Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨20×23×32:8344⟩

Algorithm type

52X8Y8Z8+8X8Y7Z8+2X7Y8Z8+16X7Y7Z8+6X2Y17Z2+14X12Y4Z4+7X8Y4Z8+19X4Y12Z4+6X4Y8Z8+10X4Y4Z12+2X12Y3Z4+4X11Y4Z4+X8Y3Z8+2X7Y4Z8+25X4Y11Z4+2X3Y4Z12+4X11Y3Z4+2X7Y3Z8+2X2Y12Z4+29X8Y4Z4+85X4Y8Z4+40X4Y4Z8+16X2Y12Z2+X8Y3Z4+4X7Y4Z4+19X4Y7Z4+2X4Y3Z8+2X3Y8Z4+2X3Y4Z8+14X2Y11Z2+2X7Y3Z4+4X6Y6Z2+2X4Y6Z4+16X3Y7Z4+4X3Y3Z8+8X2Y8Z4+4X2Y6Z6+4X6Y5Z2+2X4Y5Z4+20X6Y4Z2+10X4Y6Z2+539X4Y4Z4+20X2Y8Z2+12X2Y6Z4+14X2Y4Z6+4X6Y3Z2+4X5Y4Z2+2X4Y5Z2+18X4Y3Z4+13X3Y4Z4+4X2Y7Z2+4X2Y5Z4+27XY9Z+2XY4Z6+144X6Y2Z2+4X5Y3Z2+40X4Y4Z2+72X4Y2Z4+74X3Y3Z4+247X2Y6Z2+100X2Y4Z4+83X2Y2Z6+9XY8Z+4X6YZ2+18X5Y2Z2+2X4Y3Z2+2X4YZ4+4X3Y4Z2+9X3Y2Z4+57X2Y5Z2+4X2Y3Z4+12XY6Z2+2XY4Z4+9XY2Z6+18X5YZ2+247X4Y2Z2+2X3Y3Z2+9X3YZ4+729X2Y4Z2+337X2Y2Z4+150XY6Z+4XY3Z4+2X4YZ2+42X3Y3Z+18X3Y2Z2+56X2Y3Z2+4X2YZ4+12XY5Z+44XY4Z2+24XY3Z3+9XY2Z4+168X3Y2Z+9X3YZ2+69X2Y3Z+1031X2Y2Z2+123XY4Z+90XY3Z2+114XY2Z3+18XYZ4+210X3YZ+252X2Y2Z+105X2YZ2+216XY3Z+420XY2Z2+147XYZ3+309X2YZ+465XY2Z+450XYZ2+408XYZ52X8Y8Z88X8Y7Z82X7Y8Z816X7Y7Z86X2Y17Z214X12Y4Z47X8Y4Z819X4Y12Z46X4Y8Z810X4Y4Z122X12Y3Z44X11Y4Z4X8Y3Z82X7Y4Z825X4Y11Z42X3Y4Z124X11Y3Z42X7Y3Z82X2Y12Z429X8Y4Z485X4Y8Z440X4Y4Z816X2Y12Z2X8Y3Z44X7Y4Z419X4Y7Z42X4Y3Z82X3Y8Z42X3Y4Z814X2Y11Z22X7Y3Z44X6Y6Z22X4Y6Z416X3Y7Z44X3Y3Z88X2Y8Z44X2Y6Z64X6Y5Z22X4Y5Z420X6Y4Z210X4Y6Z2539X4Y4Z420X2Y8Z212X2Y6Z414X2Y4Z64X6Y3Z24X5Y4Z22X4Y5Z218X4Y3Z413X3Y4Z44X2Y7Z24X2Y5Z427XY9Z2XY4Z6144X6Y2Z24X5Y3Z240X4Y4Z272X4Y2Z474X3Y3Z4247X2Y6Z2100X2Y4Z483X2Y2Z69XY8Z4X6YZ218X5Y2Z22X4Y3Z22X4YZ44X3Y4Z29X3Y2Z457X2Y5Z24X2Y3Z412XY6Z22XY4Z49XY2Z618X5YZ2247X4Y2Z22X3Y3Z29X3YZ4729X2Y4Z2337X2Y2Z4150XY6Z4XY3Z42X4YZ242X3Y3Z18X3Y2Z256X2Y3Z24X2YZ412XY5Z44XY4Z224XY3Z39XY2Z4168X3Y2Z9X3YZ269X2Y3Z1031X2Y2Z2123XY4Z90XY3Z2114XY2Z318XYZ4210X3YZ252X2Y2Z105X2YZ2216XY3Z420XY2Z2147XYZ3309X2YZ465XY2Z450XYZ2408XYZ52*X^8*Y^8*Z^8+8*X^8*Y^7*Z^8+2*X^7*Y^8*Z^8+16*X^7*Y^7*Z^8+6*X^2*Y^17*Z^2+14*X^12*Y^4*Z^4+7*X^8*Y^4*Z^8+19*X^4*Y^12*Z^4+6*X^4*Y^8*Z^8+10*X^4*Y^4*Z^12+2*X^12*Y^3*Z^4+4*X^11*Y^4*Z^4+X^8*Y^3*Z^8+2*X^7*Y^4*Z^8+25*X^4*Y^11*Z^4+2*X^3*Y^4*Z^12+4*X^11*Y^3*Z^4+2*X^7*Y^3*Z^8+2*X^2*Y^12*Z^4+29*X^8*Y^4*Z^4+85*X^4*Y^8*Z^4+40*X^4*Y^4*Z^8+16*X^2*Y^12*Z^2+X^8*Y^3*Z^4+4*X^7*Y^4*Z^4+19*X^4*Y^7*Z^4+2*X^4*Y^3*Z^8+2*X^3*Y^8*Z^4+2*X^3*Y^4*Z^8+14*X^2*Y^11*Z^2+2*X^7*Y^3*Z^4+4*X^6*Y^6*Z^2+2*X^4*Y^6*Z^4+16*X^3*Y^7*Z^4+4*X^3*Y^3*Z^8+8*X^2*Y^8*Z^4+4*X^2*Y^6*Z^6+4*X^6*Y^5*Z^2+2*X^4*Y^5*Z^4+20*X^6*Y^4*Z^2+10*X^4*Y^6*Z^2+539*X^4*Y^4*Z^4+20*X^2*Y^8*Z^2+12*X^2*Y^6*Z^4+14*X^2*Y^4*Z^6+4*X^6*Y^3*Z^2+4*X^5*Y^4*Z^2+2*X^4*Y^5*Z^2+18*X^4*Y^3*Z^4+13*X^3*Y^4*Z^4+4*X^2*Y^7*Z^2+4*X^2*Y^5*Z^4+27*X*Y^9*Z+2*X*Y^4*Z^6+144*X^6*Y^2*Z^2+4*X^5*Y^3*Z^2+40*X^4*Y^4*Z^2+72*X^4*Y^2*Z^4+74*X^3*Y^3*Z^4+247*X^2*Y^6*Z^2+100*X^2*Y^4*Z^4+83*X^2*Y^2*Z^6+9*X*Y^8*Z+4*X^6*Y*Z^2+18*X^5*Y^2*Z^2+2*X^4*Y^3*Z^2+2*X^4*Y*Z^4+4*X^3*Y^4*Z^2+9*X^3*Y^2*Z^4+57*X^2*Y^5*Z^2+4*X^2*Y^3*Z^4+12*X*Y^6*Z^2+2*X*Y^4*Z^4+9*X*Y^2*Z^6+18*X^5*Y*Z^2+247*X^4*Y^2*Z^2+2*X^3*Y^3*Z^2+9*X^3*Y*Z^4+729*X^2*Y^4*Z^2+337*X^2*Y^2*Z^4+150*X*Y^6*Z+4*X*Y^3*Z^4+2*X^4*Y*Z^2+42*X^3*Y^3*Z+18*X^3*Y^2*Z^2+56*X^2*Y^3*Z^2+4*X^2*Y*Z^4+12*X*Y^5*Z+44*X*Y^4*Z^2+24*X*Y^3*Z^3+9*X*Y^2*Z^4+168*X^3*Y^2*Z+9*X^3*Y*Z^2+69*X^2*Y^3*Z+1031*X^2*Y^2*Z^2+123*X*Y^4*Z+90*X*Y^3*Z^2+114*X*Y^2*Z^3+18*X*Y*Z^4+210*X^3*Y*Z+252*X^2*Y^2*Z+105*X^2*Y*Z^2+216*X*Y^3*Z+420*X*Y^2*Z^2+147*X*Y*Z^3+309*X^2*Y*Z+465*X*Y^2*Z+450*X*Y*Z^2+408*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨20×23×32:8344⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨20×23×32:8344⟩ = ⟨10×12×16:1222⟩ + ⟨10×12×16:1222⟩ + ⟨10×11×16:1152⟩ + ⟨10×12×16:1222⟩ + ⟨10×11×16:1152⟩ + ⟨10×12×16:1222⟩ + ⟨10×11×16:1152⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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16, [[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10,B_8_11,B_8_12,B_8_13,B_8_14,B_8_15,B_8_16],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10,B_9_11,B_9_12,B_9_13,B_9_14,B_9_15,B_9_16],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4,B_10_5,B_10_6,B_10_7,B_10_8,B_10_9,B_10_10,B_10_11,B_10_12,B_10_13,B_10_14,B_10_15,B_10_16],[B_11_1,B_11_2,B_11_3,B_11_4,B_11_5,B_11_6,B_11_7,B_11_8,B_11_9,B_11_10,B_11_11,B_11_12,B_11_13,B_11_14,B_11_15,B_11_16],[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10,B_1_11,B_1_12,B_1_13,B_1_14,B_1_15,B_1_16],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10,B_2_11,B_2_12,B_2_13,B_2_14,B_2_15,B_2_16],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10,B_3_11,B_3_12,B_3_13,B_3_14,B_3_15,B_3_16],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10,B_4_11,B_4_12,B_4_13,B_4_14,B_4_15,B_4_16],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10,B_5_11,B_5_12,B_5_13,B_5_14,B_5_15,B_5_16],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10,B_6_11,B_6_12,B_6_13,B_6_14,B_6_15,B_6_16],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10,B_7_11,B_7_12,B_7_13,B_7_14,B_7_15,B_7_16]]),Matrix(16, 10, [[C_1_11-C_17_11,C_1_12-C_17_12,C_1_13-C_17_13,C_1_14-C_17_14,C_1_15-C_17_15,C_1_16-C_17_16,C_1_17-C_17_17,C_1_18-C_17_18,C_1_19-C_17_19,C_1_20-C_17_20],[C_2_11-C_18_11,C_2_12-C_18_12,C_2_13-C_18_13,C_2_14-C_18_14,C_2_15-C_18_15,C_2_16-C_18_16,C_2_17-C_18_17,C_2_18-C_18_18,C_2_19-C_18_19,C_2_20-C_18_20],[C_3_11-C_19_11,C_3_12-C_19_12,C_3_13-C_19_13,C_3_14-C_19_14,C_3_15-C_19_15,C_3_16-C_19_16,C_3_17-C_19_17,C_3_18-C_19_18,C_3_19-C_19_19,C_3_20-C_19_20],[C_4_11-C_20_11,C_4_12-C_20_12,C_4_13-C_20_13,C_4_14-C_20_14,C_4_15-C_20_15,C_4_16-C_20_16,C_4_17-C_20_17,C_4_18-C_20_18,C_4_19-C_20_19,C_4_20-C_20_20],[C_5_11-C_21_11,C_5_12-C_21_12,C_5_13-C_21_13,C_5_14-C_21_14,C_5_15-C_21_15,C_5_16-C_21_16,C_5_17-C_21_17,C_5_18-C_21_18,C_5_19-C_21_19,C_5_20-C_21_20],[C_6_11-C_22_11,C_6_12-C_22_12,C_6_13-C_22_13,C_6_14-C_22_14,C_6_15-C_22_15,C_6_16-C_22_16,C_6_17-C_22_17,C_6_18-C_22_18,C_6_19-C_22_19,C_6_20-C_22_20],[C_7_11-C_23_11,C_7_12-C_23_12,C_7_13-C_23_13,C_7_14-C_23_14,C_7_15-C_23_15,C_7_16-C_23_16,C_7_17-C_23_17,C_7_18-C_23_18,C_7_19-C_23_19,C_7_20-C_23_20],[C_8_11-C_24_11,C_8_12-C_24_12,C_8_13-C_24_13,C_8_14-C_24_14,C_8_15-C_24_15,C_8_16-C_24_16,C_8_17-C_24_17,C_8_18-C_24_18,C_8_19-C_24_19,C_8_20-C_24_20],[C_9_11-C_25_11,C_9_12-C_25_12,C_9_13-C_25_13,C_9_14-C_25_14,C_9_15-C_25_15,C_9_16-C_25_16,C_9_17-C_25_17,C_9_18-C_25_18,C_9_19-C_25_19,C_9_20-C_25_20],[C_10_11-C_26_11,C_10_12-C_26_12,C_10_13-C_26_13,C_10_14-C_26_14,C_10_15-C_26_15,C_10_16-C_26_16,C_10_17-C_26_17,C_10_18-C_26_18,C_10_19-C_26_19,C_10_20-C_26_20],[C_11_11-C_27_11,C_11_12-C_27_12,C_11_13-C_27_13,C_11_14-C_27_14,C_11_15-C_27_15,C_11_16-C_27_16,C_11_17-C_27_17,C_11_18-C_27_18,C_11_19-C_27_19,C_11_20-C_27_20],[C_12_11-C_28_11,C_12_12-C_28_12,C_12_13-C_28_13,C_12_14-C_28_14,C_12_15-C_28_15,C_12_16-C_28_16,C_12_17-C_28_17,C_12_18-C_28_18,C_12_19-C_28_19,C_12_20-C_28_20],[C_13_11-C_29_11,C_13_12-C_29_12,C_13_13-C_29_13,C_13_14-C_29_14,C_13_15-C_29_15,C_13_16-C_29_16,C_13_17-C_29_17,C_13_18-C_29_18,C_13_19-C_29_19,C_13_20-C_29_20],[C_14_11-C_30_11,C_14_12-C_30_12,C_14_13-C_30_13,C_14_14-C_30_14,C_14_15-C_30_15,C_14_16-C_30_16,C_14_17-C_30_17,C_14_18-C_30_18,C_14_19-C_30_19,C_14_20-C_30_20],[C_15_11-C_31_11,C_15_12-C_31_12,C_15_13-C_31_13,C_15_14-C_31_14,C_15_15-C_31_15,C_15_16-C_31_16,C_15_17-C_31_17,C_15_18-C_31_18,C_15_19-C_31_19,C_15_20-C_31_20],[C_16_11-C_32_11,C_16_12-C_32_12,C_16_13-C_32_13,C_16_14-C_32_14,C_16_15-C_32_15,C_16_16-C_32_16,C_16_17-C_32_17,C_16_18-C_32_18,C_16_19-C_32_19,C_16_20-C_32_20]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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