Description of fast matrix multiplication algorithm: ⟨5×10×10:352⟩

Algorithm type

5X4Y4Z4+X2Y8Z2+X5Y4Z2+X2Y8Z+X4Y4Z2+12X3Y4Z3+X2Y6Z2+X2Y4Z4+XY4Z5+3X5Y2Z2+4X2Y2Z5+2X5Y2Z+X3Y4Z+10X2Y4Z2+XY4Z3+XY2Z5+X3Y2Z2+XY4Z2+3X3Y2Z+86X2Y2Z2+8XY4Z+4XY2Z3+15X3YZ+7X2Y2Z+15XY3Z+7XY2Z2+15XYZ3+3X2YZ+69XY2Z+3XYZ2+69XYZ5X4Y4Z4X2Y8Z2X5Y4Z2X2Y8ZX4Y4Z212X3Y4Z3X2Y6Z2X2Y4Z4XY4Z53X5Y2Z24X2Y2Z52X5Y2ZX3Y4Z10X2Y4Z2XY4Z3XY2Z5X3Y2Z2XY4Z23X3Y2Z86X2Y2Z28XY4Z4XY2Z315X3YZ7X2Y2Z15XY3Z7XY2Z215XYZ33X2YZ69XY2Z3XYZ269XYZ5*X^4*Y^4*Z^4+X^2*Y^8*Z^2+X^5*Y^4*Z^2+X^2*Y^8*Z+X^4*Y^4*Z^2+12*X^3*Y^4*Z^3+X^2*Y^6*Z^2+X^2*Y^4*Z^4+X*Y^4*Z^5+3*X^5*Y^2*Z^2+4*X^2*Y^2*Z^5+2*X^5*Y^2*Z+X^3*Y^4*Z+10*X^2*Y^4*Z^2+X*Y^4*Z^3+X*Y^2*Z^5+X^3*Y^2*Z^2+X*Y^4*Z^2+3*X^3*Y^2*Z+86*X^2*Y^2*Z^2+8*X*Y^4*Z+4*X*Y^2*Z^3+15*X^3*Y*Z+7*X^2*Y^2*Z+15*X*Y^3*Z+7*X*Y^2*Z^2+15*X*Y*Z^3+3*X^2*Y*Z+69*X*Y^2*Z+3*X*Y*Z^2+69*X*Y*Z

Algorithm definition

The algorithm ⟨5×10×10:352⟩ could be constructed using the following decomposition:

⟨5×10×10:352⟩ = ⟨3×5×5:58⟩ + ⟨2×5×5:40⟩ + ⟨3×5×5:58⟩ + ⟨2×5×5:40⟩ + ⟨2×5×5:40⟩ + ⟨3×5×5:58⟩ + ⟨3×5×5:58⟩.

This decomposition is defined by the following equality:

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10, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_4,A_1_5,A_1_6,A_1_7,A_1_8,A_1_9,A_1_10],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_4,A_2_5,A_2_6,A_2_7,A_2_8,A_2_9,A_2_10],[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_4,A_3_5,A_3_6,A_3_7,A_3_8,A_3_9,A_3_10],[A_4_1,A_4_2,A_4_3,A_4_4,A_4_5,A_4_6,A_4_7,A_4_8,A_4_9,A_4_10],[A_5_1,A_5_2,A_5_3,A_5_4,A_5_5,A_5_6,A_5_7,A_5_8,A_5_9,A_5_10]]),Matrix(10, 10, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_4,B_1_5,B_1_6,B_1_7,B_1_8,B_1_9,B_1_10],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_4,B_2_5,B_2_6,B_2_7,B_2_8,B_2_9,B_2_10],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_4,B_3_5,B_3_6,B_3_7,B_3_8,B_3_9,B_3_10],[B_4_1,B_4_2,B_4_3,B_4_4,B_4_5,B_4_6,B_4_7,B_4_8,B_4_9,B_4_10],[B_5_1,B_5_2,B_5_3,B_5_4,B_5_5,B_5_6,B_5_7,B_5_8,B_5_9,B_5_10],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_4,B_6_5,B_6_6,B_6_7,B_6_8,B_6_9,B_6_10],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_4,B_7_5,B_7_6,B_7_7,B_7_8,B_7_9,B_7_10],[B_8_1,B_8_2,B_8_3,B_8_4,B_8_5,B_8_6,B_8_7,B_8_8,B_8_9,B_8_10],[B_9_1,B_9_2,B_9_3,B_9_4,B_9_5,B_9_6,B_9_7,B_9_8,B_9_9,B_9_10],[B_10_1,B_10_2,B_10_3,B_10_4,B_10_5,B_10_6,B_10_7,B_10_8,B_10_9,B_10_10]]),Matrix(10, 5, [[C_1_1,C_1_2,C_1_3,C_1_4,C_1_5],[C_2_1,C_2_2,C_2_3,C_2_4,C_2_5],[C_3_1,C_3_2,C_3_3,C_3_4,C_3_5],[C_4_1,C_4_2,C_4_3,C_4_4,C_4_5],[C_5_1,C_5_2,C_5_3,C_5_4,C_5_5],[C_6_1,C_6_2,C_6_3,C_6_4,C_6_5],[C_7_1,C_7_2,C_7_3,C_7_4,C_7_5],[C_8_1,C_8_2,C_8_3,C_8_4,C_8_5],[C_9_1,C_9_2,C_9_3,C_9_4,C_9_5],[C_10_1,C_10_2,C_10_3,C_10_4,C_10_5]]))) = Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_3_4,A_3_5,A_3_8,A_3_9,A_3_10],[A_1_1+A_4_4,A_1_2+A_4_5,A_1_3+A_4_8,A_1_6+A_4_9,A_1_7+A_4_10],[A_2_1+A_5_4,A_2_2+A_5_5,A_2_3+A_5_8,A_2_6+A_5_9,A_2_7+A_5_10]]),Matrix(5, 5, [[B_1_1+B_4_4,B_1_2+B_4_5,B_1_3+B_4_8,B_1_6+B_4_9,B_1_7+B_4_10],[B_2_1+B_5_4,B_2_2+B_5_5,B_2_3+B_5_8,B_2_6+B_5_9,B_2_7+B_5_10],[B_3_1+B_8_4,B_3_2+B_8_5,B_3_3+B_8_8,B_3_6+B_8_9,B_3_7+B_8_10],[B_6_1+B_9_4,B_6_2+B_9_5,B_6_3+B_9_8,B_6_6+B_9_9,B_6_7+B_9_10],[B_7_1+B_10_4,B_7_2+B_10_5,B_7_3+B_10_8,B_7_6+B_10_9,B_7_7+B_10_10]]),Matrix(5, 3, [[C_4_3,C_1_1+C_4_4,C_1_2+C_4_5],[C_5_3,C_2_1+C_5_4,C_2_2+C_5_5],[C_8_3,C_3_1+C_8_4,C_3_2+C_8_5],[C_9_3,C_6_1+C_9_4,C_6_2+C_9_5],[C_10_3,C_7_1+C_10_4,C_7_2+C_10_5]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 5, [[A_1_4-A_4_4,A_1_5-A_4_5,A_1_8-A_4_8,A_1_9-A_4_9,A_1_10-A_4_10],[A_2_4-A_5_4,A_2_5-A_5_5,A_2_8-A_5_8,A_2_9-A_5_9,A_2_10-A_5_10]]),Matrix(5, 5, [[B_4_1+B_4_4,B_4_2+B_4_5,B_4_3+B_4_8,B_4_6+B_4_9,B_4_7+B_4_10],[B_5_1+B_5_4,B_5_2+B_5_5,B_5_3+B_5_8,B_5_6+B_5_9,B_5_7+B_5_10],[B_8_1+B_8_4,B_8_2+B_8_5,B_8_3+B_8_8,B_8_6+B_8_9,B_8_7+B_8_10],[B_9_1+B_9_4,B_9_2+B_9_5,B_9_3+B_9_8,B_9_6+B_9_9,B_9_7+B_9_10],[B_10_1+B_10_4,B_10_2+B_10_5,B_10_3+B_10_8,B_10_6+B_10_9,B_10_7+B_10_10]]),Matrix(5, 2, [[C_1_1,C_1_2],[C_2_1,C_2_2],[C_3_1,C_3_2],[C_6_1,C_6_2],[C_7_1,C_7_2]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_3_1,A_3_2,A_3_3,A_3_6,A_3_7],[-A_1_1+A_4_1,-A_1_2+A_4_2,-A_1_3+A_4_3,-A_1_6+A_4_6,-A_1_7+A_4_7],[-A_2_1+A_5_1,-A_2_2+A_5_2,-A_2_3+A_5_3,-A_2_6+A_5_6,-A_2_7+A_5_7]]),Matrix(5, 5, [[B_1_1+B_1_4,B_1_2+B_1_5,B_1_3+B_1_8,B_1_6+B_1_9,B_1_7+B_1_10],[B_2_1+B_2_4,B_2_2+B_2_5,B_2_3+B_2_8,B_2_6+B_2_9,B_2_7+B_2_10],[B_3_1+B_3_4,B_3_2+B_3_5,B_3_3+B_3_8,B_3_6+B_3_9,B_3_7+B_3_10],[B_6_1+B_6_4,B_6_2+B_6_5,B_6_3+B_6_8,B_6_6+B_6_9,B_6_7+B_6_10],[B_7_1+B_7_4,B_7_2+B_7_5,B_7_3+B_7_8,B_7_6+B_7_9,B_7_7+B_7_10]]),Matrix(5, 3, [[C_4_3,C_4_4,C_4_5],[C_5_3,C_5_4,C_5_5],[C_8_3,C_8_4,C_8_5],[C_9_3,C_9_4,C_9_5],[C_10_3,C_10_4,C_10_5]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 5, [[A_1_1+A_1_4,A_1_2+A_1_5,A_1_3+A_1_8,A_1_6+A_1_9,A_1_7+A_1_10],[A_2_1+A_2_4,A_2_2+A_2_5,A_2_3+A_2_8,A_2_6+A_2_9,A_2_7+A_2_10]]),Matrix(5, 5, [[B_4_4,B_4_5,B_4_8,B_4_9,B_4_10],[B_5_4,B_5_5,B_5_8,B_5_9,B_5_10],[B_8_4,B_8_5,B_8_8,B_8_9,B_8_10],[B_9_4,B_9_5,B_9_8,B_9_9,B_9_10],[B_10_4,B_10_5,B_10_8,B_10_9,B_10_10]]),Matrix(5, 2, [[-C_1_1+C_4_1,C_4_2-C_1_2],[-C_2_1+C_5_1,-C_2_2+C_5_2],[-C_3_1+C_8_1,-C_3_2+C_8_2],[-C_6_1+C_9_1,-C_6_2+C_9_2],[-C_7_1+C_10_1,-C_7_2+C_10_2]])))+Trace(Mul(Matrix(2, 5, [[A_1_1,A_1_2,A_1_3,A_1_6,A_1_7],[A_2_1,A_2_2,A_2_3,A_2_6,A_2_7]]),Matrix(5, 5, [[B_1_4-B_4_4,B_1_5-B_4_5,B_1_8-B_4_8,B_1_9-B_4_9,B_1_10-B_4_10],[B_2_4-B_5_4,B_2_5-B_5_5,B_2_8-B_5_8,B_2_9-B_5_9,B_2_10-B_5_10],[B_3_4-B_8_4,B_3_5-B_8_5,B_3_8-B_8_8,B_3_9-B_8_9,B_3_10-B_8_10],[B_6_4-B_9_4,B_6_5-B_9_5,B_6_8-B_9_8,B_6_9-B_9_9,B_6_10-B_9_10],[B_7_4-B_10_4,B_7_5-B_10_5,B_7_8-B_10_8,B_7_9-B_10_9,B_7_10-B_10_10]]),Matrix(5, 2, [[C_4_1+C_4_4,C_4_2+C_4_5],[C_5_1+C_5_4,C_5_2+C_5_5],[C_8_1+C_8_4,C_8_2+C_8_5],[C_9_1+C_9_4,C_9_2+C_9_5],[C_10_1+C_10_4,C_10_2+C_10_5]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_3_4,A_3_5,A_3_8,A_3_9,A_3_10],[A_4_4,A_4_5,A_4_8,A_4_9,A_4_10],[A_5_4,A_5_5,A_5_8,A_5_9,A_5_10]]),Matrix(5, 5, [[-B_1_1+B_4_1,B_4_2-B_1_2,-B_1_3+B_4_3,-B_1_6+B_4_6,-B_1_7+B_4_7],[-B_2_1+B_5_1,-B_2_2+B_5_2,-B_2_3+B_5_3,-B_2_6+B_5_6,-B_2_7+B_5_7],[-B_3_1+B_8_1,-B_3_2+B_8_2,-B_3_3+B_8_3,-B_3_6+B_8_6,-B_3_7+B_8_7],[-B_6_1+B_9_1,-B_6_2+B_9_2,-B_6_3+B_9_3,-B_6_6+B_9_6,-B_6_7+B_9_7],[-B_7_1+B_10_1,-B_7_2+B_10_2,-B_7_3+B_10_3,-B_7_6+B_10_6,-B_7_7+B_10_7]]),Matrix(5, 3, [[C_1_3,C_1_1+C_1_4,C_1_2+C_1_5],[C_2_3,C_2_1+C_2_4,C_2_2+C_2_5],[C_3_3,C_3_1+C_3_4,C_3_2+C_3_5],[C_6_3,C_6_1+C_6_4,C_6_2+C_6_5],[C_7_3,C_7_1+C_7_4,C_7_2+C_7_5]])))+Trace(Mul(Matrix(3, 5, [[A_3_1+A_3_4,A_3_2+A_3_5,A_3_3+A_3_8,A_3_6+A_3_9,A_3_7+A_3_10],[A_4_1+A_4_4,A_4_2+A_4_5,A_4_3+A_4_8,A_4_6+A_4_9,A_4_7+A_4_10],[A_5_1+A_5_4,A_5_2+A_5_5,A_5_3+A_5_8,A_5_6+A_5_9,A_5_7+A_5_10]]),Matrix(5, 5, [[B_1_1,B_1_2,B_1_3,B_1_6,B_1_7],[B_2_1,B_2_2,B_2_3,B_2_6,B_2_7],[B_3_1,B_3_2,B_3_3,B_3_6,B_3_7],[B_6_1,B_6_2,B_6_3,B_6_6,B_6_7],[B_7_1,B_7_2,B_7_3,B_7_6,B_7_7]]),Matrix(5, 3, [[C_1_3-C_4_3,C_1_4-C_4_4,C_1_5-C_4_5],[C_2_3-C_5_3,C_2_4-C_5_4,C_2_5-C_5_5],[C_3_3-C_8_3,C_3_4-C_8_4,C_3_5-C_8_5],[C_6_3-C_9_3,C_6_4-C_9_4,C_6_5-C_9_5],[C_7_3-C_10_3,C_7_4-C_10_4,C_7_5-C_10_5]])))

N.B.: for any matrices A, B and C such that the expression Tr(Mul(A,B,C)) is defined, one can construct several trilinear homogeneous polynomials P(A,B,C) such that P(A,B,C)=Tr(Mul(A,B,C)) (P(A,B,C) variables are A,B and C's coefficients). Each trilinear P expression encodes a matrix multiplication algorithm: the coefficient in C_i_j of P(A,B,C) is the (i,j)-th entry of the matrix product Mul(A,B)=Transpose(C).

Algorithm description

These encodings are given in compressed text format using the maple computer algebra system. In each cases, the last line could be understood as a description of the encoding with respect to classical matrix multiplication algorithm. As these outputs are structured, one can construct easily a parser to its favorite format using the maple documentation without this software.


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