Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨10×26×32:5008⟩

Algorithm type

27X7Y8Z7+3X2Y18Z2+X2Y18Z+9X6Y8Z6+13X4Y12Z4+3X7Y8Z4+2X6Y6Z7+5X4Y12Z3+3X4Y8Z7+7X5Y6Z7+2X4Y12Z2+6X4Y4Z10+3X3Y12Z3+3X3Y8Z7+2X2Y12Z4+6X10Y4Z3+2X9Y4Z4+3X6Y8Z3+4X5Y6Z6+3X4Y10Z3+6X3Y4Z10+2X2Y12Z3+2X9Y4Z3+X8Y4Z4+38X4Y8Z4+2X4Y6Z6+17X2Y12Z2+X8Y4Z3+3X4Y8Z3+3X4Y4Z7+12X3Y8Z4+3X3Y2Z10+2X2Y12Z+3X2Y6Z7+XY12Z2+X6Y6Z2+2X6Y4Z4+2X4Y8Z2+5X4Y6Z4+16X3Y8Z3+6X3Y4Z7+2X2Y10Z2+10X2Y8Z4+4X2Y6Z6+2XY12Z+X6Y6Z+X5Y4Z4+X3Y8Z2+6X3Y6Z4+6X3Y4Z6+2X2Y8Z3+XY8Z4+XY6Z6+6X6Y4Z2+218X4Y4Z4+12X3Y6Z3+30X2Y8Z2+11X2Y6Z4+10X2Y4Z6+2XY8Z3+21X4Y4Z3+9X4Y3Z4+8X3Y4Z4+2X2Y8Z+7X2Y6Z3+36XY9Z+3XY8Z2+XY6Z4+2XY4Z6+29X6Y2Z2+35X4Y4Z2+3X4Y2Z4+17X3Y4Z3+63X3Y3Z4+162X2Y6Z2+47X2Y4Z4+51X2Y2Z6+2XY8Z+XY6Z3+3X6Y2Z+18X5Y2Z2+2X4Y4Z+X3Y4Z2+9X2Y6Z+27X2Y5Z2+9X2Y4Z3+9X2YZ6+19XY6Z2+7XY4Z4+2XY2Z6+4X4Y2Z2+3X3Y2Z3+435X2Y4Z2+64X2Y2Z4+139XY6Z+3XY4Z3+18XY3Z4+X4Y2Z+6X3Y3Z+9X3Y2Z2+23X2Y4Z+111X2Y3Z2+7X2Y2Z3+18XY5Z+46XY4Z2+12XY3Z3+4XY2Z4+36X3Y2Z+666X2Y2Z2+129XY4Z+72XY3Z2+49XY2Z3+48X3YZ+44X2Y2Z+36X2YZ2+342XY3Z+145XY2Z2+75XYZ3+9X2YZ+655XY2Z+93XYZ2+540XYZ27X7Y8Z73X2Y18Z2X2Y18Z9X6Y8Z613X4Y12Z43X7Y8Z42X6Y6Z75X4Y12Z33X4Y8Z77X5Y6Z72X4Y12Z26X4Y4Z103X3Y12Z33X3Y8Z72X2Y12Z46X10Y4Z32X9Y4Z43X6Y8Z34X5Y6Z63X4Y10Z36X3Y4Z102X2Y12Z32X9Y4Z3X8Y4Z438X4Y8Z42X4Y6Z617X2Y12Z2X8Y4Z33X4Y8Z33X4Y4Z712X3Y8Z43X3Y2Z102X2Y12Z3X2Y6Z7XY12Z2X6Y6Z22X6Y4Z42X4Y8Z25X4Y6Z416X3Y8Z36X3Y4Z72X2Y10Z210X2Y8Z44X2Y6Z62XY12ZX6Y6ZX5Y4Z4X3Y8Z26X3Y6Z46X3Y4Z62X2Y8Z3XY8Z4XY6Z66X6Y4Z2218X4Y4Z412X3Y6Z330X2Y8Z211X2Y6Z410X2Y4Z62XY8Z321X4Y4Z39X4Y3Z48X3Y4Z42X2Y8Z7X2Y6Z336XY9Z3XY8Z2XY6Z42XY4Z629X6Y2Z235X4Y4Z23X4Y2Z417X3Y4Z363X3Y3Z4162X2Y6Z247X2Y4Z451X2Y2Z62XY8ZXY6Z33X6Y2Z18X5Y2Z22X4Y4ZX3Y4Z29X2Y6Z27X2Y5Z29X2Y4Z39X2YZ619XY6Z27XY4Z42XY2Z64X4Y2Z23X3Y2Z3435X2Y4Z264X2Y2Z4139XY6Z3XY4Z318XY3Z4X4Y2Z6X3Y3Z9X3Y2Z223X2Y4Z111X2Y3Z27X2Y2Z318XY5Z46XY4Z212XY3Z34XY2Z436X3Y2Z666X2Y2Z2129XY4Z72XY3Z249XY2Z348X3YZ44X2Y2Z36X2YZ2342XY3Z145XY2Z275XYZ39X2YZ655XY2Z93XYZ2540XYZ27*X^7*Y^8*Z^7+3*X^2*Y^18*Z^2+X^2*Y^18*Z+9*X^6*Y^8*Z^6+13*X^4*Y^12*Z^4+3*X^7*Y^8*Z^4+2*X^6*Y^6*Z^7+5*X^4*Y^12*Z^3+3*X^4*Y^8*Z^7+7*X^5*Y^6*Z^7+2*X^4*Y^12*Z^2+6*X^4*Y^4*Z^10+3*X^3*Y^12*Z^3+3*X^3*Y^8*Z^7+2*X^2*Y^12*Z^4+6*X^10*Y^4*Z^3+2*X^9*Y^4*Z^4+3*X^6*Y^8*Z^3+4*X^5*Y^6*Z^6+3*X^4*Y^10*Z^3+6*X^3*Y^4*Z^10+2*X^2*Y^12*Z^3+2*X^9*Y^4*Z^3+X^8*Y^4*Z^4+38*X^4*Y^8*Z^4+2*X^4*Y^6*Z^6+17*X^2*Y^12*Z^2+X^8*Y^4*Z^3+3*X^4*Y^8*Z^3+3*X^4*Y^4*Z^7+12*X^3*Y^8*Z^4+3*X^3*Y^2*Z^10+2*X^2*Y^12*Z+3*X^2*Y^6*Z^7+X*Y^12*Z^2+X^6*Y^6*Z^2+2*X^6*Y^4*Z^4+2*X^4*Y^8*Z^2+5*X^4*Y^6*Z^4+16*X^3*Y^8*Z^3+6*X^3*Y^4*Z^7+2*X^2*Y^10*Z^2+10*X^2*Y^8*Z^4+4*X^2*Y^6*Z^6+2*X*Y^12*Z+X^6*Y^6*Z+X^5*Y^4*Z^4+X^3*Y^8*Z^2+6*X^3*Y^6*Z^4+6*X^3*Y^4*Z^6+2*X^2*Y^8*Z^3+X*Y^8*Z^4+X*Y^6*Z^6+6*X^6*Y^4*Z^2+218*X^4*Y^4*Z^4+12*X^3*Y^6*Z^3+30*X^2*Y^8*Z^2+11*X^2*Y^6*Z^4+10*X^2*Y^4*Z^6+2*X*Y^8*Z^3+21*X^4*Y^4*Z^3+9*X^4*Y^3*Z^4+8*X^3*Y^4*Z^4+2*X^2*Y^8*Z+7*X^2*Y^6*Z^3+36*X*Y^9*Z+3*X*Y^8*Z^2+X*Y^6*Z^4+2*X*Y^4*Z^6+29*X^6*Y^2*Z^2+35*X^4*Y^4*Z^2+3*X^4*Y^2*Z^4+17*X^3*Y^4*Z^3+63*X^3*Y^3*Z^4+162*X^2*Y^6*Z^2+47*X^2*Y^4*Z^4+51*X^2*Y^2*Z^6+2*X*Y^8*Z+X*Y^6*Z^3+3*X^6*Y^2*Z+18*X^5*Y^2*Z^2+2*X^4*Y^4*Z+X^3*Y^4*Z^2+9*X^2*Y^6*Z+27*X^2*Y^5*Z^2+9*X^2*Y^4*Z^3+9*X^2*Y*Z^6+19*X*Y^6*Z^2+7*X*Y^4*Z^4+2*X*Y^2*Z^6+4*X^4*Y^2*Z^2+3*X^3*Y^2*Z^3+435*X^2*Y^4*Z^2+64*X^2*Y^2*Z^4+139*X*Y^6*Z+3*X*Y^4*Z^3+18*X*Y^3*Z^4+X^4*Y^2*Z+6*X^3*Y^3*Z+9*X^3*Y^2*Z^2+23*X^2*Y^4*Z+111*X^2*Y^3*Z^2+7*X^2*Y^2*Z^3+18*X*Y^5*Z+46*X*Y^4*Z^2+12*X*Y^3*Z^3+4*X*Y^2*Z^4+36*X^3*Y^2*Z+666*X^2*Y^2*Z^2+129*X*Y^4*Z+72*X*Y^3*Z^2+49*X*Y^2*Z^3+48*X^3*Y*Z+44*X^2*Y^2*Z+36*X^2*Y*Z^2+342*X*Y^3*Z+145*X*Y^2*Z^2+75*X*Y*Z^3+9*X^2*Y*Z+655*X*Y^2*Z+93*X*Y*Z^2+540*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨10×26×32:5008⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨10×26×32:5008⟩ = ⟨4×13×16:568⟩ + ⟨4×13×16:568⟩ + ⟨6×13×16:826⟩ + ⟨4×13×16:568⟩ + ⟨6×13×16:826⟩ + ⟨6×13×16:826⟩ + ⟨6×13×16:826⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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4, [[C_1_3+C_17_3,C_1_4+C_17_4,C_1_1+C_17_1,C_1_2+C_17_2],[C_2_3+C_18_3,C_2_4+C_18_4,C_2_1+C_18_1,C_2_2+C_18_2],[C_3_3+C_19_3,C_3_4+C_19_4,C_3_1+C_19_1,C_3_2+C_19_2],[C_4_3+C_20_3,C_4_4+C_20_4,C_4_1+C_20_1,C_4_2+C_20_2],[C_5_3+C_21_3,C_5_4+C_21_4,C_5_1+C_21_1,C_5_2+C_21_2],[C_6_3+C_22_3,C_6_4+C_22_4,C_6_1+C_22_1,C_6_2+C_22_2],[C_7_3+C_23_3,C_7_4+C_23_4,C_7_1+C_23_1,C_7_2+C_23_2],[C_8_3+C_24_3,C_8_4+C_24_4,C_8_1+C_24_1,C_8_2+C_24_2],[C_9_3+C_25_3,C_9_4+C_25_4,C_9_1+C_25_1,C_9_2+C_25_2],[C_10_3+C_26_3,C_10_4+C_26_4,C_10_1+C_26_1,C_10_2+C_26_2],[C_11_3+C_27_3,C_11_4+C_27_4,C_11_1+C_27_1,C_11_2+C_27_2],[C_12_3+C_28_3,C_12_4+C_28_4,C_12_1+C_28_1,C_12_2+C_28_2],[C_13_3+C_29_3,C_13_4+C_29_4,C_13_1+C_29_1,C_13_2+C_29_2],[C_14_3+C_30_3,C_14_4+C_30_4,C_14_1+C_30_1,C_14_2+C_30_2],[C_15_3+C_31_3,C_15_4+C_31_4,C_15_1+C_31_1,C_15_2+C_31_2],[C_16_3+C_32_3,C_16_4+C_32_4,C_16_1+C_32_1,C_16_2+C_32_2]])))+Trace(Mul(Matrix(6, 13, 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4, [[C_17_3,C_17_4,C_17_1,C_17_2],[C_18_3,C_18_4,C_18_1,C_18_2],[C_19_3,C_19_4,C_19_1,C_19_2],[C_20_3,C_20_4,C_20_1,C_20_2],[C_21_3,C_21_4,C_21_1,C_21_2],[C_22_3,C_22_4,C_22_1,C_22_2],[C_23_3,C_23_4,C_23_1,C_23_2],[C_24_3,C_24_4,C_24_1,C_24_2],[C_25_3,C_25_4,C_25_1,C_25_2],[C_26_3,C_26_4,C_26_1,C_26_2],[C_27_3,C_27_4,C_27_1,C_27_2],[C_28_3,C_28_4,C_28_1,C_28_2],[C_29_3,C_29_4,C_29_1,C_29_2],[C_30_3,C_30_4,C_30_1,C_30_2],[C_31_3,C_31_4,C_31_1,C_31_2],[C_32_3,C_32_4,C_32_1,C_32_2]])))+Trace(Mul(Matrix(6, 13, 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16, [[B_14_1,B_14_2,B_14_3,B_14_4,B_14_5,B_14_6,B_14_7,B_14_8,B_14_9,B_14_10,B_14_11,B_14_12,B_14_13,B_14_14,B_14_15,B_14_16],[B_15_1,B_15_2,B_15_3,B_15_4,B_15_5,B_15_6,B_15_7,B_15_8,B_15_9,B_15_10,B_15_11,B_15_12,B_15_13,B_15_14,B_15_15,B_15_16],[B_16_1,B_16_2,B_16_3,B_16_4,B_16_5,B_16_6,B_16_7,B_16_8,B_16_9,B_16_10,B_16_11,B_16_12,B_16_13,B_16_14,B_16_15,B_16_16],[B_17_1,B_17_2,B_17_3,B_17_4,B_17_5,B_17_6,B_17_7,B_17_8,B_17_9,B_17_10,B_17_11,B_17_12,B_17_13,B_17_14,B_17_15,B_17_16],[B_18_1,B_18_2,B_18_3,B_18_4,B_18_5,B_18_6,B_18_7,B_18_8,B_18_9,B_18_10,B_18_11,B_18_12,B_18_13,B_18_14,B_18_15,B_18_16],[B_19_1,B_19_2,B_19_3,B_19_4,B_19_5,B_19_6,B_19_7,B_19_8,B_19_9,B_19_10,B_19_11,B_19_12,B_19_13,B_19_14,B_19_15,B_19_16],[B_20_1,B_20_2,B_20_3,B_20_4,B_20_5,B_20_6,B_20_7,B_20_8,B_20_9,B_20_10,B_20_11,B_20_12,B_20_13,B_20_14,B_20_15,B_20_16],[B_21_1,B_21_2,B_21_3,B_21_4,B_21_5,B_21_6,B_21_7,B_21_8,B_21_9,B_21_10,B_21_11,B_21_12,B_21_13,B_21_14,B_21_15,B_21_16],[B_22_1,B_22_2,B_22_3,B_22_4,B_22_5,B_22_6,B_22_7,B_22_8,B_22_9,B_22_10,B_22_11,B_22_12,B_22_13,B_22_14,B_22_15,B_22_16],[B_23_1,B_23_2,B_23_3,B_23_4,B_23_5,B_23_6,B_23_7,B_23_8,B_23_9,B_23_10,B_23_11,B_23_12,B_23_13,B_23_14,B_23_15,B_23_16],[B_24_1,B_24_2,B_24_3,B_24_4,B_24_5,B_24_6,B_24_7,B_24_8,B_24_9,B_24_10,B_24_11,B_24_12,B_24_13,B_24_14,B_24_15,B_24_16],[B_25_1,B_25_2,B_25_3,B_25_4,B_25_5,B_25_6,B_25_7,B_25_8,B_25_9,B_25_10,B_25_11,B_25_12,B_25_13,B_25_14,B_25_15,B_25_16],[B_26_1,B_26_2,B_26_3,B_26_4,B_26_5,B_26_6,B_26_7,B_26_8,B_26_9,B_26_10,B_26_11,B_26_12,B_26_13,B_26_14,B_26_15,B_26_16]]),Matrix(16, 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[[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_9,A_5_10,A_5_11,A_5_12,A_5_13],[A_6_1,A_6_2,A_6_3,A_6_4,A_6_5,A_6_6,A_6_7,A_6_8,A_6_9,A_6_10,A_6_11,A_6_12,A_6_13],[A_7_1,A_7_2,A_7_3,A_7_4,A_7_5,A_7_6,A_7_7,A_7_8,A_7_9,A_7_10,A_7_11,A_7_12,A_7_13],[A_8_1,A_8_2,A_8_3,A_8_4,A_8_5,A_8_6,A_8_7,A_8_8,A_8_9,A_8_10,A_8_11,A_8_12,A_8_13],[A_9_1,A_9_2,A_9_3,A_9_4,A_9_5,A_9_6,A_9_7,A_9_8,A_9_9,A_9_10,A_9_11,A_9_12,A_9_13],[A_10_1,A_10_2,A_10_3,A_10_4,A_10_5,A_10_6,A_10_7,A_10_8,A_10_9,A_10_10,A_10_11,A_10_12,A_10_13]]),Matrix(13, 16, 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16, 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6, [[C_1_3+C_17_3-C_1_5,C_1_4+C_17_4-C_1_6,C_1_1+C_17_1-C_1_7,C_1_2+C_17_2-C_1_8,-C_1_9,-C_1_10],[C_2_3+C_18_3-C_2_5,C_2_4+C_18_4-C_2_6,C_2_1+C_18_1-C_2_7,C_2_2+C_18_2-C_2_8,-C_2_9,-C_2_10],[C_3_3+C_19_3-C_3_5,C_3_4+C_19_4-C_3_6,C_3_1+C_19_1-C_3_7,C_3_2+C_19_2-C_3_8,-C_3_9,-C_3_10],[C_4_3+C_20_3-C_4_5,C_4_4+C_20_4-C_4_6,C_4_1+C_20_1-C_4_7,C_4_2+C_20_2-C_4_8,-C_4_9,-C_4_10],[C_5_3+C_21_3-C_5_5,C_5_4+C_21_4-C_5_6,C_5_1+C_21_1-C_5_7,C_5_2+C_21_2-C_5_8,-C_5_9,-C_5_10],[C_6_3+C_22_3-C_6_5,C_6_4+C_22_4-C_6_6,C_6_1+C_22_1-C_6_7,C_6_2+C_22_2-C_6_8,-C_6_9,-C_6_10],[C_7_3+C_23_3-C_7_5,C_7_4+C_23_4-C_7_6,C_7_1+C_23_1-C_7_7,C_7_2+C_23_2-C_7_8,-C_7_9,-C_7_10],[C_8_3+C_24_3-C_8_5,C_8_4+C_24_4-C_8_6,C_8_1+C_24_1-C_8_7,C_8_2+C_24_2-C_8_8,-C_8_9,-C_8_10],[C_9_3+C_25_3-C_9_5,C_9_4+C_25_4-C_9_6,C_9_1+C_25_1-C_9_7,C_9_2+C_25_2-C_9_8,-C_9_9,-C_9_10],[C_10_3+C_26_3-C_10_5,C_10_4+C_26_4-C_10_6,C_10_1+C_26_1-C_10_7,C_10_2+C_26_2-C_10_8,-C_10_9,-C_10_10],[C_11_3+C_27_3-C_11_5,C_11_4+C_27_4-C_11_6,C_11_1+C_27_1-C_11_7,C_11_2+C_27_2-C_11_8,-C_11_9,-C_11_10],[C_12_3+C_28_3-C_12_5,C_12_4+C_28_4-C_12_6,C_12_1+C_28_1-C_12_7,C_12_2+C_28_2-C_12_8,-C_12_9,-C_12_10],[C_13_3+C_29_3-C_13_5,C_13_4+C_29_4-C_13_6,C_13_1+C_29_1-C_13_7,C_13_2+C_29_2-C_13_8,-C_13_9,-C_13_10],[C_14_3+C_30_3-C_14_5,C_14_4+C_30_4-C_14_6,C_14_1+C_30_1-C_14_7,C_14_2+C_30_2-C_14_8,-C_14_9,-C_14_10],[C_15_3+C_31_3-C_15_5,C_15_4+C_31_4-C_15_6,C_15_1+C_31_1-C_15_7,C_15_2+C_31_2-C_15_8,-C_15_9,-C_15_10],[C_16_3+C_32_3-C_16_5,C_16_4+C_32_4-C_16_6,C_16_1+C_32_1-C_16_7,C_16_2+C_32_2-C_16_8,-C_16_9,-C_16_10]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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