_13A_7_14A_7_15A_7_16A_7_17A_7_18A_7_19A_7_20A_7_21A_8_1A_8_2A_8_3A_8_4A_8_5A_8_6A_8_7A_8_8A_8_9A_8_10A_8_11A_8_12A_8_13A_8_14A_8_15A_8_16A_8_17A_8_18A_8_19A_8_20A_8_21A_9_1A_9_2A_9_3A_9_4A_9_5A_9_6A_9_7A_9_8A_9_9A_9_10A_9_11A_9_12A_9_13A_9_14A_9_15A_9_16A_9_17A_9_18A_9_19A_9_20A_9_21A_10_1A_10_2A_10_3A_10_4A_10_5A_10_6A_10_7A_10_8A_10_9A_10_10A_10_11A_10_12A_10_13A_10_14A_10_15A_10_16A_10_17A_10_18A_10_19A_10_20A_10_21A_11_1A_11_2A_11_3A_11_4A_11_5A_11_6A_11_7A_11_8A_11_9A_11_10A_11_11A_11_12A_11_13A_11_14A_11_15A_11_16A_11_17A_11_18A_11_19A_11_20A_11_21A_12_1A_12_2A_12_3A_12_4A_12_5A_12_6A_12_7A_12_8A_12_9A_12_10A_12_11A_12_12A_12_13A_12_14A_12_15A_12_16A_12_17A_12_18A_12_19A_12_20A_12_21A_13_1A_13_2A_13_3A_13_4A_13_5A_13_6A_13_7A_13_8A_13_9A_13_10A_13_11A_13_12A_13_13A_13_14A_13_15A_13_16A_13_17A_13_18A_13_19A_13_20A_13_21A_14_1A_14_2A_14_3A_14_4A_14_5A_14_6A_14_7A_14_8A_14_9A_14_10A_14_11A_14_12A_14_13A_14_14A_14_15A_14_16A_14_17A_14_18A_14_19A_14_20A_14_21A_15_1A_15_2A_15_3A_15_4A_15_5A_15_6A_15_7A_15_8A_15_9A_15_10A_15_11A_15_12A_15_13A_15_14A_15_15A_15_16A_15_17A_15_18A_15_19A_15_20A_15_21A_16_1A_16_2A_16_3A_16_4A_16_5A_16_6A_16_7A_16_8A_16_9A_16_10A_16_11A_16_12A_16_13A_16_14A_16_15A_16_16A_16_17A_16_18A_16_19A_16_20A_16_21A_17_1A_17_2A_17_3A_17_4A_17_5A_17_6A_17_7A_17_8A_17_9A_17_10A_17_11A_17_12A_17_13A_17_14A_17_15A_17_16A_17_17A_17_18A_17_19A_17_20A_17_21A_18_1A_18_2A_18_3A_18_4A_18_5A_18_6A_18_7A_18_8A_18_9A_18_10A_18_11A_18_12A_18_13A_18_14A_18_15A_18_16A_18_17A_18_18A_18_19A_18_20A_18_21A_19_1A_19_2A_19_3A_19_4A_19_5A_19_6A_19_7A_19_8A_19_9A_19_10A_19_11A_19_12A_19_13A_19_14A_19_15A_19_16A_19_17A_19_18A_19_19A_19_20A_19_21A_20_1A_20_2A_20_3A_20_4A_20_5A_20_6A_20_7A_20_8A_20_9A_20_10A_20_11A_20_12A_20_13A_20_14A_20_15A_20_16A_20_17A_20_18A_20_19A_20_20A_20_21A_21_1A_21_2A_21_3A_21_4A_21_5A_21_6A_21_7A_21_8A_21_9A_21_10A_21_11A_21_12A_21_13A_21_14A_21_15A_21_16A_21_17A_21_18A_21_19A_21_20A_21_21B_1_1B_1_2B_1_3B_1_4B_1_5B_1_6B_1_7B_1_8B_1_9B_1_10B_1_11B_1_12B_1_13B_1_14B_1_15B_1_16B_1_17B_1_18B_1_19B_1_20B_1_21B_1_22B_1_23B_1_24B_1_25B_1_26B_1_27B_2_1B_2_2B_2_3B_2_4B_2_5B_2_6B_2_7B_2_8B_2_9B_2_10B_2_11B_2_12B_2_13B_2_14B_2_15B_2_16B_2_17B_2_18B_2_19B_2_20B_2_21B_2_22B_2_23B_2_24B_2_25B_2_26B_2_27B_3_1B_3_2B_3_3B_3_4B_3_5B_3_6B_3_7B_3_8B_3_9B_3_10B_3_11B_3_12B_3_13B_3_14B_3_15B_3_16B_3_17B_3_18B_3_19B_3_20B_3_21B_3_22B_3_23B_3_24B_3_25B_3_26B_3_27B_4_1B_4_2B_4_3B_4_4B_4_5B_4_6B_4_7B_4_8B_4_9B_4_10B_4_11B_4_12B_4_13B_4_14B_4_15B_4_16B_4_17B_4_18B_4_19B_4_20B_4_21B_4_22B_4_23B_4_24B_4_25B_4_26B_4_27B_5_1B_5_2B_5_3B_5_4B_5_5B_5_6B_5_7B_5_8B_5_9B_5_10B_5_11B_5_12B_5_13B_5_14B_5_15B_5_16B_5_17B_5_18B_5_19B_5_20B_5_21B_5_22B_5_23B_5_24B_5_25B_5_26B_5_27B_6_1B_6_2B_6_3B_6_4B_6_5B_6_6B_6_7B_6_8B_6_9B_6_10B_6_11B_6_12B_6_13B_6_14B_6_15B_6_16B_6_17B_6_18B_6_19B_6_20B_6_21B_6_22B_6_23B_6_24B_6_25B_6_26B_6_27B_7_1B_7_2B_7_3B_7_4B_7_5B_7_6B_7_7B_7_8B_7_9B_7_10B_7_11B_7_12B_7_13B_7_14B_7_15B_7_16B_7_17B_7_18B_7_19B_7_20B_7_21B_7_22B_7_23B_7_24B_7_25B_7_26B_7_27B_8_1B_8_2B_8_3B_8_4B_8_5B_8_6B_8_7B_8_8B_8_9B_8_10B_8_11B_8_12B_8_13B_8_14B_8_15B_8_16B_8_17B_8_18B_8_19B_8_20B_8_21B_8_22B_8_23B_8_24B_8_25B_8_26B_8_27B_9_1B_9_2B_9_3B_9_4B_9_5B_9_6B_9_7B_9_8B_9_9B_9_10B_9_11B_9_12B_9_13B_9_14B_9_15B_9_16B_9_17B_9_18B_9_19B_9_20B_9_21B_9_22B_9_23B_9_24B_9_25B_9_26B_9_27B_10_1B_10_2B_10_3B_10_4B_10_5B_10_6B_10_7B_10_8B_10_9B_10_10B_10_11B_10_12B_10_13B_10_14B_10_15B_10_16B_10_17B_10_18B_10_19B_10_20B_10_21B_10_22B_10_23B_10_24B_10_25B_10_26B_10_27B_11_1B_11_2B_11_3B_11_4B_11_5B_11_6B_11_7B_11_8B_11_9B_11_10B_11_11B_11_12B_11_13B_11_14B_11_15B_11_16B_11_17B_11_18B_11_19B_11_20B_11_21B_11_22B_11_23B_11_24B_11_25B_11_26B_11_27B_12_1B_12_2B_12_3B_12_4B_12_5B_12_6B_12_7B_12_8B_12_9B_12_10B_12_11B_12_12B_12_13B_12_14B_12_15B_12_16B_12_17B_12_18B_12_19B_12_20B_12_21B_12_22B_12_23B_12_24B_12_25B_12_26B_12_27B_13_1B_13_2B_13_3B_13_4B_13_5B_13_6B_13_7B_13_8B_13_9B_13_10B_13_11B_13_12B_13_13B_13_14B_13_15B_13_16B_13_17B_13_18B_13_19B_13_20B_13_21B_13_22B_13_23B_13_24B_13_25B_13_26B_13_27B_14_1B_14_2B_14_3B_14_4B_14_5B_14_6B_14_7B_14_8B_14_9B_14_10B_14_11B_14_12B_14_13B_14_14B_14_15B_14_16B_14_17B_14_18B_14_19B_14_20B_14_21B_14_22B_14_23B_14_24B_14_25B_14_26B_14_27B_15_1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9, [[C_1_7,C_1_8,C_1_9,C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5,C_1_6],[C_2_7,C_2_8,C_2_9,C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5,C_2_6],[C_3_7,C_3_8,C_3_9,C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5,C_3_6],[C_13_7,C_13_8,C_13_9,C_13_1,C_13_2,C_13_3,C_13_4,C_13_5,C_13_6],[C_14_7,C_14_8,C_14_9,C_14_1,C_14_2,C_14_3,C_14_4,C_14_5,C_14_6],[C_15_7,C_15_8,C_15_9,C_15_1,C_15_2,C_15_3,C_15_4,C_15_5,C_15_6],[C_7_7,C_7_8,C_7_9,C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5,C_7_6],[C_8_7,C_8_8,C_8_9,C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5,C_8_6],[C_9_7,C_9_8,C_9_9,C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5,C_9_6],[C_10_7,C_10_8,C_10_9,C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5,C_10_6],[C_11_7,C_11_8,C_11_9,C_11_1,C_11_2,C_11_3,C_11_4,C_11_5,C_11_6],[C_12_7,C_12_8,C_12_9,C_12_1,C_12_2,C_12_3,C_12_4,C_12_5,C_12_6]])))+Trace(Mul(Matrix(12, 9, 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15, 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12, 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12, [[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_13,B_8_14,B_8_15,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_13,B_9_14,B_9_15,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12],[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12]]),Matrix(12, 12, [[C_1_10-C_16_10,C_1_11-C_16_11,C_1_12-C_16_12,C_1_13-C_16_13,C_1_14-C_16_14,C_1_15-C_16_15,C_1_16-C_16_16,C_1_17-C_16_17,C_1_18-C_16_18,C_1_19-C_16_19,C_1_20-C_16_20,C_1_21-C_16_21],[C_2_10-C_17_10,C_2_11-C_17_11,C_2_12-C_17_12,C_2_13-C_17_13,C_2_14-C_17_14,C_2_15-C_17_15,C_2_16-C_17_16,C_2_17-C_17_17,C_2_18-C_17_18,C_2_19-C_17_19,C_2_20-C_17_20,C_2_21-C_17_21],[C_3_10-C_18_10,C_3_11-C_18_11,C_3_12-C_18_12,C_3_13-C_18_13,C_3_14-C_18_14,C_3_15-C_18_15,C_3_16-C_18_16,C_3_17-C_18_17,C_3_18-C_18_18,C_3_19-C_18_19,C_3_20-C_18_20,C_3_21-C_18_21],[C_13_10-C_19_10,C_13_11-C_19_11,C_13_12-C_19_12,C_13_13-C_19_13,C_13_14-C_19_14,C_13_15-C_19_15,C_13_16-C_19_16,C_13_17-C_19_17,C_13_18-C_19_18,C_13_19-C_19_19,C_13_20-C_19_20,C_13_21-C_19_21],[C_14_10-C_20_10,C_14_11-C_20_11,C_14_12-C_20_12,C_14_13-C_20_13,C_14_14-C_20_14,C_14_15-C_20_15,C_14_16-C_20_16,C_14_17-C_20_17,C_14_18-C_20_18,C_14_19-C_20_19,C_14_20-C_20_20,C_14_21-C_20_21],[C_15_10-C_21_10,C_15_11-C_21_11,C_15_12-C_21_12,C_15_13-C_21_13,C_15_14-C_21_14,C_15_15-C_21_15,C_15_16-C_21_16,C_15_17-C_21_17,C_15_18-C_21_18,C_15_19-C_21_19,C_15_20-C_21_20,C_15_21-C_21_21],[C_7_10-C_22_10,C_7_11-C_22_11,C_7_12-C_22_12,C_7_13-C_22_13,C_7_14-C_22_14,C_7_15-C_22_15,C_7_16-C_22_16,C_7_17-C_22_17,C_7_18-C_22_18,C_7_19-C_22_19,C_7_20-C_22_20,C_7_21-C_22_21],[C_8_10-C_23_10,C_8_11-C_23_11,C_8_12-C_23_12,C_8_13-C_23_13,C_8_14-C_23_14,C_8_15-C_23_15,C_8_16-C_23_16,C_8_17-C_23_17,C_8_18-C_23_18,C_8_19-C_23_19,C_8_20-C_23_20,C_8_21-C_23_21],[C_9_10-C_24_10,C_9_11-C_24_11,C_9_12-C_24_12,C_9_13-C_24_13,C_9_14-C_24_14,C_9_15-C_24_15,C_9_16-C_24_16,C_9_17-C_24_17,C_9_18-C_24_18,C_9_19-C_24_19,C_9_20-C_24_20,C_9_21-C_24_21],[C_10_10-C_25_10,C_10_11-C_25_11,C_10_12-C_25_12,C_10_13-C_25_13,C_10_14-C_25_14,C_10_15-C_25_15,C_10_16-C_25_16,C_10_17-C_25_17,C_10_18-C_25_18,C_10_19-C_25_19,C_10_20-C_25_20,C_10_21-C_25_21],[C_11_10-C_26_10,C_11_11-C_26_11,C_11_12-C_26_12,C_11_13-C_26_13,C_11_14-C_26_14,C_11_15-C_26_15,C_11_16-C_26_16,C_11_17-C_26_17,C_11_18-C_26_18,C_11_19-C_26_19,C_11_20-C_26_20,C_11_21-C_26_21],[C_12_10-C_27_10,C_12_11-C_27_11,C_12_12-C_27_12,C_12_13-C_27_13,C_12_14-C_27_14,C_12_15-C_27_15,C_12_16-C_27_16,C_12_17-C_27_17,C_12_18-C_27_18,C_12_19-C_27_19,C_12_20-C_27_20,C_12_21-C_27_21]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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